Facharbeit: Erzeugung glatter Funktionsgraphen |
| 09.02.2004, 18:41 | peace2k2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Facharbeit: Erzeugung glatter Funktionsgraphen Habe ein ziemlich großes Problem. Ich muss eine Facharbeit (12. Klasse) über folgendes Thema schreiben: Die Erzeugung glatter Funktionengraphen: Das Schließen von Lücken zwischen zwei Funktionsgraphen mit der Klärung der Begriffe Stetigkeit und Differenzierbarkeit. Ich wurde in gewisser Weise gezwungen dieses Thema zu wählen, da ich meine Erst- sowie Zweitwahl nicht bekommen habe. 
Habe ein wenig gegoogelt und nix über glatte Funktionsgraphen gefunden. Weis jemand wo ich zu diesem Thema etwas im Internet finde oder in Büchern? Vielleicht könnte ich meinen Lehrer auch überreden ein anderes Thema zu nehmen, nämlich "Der metrische Vektorraum - Definitionen, Eigenschaften und Anwendungen des Skalarproduktes, des Vektorproduktes und Spatproduktes". Wäre das ein kleineres Übel? Hoffe ihr könnt mir weiterhlefen... |
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| 09.02.2004, 20:02 | asphys | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hmm du kannst dazu vieles bei Büchern etc.. für Mathe studenten finden. ich denke du wirst es aber einfacher haben für dein anderes thema was gutes zu finden. Z.B. in Büchern für Physiker in den ersten semestern gibt es vieles zu metrischen vektorräumen. sonst für stetigkeit und differenzierbarkeit sollte es eigentlich viel im inet geben. |
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| 09.02.2004, 20:30 | epikur | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine Funktion heisst "glatt" wenn sie differentierbar ist. Je öfter diffbar, destso glatter. Glätten kann man Funktionen mit Hilfe des Weierstrasschen Approximationssatzes, der auf einer Faltung der Ausgangsfunktion basiert. Die Funktion mit der gefaltet wird muss dabei oo-oft diffbar sein, einen kompakten Träger besitzen und gewisse Normierungseigenschaften erfüllen. Üblicherweise nimmt man dazu Varianten von phi(x) := c*exp(1/(epsilon-|x|)) falls |x| < epsilon, 0 sonst, wobei c so gewählt wird das int phi(x) d(x=-oo..oo) = 1. Der kompakte Träger ist offensichtlich, und die Wahl von c garantiert die gewünschte Normierung, alleine der Beweis das phi oo-oft diffbar ist dauert ein wenig. Die geglättete Funktion definiert man dann mittels der Faltung: f*(x) := int f(z)phi(z-x) d(z=-oo..oo) Der Beweis das f* oo-oft diffbar ist ist dann allerdings ein ziemlicher Brocken, jedenfalls für Schüler. Durch verkleineren von epsilon kann man so f beliebig genau durch ein unendlich glattes f* Approximieren, auch der Beweis dafür ist ziemlich jenseits allen Schulstoffes. PS: Nur als Übersicht gedacht und komplett aus dem Kopf. Ich gebe also keine Garantie auf die Formeln. |
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| 09.02.2004, 23:04 | peace2k2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für eure Hilfe! Ich werde meinen Lehrer fragen ob ich den Weierstrasschen Approximationssatz behandeln soll bevor ich mich damit ernsthaft auseinandersetze. Scheint nicht ganz einfach zu sein. Zumindets habe ich nun einen Anhaltspunkt. Merci! |
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| 13.02.2004, 16:25 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Facharbeit: Erzeugung glatter Funktionsgraphen
Hallo, was genau ist gemeint mit "Schliessen von Lücken zwischen Funktionsgraphen"? Der Begriff der "Glättung einer Funktion", den Epikur beschrieben hat, liefert dir eine unendlich oft differenzierbare (also glatte) Funktion, die der ursprünglichen sehr ähnlich sieht. Wenn du aber z.B. eine Funktion hast, die für x < 1, und für x > 2 definiert ist, aber im Bereich zwischen 1 und 2 nicht definiert, dann hättest du eine (ziemlich große) Lücke im Funktionsgraphen, die man schliessen könnte, indem man Funktionswerte in dem Bereich definiert. Diese Erweiterung kann stetig und differenzierbar gewählt werden, vorausgesetzt die originale Funktion hatte diese Eigenschaft in ihrem Definitionsbereich. Oder ist noch etwas anderes gemeint? Gruss, SirJective |
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| 15.02.2004, 19:04 | peace2k2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe das Thema jetzt gewechselt. Darf mich nun mit dem metrischen Vektorraum auseinandersetzen. Dazu findet man mehr Informationen 
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