Schnittgerade aus 2 Koordinatengleichungen

01.04.2005, 12:23

Effe

Schnittgerade aus 2 Koordinatengleichungen

HI kann mir jemand vielleicht an diesen 2 Ebenen erklären wie ich daraus eine Schnittgerade bekomme?

Sollen Koordinatengleichungen darstellen:
E: 2X1+3X2+5X3=3

und
E: X1-4X2+8X3=4

Wie kann ich die beiden jetzt schneiden, ich muss die doch gleichsetzten hab dann aber drei unbekannte und nur 2 Gleichungen was kann ich da machen?
danke für eure hilfe

01.04.2005, 12:25

derkoch

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edit: falsches seite rein geschrieben!

01.04.2005, 13:04

riwe

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RE: Schnittgerade aus 2 Koordinatengleichungen
bringe 1 ebene in parameterform:
E2: x2=s, x3 = t => x1= 4 + 4s - 8t
$\begin{eqnarray*} E:\;\vec{x} =\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \begin{pmatrix}4 \\ 1 \\0 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}-8 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
jetzt in E1 einsetzen. gibt eine gl für s und t, s durch t ausdrücken in E2 einsetzen, (zusammenfassen ) = schnittgerade
alles (un)klar?
werner

01.04.2005, 13:30

kikira

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RE: Schnittgerade aus 2 Koordinatengleichungen

Zitat:

Original von Effe
HI kann mir jemand vielleicht an diesen 2 Ebenen erklären wie ich daraus eine Schnittgerade bekomme?

Sollen Koordinatengleichungen darstellen:
E: 2X1+3X2+5X3=3

und
E: X1-4X2+8X3=4

Wie kann ich die beiden jetzt schneiden, ich muss die doch gleichsetzten hab dann aber drei unbekannte und nur 2 Gleichungen was kann ich da machen?
danke für eure hilfe

z.b.

E1: 3x + 2y - z = 4
E2: -2x + y + z = -2

Irgendeine Variable eliminieren, z.b. z:

dann bleibt übrig:

x + 3y = 2

Nun setzt man eine Variable t >>

x = t

Zurückeinsetzen und y ausdrücken:

t + 3y = 2
y = 2/3 - t/3

Nun für x und y in eine der beiden Ebenengleichung einsetzen und z ausdrücken:

in E1:

3t + 2 * (2/3 - t/3) - z = 4

z = -8/3 + 7t/3

Nun alle Koordinaten untereinander schreiben:

$\begin{eqnarray*} x = t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = \frac{2}{3} - \frac{t}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z = \frac{-8}{3} + \frac{7t}{3} \end{eqnarray*}$

Nun verschmelzen x, y, z zum Punkt X.
Die Zahlen auf der rechten Seite sind die Koordinaten des Punktes der Gerade. Die Koeffizienten von t sind der Richtungsvektor der Gerade, denn die Geradengleichung lautet:

X = Punkt + t * Richtungsvektor

daher:

$\begin{eqnarray*} X = \begin{pmatrix} 0 \\\frac{2}{3} \\ \frac{-8}{3} \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 1 \\\frac{-1}{3} \\ \frac{7}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und da es für die Geradengleichung egal ist, wie lang der Richtungsvektor ist, Hauptsache er zeigt in die Richtung der Gerade, kann man den Vektor noch mit 3 multiplizieren, damit die hässlichen Brüche wegfallen.

lg kiki

01.04.2005, 14:14

Effe

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Danke, wenn man weiss wie es geht ist es gar nicht so schwer..

tnx

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