Berechnen fehlender Koordinaten

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anja3012 Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnen fehlender Koordinaten
auch bei dieser rechnung fällt es mir leider sehr schwer die lösung zu finden! (vektoren sind nicht unbedingt mein lieblingsgebiet unglücklich )
also:
Die Basispunkte einer rechtekcigen Pyramide A (-1/2/3) B (x2/-2/0) C (4/y3/z3) D (x4/y4/z4) liegen in der Ebene 2x - 5y + 6z = 0, die spitze S liegt senkrecht über Eckpunkt D auf der Geraden g:

X = (7/-18/20) + t * (4/5/-1).

Vielleicht könnte mir jemand von euch einen Tipp geben, wie man die fehlenden Koordinaten berechnet!

Danke
lg anja
Sciencefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Bist du dir sicher, dass deine Koordinaten bei Punkt A richtig sind? Dieser Punkt liegt nämlich nicht in der von dir gegebenen Ebene
Und soll X die Gerade g sein?
Ansonsten rechnest du die Punkt aus, in dem du die gegebn Werte in die Ebenengleichung einsetzt. Bei Punkt C musst du dir zusätzlich überlegen, dass der Punkt senkrecht zur Strecke AB und Über dem Punkt B liegt. Dann hast du wieder 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten. Und bei D hast du halt 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten
 
 
anja3012 Auf diesen Beitrag antworten »

ja die koordinaten sind richtig, habe sie noch einmal überprüft!

also soll ich einfach in die ebenengleichung einsetzte, aber ich habe bei der Ebene ja 2x - 5y + 6z + d = 0, und bei den Punkten habe ich nur drei koordinatenwerte! nimmt man hier für d einfach 1!

bitte könntest du mir so ein beispiel aufschreiben!
danke Mit Zunge
Sciencefreak Auf diesen Beitrag antworten »

Da liegt also dein Fehler.
Obven hast du nur 2x - 5y + 6z = 0 zu stehen, aber du meinst
2x - 5y + 6z +d = 0
Dieses d erhälst du wenn du die Koordinaten von A einsetzt
Also dann steht da

Und diese Gleichung stellst du nach d um
anja3012 Auf diesen Beitrag antworten »

aha ok!

werde dass mal ausprobieren!
danke fürs erste
lg anja
anja3012 Auf diesen Beitrag antworten »

habe jetzt für B das richtige raus!

was muss ich beachten, wenn ich C usw. berechne, da kann ich nicht normal einsetzten oder? denn da kommt bei mir das falsch raus!
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

B(-2/-2/0), d = -6
bei C wird es ein bißchen komplizierter
du brauchst einen vektor, der senkrecht auf AB steht und in der ebene liegt(kreuzprodukt aus AB und normalenvektor der ebene)

und du kennst die x-komponente von C und damit die x-komponente von BC_x:daraus berechnest du t: t=2,
B bekommst du aus

wenn C(4/-2/-2) rauskommt, stimmt´s
rest folgt später
w
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Sobald du 3 Punkte kennst, kannst dir den 4. berechnen, weil man ja weiß, dass es die Punkte eines Rechtecks sind und ein Rechteck hat ja parallele Seiten.

Zuerst einmal brauchst du einen 3. Punkt. Du weißt, dass die Spitze genau über dem Eckpunkt D ist. Das heißt, die Seite DS steht im rechten Winkel auf die Grundfläche.
Somit kannst dir eine Gerade aufstellen, die durch S geht und deren Richtungsvektor der Normalvektor der Ebene ist. Diese Gerade schneidest mit der Grundfläche und kriegst somit D heraus.
Aso...seh grad, dass du diese Gerade eh schon gegeben hast. Aber die Grundflächenebene hast nicht. Die kriegst aber ganz leicht. Weil der Richtungsvektor der Geraden zugleich der Normalvektor der Grundflächenebene ist. Und einen Punkt der Ebene kennst auch - sogar 2.

Sobald du D hast, kannst so vorgehen:


Einen Punkt berechnet man so:

gesuchter Punkt = irgendein gegebener Punkt + Vektor(vom gesuchten Punkt zum gegebenen Punkt)

z.b.

C = B + VektorBC

Der VektorBC = VektorAD >> weil beide dieselbe Länge und Richtung haben...die haben daher die komplett gleichen Koordinaten.Also sind beide eigentlich ein und derselbe Vektor.
Der Vektor ist ein Pfeil, der nicht fixiert ist im Koordinatensystem. Den kannst in die Hand nehmen und ihn dorthin versetzen, wohin du ihn willst. Aber wenn du ihn versetzt, dann mit der gleichen Länge und DERSELBEN Richtung. Also einfach parallel verschieben sozusagen.

Da kannst dir den Vektor AD ausborgen, weil der genauso lang ist und in die gleiche Richtung zeigt wie der Vektor BC.

Daher:

C = B + VektorAD
oder:
C = D + VektorAB
oder:
C = A + 2 * Vektor AM

C = A + VektorAB(dann bist beim Eckpunkt B angelangt) + VektorAD

C = A + VektorAB + VektorAD + VektorBA + VektorDA + VektorAB + VektorAD (>> jetzt bin ich einfach vom Punkt A die Seitenvektoren entlang marschiert und bin 2 mal ums Rechteck herum)

Aber wichtig ist, dass du zu EINEM GEGEBENEN PUNKT einen Vektor dazu addierst, denn nur der Vektor allein gibt dir keine Koordinaten eines Punktes bekannt, weil ein Vektor eben irgendwo weg geht, ein Punkt aber wird vom Koordinatenursprung weg eingezeichnet.

lg kiki
anja3012 Auf diesen Beitrag antworten »

hab jetzt den weg von kikira porbiert, aber ich mach irgendwas falsch!

du hast gesagt der richtungvektor ist der normalvektor also müsste der normalvektor : n = (4/5/-1) sein oder?

und dann hab ich n*X = n*P gerechnet:

4x + 5y - z= 3 (hab den PUnkt A eingesetzt)
und dann geschnitten:

4 * (7 + 4t) + 5 * (-18 + 5t) - (20 - t) = 3
28 + 16t - 90 + 25t - 20 + t = 3
42 t = 85

und dann krieg i aber für t nit das richtige raus, dass sollt nämlich 2 sein!!!

lg anja
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß schon, was mein Denkfehler war. Ich bin davon ausgegangen, dass die Gerade im rechten Winkel auf die Grundfläche steht.
Das steht da aber nirgends explizit und daher kann man auch nicht davon ausgehen.

Wart, muss noch nachdenken, wie du den Punkt D kriegst.

edit:

Das, was der Werner geschrieben hat, ist die einzige Möglichkeit auf C zu kommen. Auf D kommt man aufgrund der Angaben nicht, weil man die Länge der Seite AD, bzw. BC nicht kennt.

Wenn du einen Richtungsvektor im Raum willst, musst du 2 Vektoren finden, die auf deinen gesuchten im rechten Winkel stehen.
Dein Ziel ist es, den Vektor BC, bzw. VektorAD zu finden. Nun steht der AB-Vektor drauf im rechten Winkel und der Normalvektor der Grundfläche steht auch drauf im rechten Winkel.
Daher musst nun von diesen beiden das Kreuzprodukt machen, denn dann kriegst den Vektor BC. Aber halt leider nicht genau die Länge des Vektors von B nach C, sondern nur die Richtung von B zu C hin.

Daher steht nun beim Werner das t davor, da man noch nicht weiß, womit man diesen Vektor mulitplizieren muss, damit der Vektor genau die Länge BC hat.

Glaub, das rechne ich dir vor. Das ist sonst echt unverständlich.

lg kiki

noch was:
Ich seh, dass euer Vektorenbeispiel bei der Matura der Hammer werden wird, weil ihr schon ziemlich knifflige Beispiele zum Üben kriegts.
Ich geb dir ein heißes Beispiel. Kann locker sein, dass das dann kommt. Das ist ein beliebtes Beispiel bei der Matura. Hab das schon so oft gesehen als Maturaangabe:

Gegeben ist der Punkt A einer regelmäßigen quadratischen Pyramide.
Ferner kennt man die Höhengerade und die Länge der Höhe.
a) Berechne alle fehlenden Eckpunkte und die Spitze ( 2 Lösungen)
b) Volumsinhalt und Oberfläche.
c) Winkel zwischen Seitenkante und Grundfläche.
d) Winkel zwischen Seitenkante und Grundkante.

Versuch dir da mal den Lösungsweg herzuholen.
Wennst Probleme hast, helf ich dir.

lg kiki
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

hallo anja,
welchen punkt willst denn gerade ausrechnen?
wenn es C ist, siehe meinen beitrag oben,
(oder hast du das t = 2 von dort?)
wenn du nicht mit dem vektorprodukt arbeiten willst, kannst, gibt es eine andere möglichkeit

ich warte
w

n.s ich glaube, dass kiki da etwas zu spontan war
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Möglichkeit siehst du da noch, Werner?
Hab jetzt drüber nachgedacht und seh keine andere mehr, weil der Punkt der gegebenen Gerade ja nicht unbedingt die Spitze sein muss. Also kann man sich da auch keine Gerade durch die Spitze aufstellen mit dem Normalvektor der Grundfläche als Richtungsvektor und das mit der Grundfläche schneiden.
Und sonst wüsst ich keine Möglichkeit mehr.

lg kiki

edit:

Aber der Vektor AB, den du da oben hingeschrieben hast, stimmt nicht so ganz.

Man muss verknüpfen:

VektorBC = t *(-1 / 0 / -3) x (2 / -5 / 6)

und das dann gleichsetzen mit dem Vektor BC

Vektor BC = ( 6 / y + 2 / z)

und dann kriegt man für t eine Zahl raus.

lg kiki

edit2:

Aber etwas ist noch unklar. Wenn man VektorAB und den Normalvektor der Ebene miteinander verknüpft, weiß man ja nicht ob man die Richtung BC oder CB rauskriegt. Somit könnte dann für t das falsche Vorzeichen rauskommen und man berechnet sich nicht C, sondern C', der Punkt, der von B gleich weit entfernt ist wie C, bloß in der anderen Richtung liegt.
anja3012 Auf diesen Beitrag antworten »

danke für das beispiel! werde mich später damit beschäftigen, muss erst mal die fertig bekommen, die wir vom prof. gekriegt haben!

wenn ich so wie werner gesagt hat rechne, wie komm ich dann auf t?

ich weiß, dass B= (-2/-2/0), und das C (4/y3/z3), das kreuzprodukt ist:
t (-39/0/13) falls ich richtig gerechnet habe! und dann soll ich nur die x koor. betrachten, oder?

BC ist ja C - B also wäre das dann: bei der x koor:
4- (-2) = 6 und dann wäre das t ja eigentlich 6,5 oder, weil dann müsst i ja 39: 6 = 6,5 ist!

verwirrt

Ps. die lösung von werner für c ist richtig (lösungsbuch)
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry für die Verwirrung:

Der VektorAB hat die Koordinaten, die Werner berechnet hat:

VektorAB = (-1 / -4/ -3)

Ich schussel da grad ziemlich herum.
Wenn dus noch einmal rechnest, dann kriegst das richtige raus.

Und dann musst aber das t hineinmultiplizieren in den Kreuzproduktvektor:

-39t = .....

und dann t berechnen..

lg kiki
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

nur ganz kurz, hast eh alles richtig gerechnet, NUR (mit vereinfachen, damit man möglichst kleine zahlen hat):

wenn du mit deinem wert weiterrechnest, muß am ende auch das richtige C herauskommen,
ich versuche immer, mit möglichst kleinen zahlen zu rechnen, da verhaue ich mich noch oft genug!
melde mich später, ich muß jetzt weg.

w

nur am rande: wanderst du nach der matura nach ägypten aus?
(du baust so viele pyramiden!)

und so geht es dann zum punkt D:

das ist ja das praktische bei den vektoren - s. kiki -, dass man sie herumschubsen kann (AD hat dieselbe richtung und größe wie BC)
und nun die ominöse gerade durch D(5/2/1) senkrecht zu e, also mit dem richtungsvektor (2,-5,6), geschnitten mit g ergibt t = 1
und S(11/-13/19), so ich mich nicht verrechnet habe

bei fragen bitte fragen!
w
anja3012 Auf diesen Beitrag antworten »

das mit ägypten könnt i ma noch überlegen Augenzwinkern

hm hab das jetzt so wie du gsag hast gekürzt, hat alles funktioniert! danke für die hilfe!

jetzt muss ich dann noch D berechnen!

ist das auch so schwer?

aber andere frage:
wie kommt man eigentlich allein auf solch komplizierte lösungswege, wenn ein unbekanntes vektorbeispiel mit dem schwierigkeitsgrad zur matura kommt, bin i (bzw. nit nur i, sondern die ganze klasse, da i eigenktlich ane der besten in mathe (außer bei der Vektorrechnung) bin) aufgschmissen!
najo darüber zerbrich i mir dann wohl einen tag vorher den kopf! jetzt heisst es strebern, strebern strebern, bis zum umfallen!
anja3012 Auf diesen Beitrag antworten »

noch eine kurze frage dazu:

kann ich nicht einfach A + BC anschreiben? für D ?

da kommt nämlich das falsche bei mir raus!

was bedeutet bei dir das O vor dem A und das O vor dem D?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

das O bedeutet den koo-ursprung.
der vektor von O nach A + vektor(BC) = vektor von O nach D
(zeichne es dir mal auf!)

da ja O(0/0/0).
wann hast denn matura?
wie man da drauf kumt: üben, üben, üben...
also genau das, was du eh machst.

wenn es dich tröstet, das ist nur beim 1. mal so kompliziert(?), wie so oft im leben
mußt meine tochter fragen, wegen der habe ich das lernen müssen, ist aber auch schon wieder > 10 jahre her
.... aber alles, was man übt... und dann halbwegs kann, macht spaß
w
anja3012 Auf diesen Beitrag antworten »

hm das ist mir soweit klar!

hab am freitag den 13. mai mathematura! davor am 9 deutsch und am 10 enlgisch!

juhu das wird lustig!

aber bei mir is nach dem kreuzprodukt das ergebnis ja: (-3/0/1) und nicht dann mal t und dann is es (-6/0/2) und nit (6/0/-2) wieso ist das jetzt umgedreht?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

ja weil es beim kreuzprosukt auf die reihenfolge ankommt, also
a x b = - b x a,
das t ist notwendig, da du durch das produkt "nur" die richtung SENKRECHT erfüllst, jetzt mußt du die komponenten des (einen von unendlich vielen) vektors noch so wählen, dass (hier) seine x-komponente = 6(?) und dazu dient t!, wenn du mit "deinem" kreuzprodukt weiterrechnest, würdest du halt statt t = 2 t´= -2
(ausprobieren!)
erhalten, und damit wieder dieselben koo des punktes C (dein vektor schaut in die andere richtung, ist antiparallel)
ok?
viel glück bei der matura, aber da werden wir uns wohl noch sehen, hören, schreiben
w
anja3012 Auf diesen Beitrag antworten »

achso stimmt! hab da mei minus vergessen!

danke!

ja vor der matura schreib i bestimmt noch öfters rein!

lg anja
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