Extremalaufgaben mit Nebenbedingung

01.04.2005, 19:31

N3R0

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Extremalaufgaben mit Nebenbedingung

ö

01.04.2005, 19:49

etzwane

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Zuerst machst du dir eine Skizze von der kegelförmigen Turmspitze (ist ein Dreieck auf dem Blatt Papier) und zeichnest dort einen beliebigen Zylinder mit Radius R und Höhe H ein (ist ein Rechteck auf dem Papier).

Jetzt überlegst du, was mit "größtmöglich zylindrischen Raum" gemeint sein könnte und stellst eine Formel dafür auf.

Jetzt überlegst du anhand deiner Skizze noch, welche Bedingungen r und h erfüllen müssen, damit sie in den Turm passen.

Fang erstmal damit an und lass uns deine Ergebnisse wissen.

EDIT: ergänzt um Schau hier mal nach

03.04.2005, 11:48

N3R0

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http://www.abiwahn-2006.de/misc/mathe/s178_12.gif

Ist die Skizze so in etwa???

03.04.2005, 12:05

etzwane

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Ja, die Skizze ist gut, wenn du die Variablen auch so festlegst (R,H für den Kegel und r,h für den Zylinder).

Schau mal, ich könnte jetzt diese Aufgabe für dich lösen, aber das ist nicht Sinn der Sache. Du sollst selbst nachdenken und rechnen.

Schreib jetzt erstmal die Formel für das Volumen des Zylinders hin, ich will die sehen. Das ist dann die Hauptbedingung.

Dann wendest du den Strahlensatz auf die Strecken r,h und R,H an, so dass du eine Formel für die Beziehung zwischen r und h erhältst unter Einschluss von R und H. Das ist dann die Nebenbedingung, schreib die Formel hin.

Die Nebenbedingung löst du z.B. nach h auf und setzt den Ausdruck in die Hauptbedingung ein, das sollte dann die Zielfunktion ergeben. Schreib die Gleichung hin.

Aber so genau kenne ich mich mit den Bezeichnungen
Hauptbedingung, Nebenbedingung, Zielfunktion
auch nicht aus, ich mach das mehr instinktiv.
Hier gibt es sicher einige im Forum, die das ganz genau wissen

Übrigens: Benutzer "N3R0" möchte/kann keine privaten Nachrichten empfangen.

03.04.2005, 12:51

N3R0

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Die Formel für das Volumen lautet: V = p * r² * h

Aber ich verstehe nicht ich hab doch die 2 Werte gegeben!! r und h, für was muss ich dann noch die Nebenbedingung machen?? Um Zu wissen wie der Wert maximal werden kann oder wie??

MFG

03.04.2005, 12:55

etzwane

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Nein, du hast doch nicht r und h gegeben, sondern R und H für den Kegel.

r und h sollst du doch so bestimmen, dass sie in den Kegel reinpassen, und dann soll das Volumen maximal werden.

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03.04.2005, 12:58

4c1d

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Damit die Extremwertaufgabe, die du löst, sich überhaupt auf das Problem bezieht, brauchst du eine Nebenbedingung, die eine Beziehung zwischen den beiden Variablen r und h angibt. Wie etzwane schon gesagt hat, schau dir die Skizze mal in Bezug auf die Anwendung von Strahlensätzen an. Wenn du deine Nebenbedingung hast, kannst du entweder in die Zielfunktion einsetzen und diese, als Funktion von nur einer Variablen, ableiten und ihre Extremwerte bestimmen, oder V=konst. sowie die Nebenbedingung implizit ableiten und dann kombinieren (hier etwas einfacher).

03.04.2005, 13:02

N3R0

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Also davon hab ich noch nie was gehört " Nebenbedingung implizit ableiten und dann kombinieren "? Aber das andere verstehe ich jetzte ein bisschen!! Ich versuch mal die Neben und Hauptbedingung aufzustellen!

MFG

Is diese Formel so richtig als Nebenbedingung?? Nur wo bekomm ich jetzte r für diese Formel her??

http://http://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?h=\frac{H(R-r)}{R}

Sorry falscher link!!

Hier ist der richtige!!

www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?h=\frac{H(R-r)}{R}

edit: Dreifachpost zusammengefügt, benutze die edit-Funktion! (MSS)

03.04.2005, 13:56

etzwane

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Eigentlich sollst du selbst den Strahlensatz anwenden, und dazu einigen wir uns jetzt auf die Darstellung wie in http://www.abiwahn-2006.de/misc/mathe/s178_12.gif ,

und dann kannst du bilden mit den 3 vorhandenen Dreiecken die Verhältnisse:

R/H=r/(H-h) oder R/H=(R-r)/h oder (R-r)/h=r/(H-h) oder eben die Kehrwerte davon.

Ich würde den Strahlensatz in der Form h/(R-r)=H/R (=Kehrwert der mittleren Formel) nehmen, nach h auflösen und in die Gleichung für das Volumen einsetzen (weil mir das im Augenblick am besten erscheint für die Weiterrechnung).

03.04.2005, 19:29

N3R0

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Gut also is das hier die Zielfunktion:

V=pi * r² * [ H (R-r) / R ]

Und was muss ich nun machen??

Ableitung bilden?? Und Extremwerte rausfinden oder??

03.04.2005, 19:32

etzwane

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Genau, ableiten nach r und Extremwert aus V'(r)=0 ausrechnen

04.04.2005, 14:59

N3R0

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muss ich das jetzte erst ableiten nach r ? oder muss ich erst die Nebenbedingung V (r) in die Zielfunktion einsetzten??

04.04.2005, 15:04

4c1d

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Zitat:

Original von N3R0
muss ich das jetzte erst ableiten nach r ?

Ja.

Zitat:

Original von N3R0 oder muss ich erst die Nebenbedingung V (r) in die Zielfunktion einsetzten??

V(r) ist schon die Zielfuktion

04.04.2005, 15:13

klarsoweit

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Ich schlage vor, daß es nur hier weitergeht:

http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=15228

04.04.2005, 16:17

N3R0

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also eins verstehe ich noch net muss ich diese Gleichung V= pi * r² * h, für r die Abgeleitete oder die ausgangsgleichung einsetzten??

weil wir haben das bis jetrzte immer so geamcht das ich die ausgangsfunktion für r einsetzte un dann die komplette zielfunktion ableite??

was ist nun richtig!!

und sorry wegen den 2 threads kommt nicht wieder vor!!

habs jetzte gesehn!! V (r) ist schon die Zielfunktion also leite ich sie nur noch ab un rechne die Extremwerte raus!!

04.04.2005, 19:42

etzwane

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Zur Kontrolle für deine Rechnung:

Als Zielfunktion hattest du erhalten V(r) = pi * r² * [ H (R-r) / R ] oder schöner geschrieben und umgeformt:

$\begin{eqnarray*} V(r)=\pi r^2\frac{H(R-r)}{R}=\pi \frac{H}{R}r^2(R-r)=\pi \frac{H}{R}(Rr^2-r^3) \end{eqnarray*}$

Diese Funktion abgeleitet nach r und gleich zu Null gesetzt ergibt

$\begin{eqnarray*} V'(r)=\pi \frac{H}{R}(2Rr-3r^2)=0 \end{eqnarray*}$ als Bestimmungsgleichung für das r, für das die Zielfunktion ein Extremwert wird.
Der Faktor $\begin{eqnarray*} \pi \frac{H}{R} \end{eqnarray*}$ vor der Klammer kann bei der Bestimmung von r weggelassen werden, da er auf das Ergebnis von r keinen Einfluß hat, so dass bleibt für r:
$\begin{eqnarray*} 2Rr-3r^2=0 \text{ oder auch } r(2R-3r)=0 \end{eqnarray*}$ mit den beiden Lösungen $\begin{eqnarray*} r=0 \text{ und } r=\frac{2}{3}R \end{eqnarray*}$

Dabei ergibt die Lösung mit $\begin{eqnarray*} r=\frac{2}{3}R \end{eqnarray*}$ das Maximum der Zielfunktion, was du noch zeigen solltest.
Die Höhe des Zylinders findest du durch Einsetzen des Ausdrucks für r in die Gleichung $\begin{eqnarray*} h=\frac{H}{R}(R-r) \end{eqnarray*}$ und das Volumen des Zylinder durch Einsetzen der Ausdrücke für r und h in die Gleichung $\begin{eqnarray*} V=\pi r^2h \end{eqnarray*}$ .

Und am Schluß solltest du noch die Zahlenwerte für R und H des Kegels aus der Aufgabenstellung einsetzen.

EDIT: Tippfehler bei den Ableitungen korrigiert, SORRY.

05.04.2005, 12:08

N3R0

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gut so langsam versteh ich das alles, nur eisn net als du abgeleitet hast nach r, wieso stand da zuerst pi * H/R und als du abgeleitet hast stand da pi * R/H. Ist das immer so wenn man ableitet das das rumgedreht wird???

05.04.2005, 12:09

klarsoweit

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nein, das ist falsch. Wahrscheinlich simpler Tippfehler.

05.04.2005, 12:29

N3R0

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ahh verdammt deshalb versteh ich das alles die ganze zeit net!! na dann is alles klar!!! ich rechne es ma aus und poste dann mein ergebniss! hoffe das es richtig ist!!

05.04.2005, 12:48

N3R0

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Hier sind meine Ergebnisse:

r= 3,6666

h= 5,34

V= 225,54

Kann mir jemand sagen ob das alles die Maximalen Werte für den Zylinder sind??

05.04.2005, 13:09

klarsoweit

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Die Ergebnisse sind prinzipiell richtig (Volumen habe ich jetzt nicht nachgerechnet), aber wenn schon runden, dann h = 5,33. Prinzipiell finde ich ungerundete Ergebnisse mit Einheiten besser, also z.B. h = 16/3 m. Desweiteren sind r und h nicht die maximalen Werte, sondern die Werte, wo das Volumen maximal wird.
Wie schon gesagt, erhält man mögliche Extremstellen aus der Gleichung V'(r) = 0. Hier käme also noch r=0 in Frage. Hier wäre das Volumen aber = 0, also kein Maximum. Ob die gefundene Lösung r = 2R/3 eine Maximalstelle ist, wird mit der 2. Ableitung geprüft. Es muß dann V''(2R/3) < 0 sein. Und zur Vollständigkeit muß man noch die Ränder, also r=0 und r=R untersuchen.

05.04.2005, 13:31

N3R0

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wie lautet denn die 2.te ableitung?!?

05.04.2005, 13:34

klarsoweit

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Du mußt du 1. Ableitung $\begin{eqnarray*} V'(r)=\pi \frac{H}{R}(2Rr-3r^2) \end{eqnarray*}$ wiederum nach r ableiten. Das sollte gehen, oder?

05.04.2005, 13:40

N3R0

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ja ok habs raus

die 2.te ableitung ist dann 2R-6r = 0

dann kommt -11 raus und das ist ja ein Maximum!!!

05.04.2005, 13:51

klarsoweit

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Du hast die 2. Ableitung gleich Null gesetzt, das ist falsch gerechnet. Also erstmal die 2. Ableitung:
$\begin{eqnarray*} V''(r)=\pi \frac{H}{R}(2R - 6r) \end{eqnarray*}$
Nun r = 2R / 3 einsetzen:
$\begin{eqnarray*} V''(2R/3)=\pi \frac{H}{R}(2R - 6 \cdot 2R/3) = \pi \cdot H \cdot (-2) \end{eqnarray*}$
Wie man leicht sieht, ist das kleiner Null.

05.04.2005, 21:23

etzwane

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Zitat:

Original von N3R0
gut so langsam versteh ich das alles, nur eisn net als du abgeleitet hast nach r, wieso stand da zuerst pi * H/R und als du abgeleitet hast stand da pi * R/H. Ist das immer so wenn man ableitet das das rumgedreht wird???

Da habe ich mich verschrieben, tut mit leid, wenn ich dich verwirrt haben sollte.

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