Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

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Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit
folgende 2 Aufgaben:

1) In einer Gruppe von frauen sind 15% blond, 12 % haben blaue Augen. 80% haben weder blondes Haar noch blaue Augen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine zufällig ausgewählte Frau, die blaue Augen hat, blond?!

komme net weiter
hatte mir überlegt 20/100 mal 12/100 mal 15/100
aber des erscheint mir falsch

2)
Ein Tisch wurde für 8 Ehrengäste reserviert. leider gingen die Tischkarten verloren. Mit welche Wahrscheinlichkeit setzen sich 6 ( bzw.5) Gäste nach der beabsichtigen Reihenfolge?

so gibt 8! Möglichkeiten wie sie sich hinsetzen können. 6 Leute können Sich auf 6! Möglichkeiten hinsetzenn..abe rmehr weiss ich net:/

we rkann helfen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wieviel Prozent sind denn blond und zugleich blauäugig? (blond-blau schraffierte Fläche)
schlange Auf diesen Beitrag antworten »

ja das ist ja mein problem *g*

hab immer noch nicht mehr anzubieten als meine erste formel *schäm*

sinds net
12/100 mal 15/100?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Versuch doch erstmal, zu bestimmen, wie viel % überhaupt blauäugig oder blond oder beides sind. Also die drei Mengen zusammen!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die in a) gesuchte Wahrscheinlichkeit wird bestimmt durch das Verhältnis 1) derjenigen, die zugleich blond sind und blaue Augen haben, zu 2) denjenigen, die blaue Augen haben. Kurz gesagt: Es ist der Anteil der Blonden unter den Blauäugigen gesucht.

Jetzt ist ja angegeben, daß 80 % weder blond noch blauäugig sind, also sind 20 % blond oder blauäugig. Wenn du aber die Prozentzahlen der Blonden und Blauäuigen zusammenzählst, kommst du auf mehr als diese 20 %. Überlege erst einmal, woran das liegt. Bestimme dann daraus 1).
schlange Auf diesen Beitrag antworten »

eben die wahrscheinlichkeit zu 1) kann ich nicht bestimmen


Dass es mehr als 20 % sind, wird wohl daranliegen, dass einige blond UND blauäugig sind.

Also, ich hab mir dann ma nen baumdiagramm aufgezeichnet

die wahrscheinlichkeit, dass eine frau blond oder blauäugig ist beträgt 0,2. Dass sie nun blond ist beträgt 0,2 mal 0,15 und dass die zudem blauäugig ist mal 0,12.

anders rum ginge es auch, also 0,2 mal 0,15 mal 0,12


ich komme also auf nix andres als 2 mal 0,2 mal 0,15 ma 0,12


mir ist bewusst, dass das falsch ist (habta ja shcon gesagt), abe rich weiss nicht wo mein denkfehler ist.
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Denkfehler ist, daß du einfach Wahrscheinlichkeiten multiplizierst, die nichts miteinander zu tun haben. Da könnte man auch sagen: Bei der letzten Bundestagswahl hat ein Anteil von 0,385 SPD, ein Anteil von 0,385 CDU, ein Anteil von 0,074 FDP und ein Anteil von 0,086 GRÜNE gewählt. Also hat ein Anteil von 0,385·0,385·0,074·0,086=0,001 alle Bundestagsparteien zugleich gewählt. Das ist natürlich ziemlicher Unfug.

Wahrscheinlichkeiten dürfen nur dann multipliziert werden, wenn die betreffenden Ereignisse unabhängig sind oder wenn es sich bei Abhängigkeit um bedingte Wahrscheinlichkeiten handelt.

Nehmen wir einmal Folgendes an:




Der in 2. genannte Prozentsatz ist bedingt. Es sind ja nicht 15 % der Einwohner, die schwarz arbeiten, sondern 15 % der Arbeitslosen (bedingte Wahrscheinlichkeit). Die Arbeitslosen hinwieder sind 12 % der Gesamtheit (unbedingte Wahrscheinlichkeit).

Wenn wir mit das Ereignis "arbeitslos" und mit das Ereignis "Schwarzarbeit" bezeichnen, so sind also gegeben




Die Bedingung hängt man als Index bei an (oft findet man neben auch die Schreibweise ; lies in beiden Fällen: die Wahrscheinlichkeit von unter der Bedingung ).

Und wenn man das Ganze nun auf die Gesamtbevölkerung umrechnen will, so kann man multiplizieren:



Das heißt: die betrachteten Menschen, also die 15 % unter den Arbeitslosen (welche selbst wieder 12 % unter allen sind), sind auf die Gesamtbevölkerung bezogen 1,8 %. Damit hat man jetzt den Anteil der schwarz arbeitenden Arbeitslosen an der Gesamtbevölkerung berechnet, also wieder eine unbedingte Wahrscheinlichkeit. Man schreibt das so:



Und wenn du dir die Rechnung noch einmal anschaust, erkennst du die folgende Formel



Man kann diese Formel auch nach auflösen:



Wenn man also weiß, daß 1,8 % der Bevölkerung arbeitslos sind und zugleich schwarz arbeiten, und wenn man weiterhin weiß, daß 12 % arbeitslos sind, so kann man daraus den Anteil der Schwarzarbeiter an den Arbeitslosen ausrechnen:




Und nach diesem langen Vorspann zurück zu deiner Aufgabe. Übertrage das Muster, das ich gerade erklärt habe, auf deine Situation. Überlege, welche Wahrscheinlichkeit gesucht ist. Ist es eine unbedingte oder eine bedingte Wahrscheinlichkeit? Was ist gegebenenfalls die Bedingung? Führe geschickte Bezeichnungen wie im Muster ein. Schreibe alles, was du herausgefunden hast, hier herein.

Dann sehen wir weiter ...
schlange Auf diesen Beitrag antworten »

erst ma danke für deine mühe und dass du nicht an mir verzweifelst.
und ich hoffe, du wirst es auch nach diesem post nicht tun, denn ich kriege es imme rnoch nicht hin - trotz deiner super erläuterung.


also, meine überlegungen:

Gesucht ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit.
A sei das Ereignis blond
S sei das Ereignis blauägig


leider weiss ich nicht wie man das A nach unten schreibt, drum schreib ich:

Gesucht wird Ps(A): die Wahrscheinlichkeit, dass eine Frau blond ist - unter der Bedingung, dass sie blaue Augen hat.

Dann ist ja die Formel angegeben: dabei ist PsA gesucht, P(S) ist gegeben = 0,12


fehlt mir also noch P (A u S) (auch hier weiss ich nicht, wie man das schöner schreibt)

= der Anteil der blauäugigen + blonden an der Gesamtzahl der Frauen

und hier häng ich nach wie vor..mist

müsste ich ja theoretisch wieder irgendwie über die Formel berechnen.

naja, überlege ich mir halt noch was zu den andren gegebenen Wahrscheinlichkeiten.
Meines Erachtens sind die gegeben Wahrscheinloichkeiten alle unabhängig, oder?
Weil 15 % ALLER Frauen sind blond.
12 % ALLER Frauen sind Blauägig
20% ALLER Frauen haben entweder blonde Haare oder sind blauäugig.

Da du ja gesgat hast, dass man unabhängige Wahrscheinlichkeiten multiplizieren darfst, würde ich das nun wieder tun- allerdings ist dies ja falsch.
Also müsste bei der Überlegung ob die gegeben Wahrschenlichkeiten abhängig oder unabhängig sind, wieder mal ein Denkfehler drinne seinsmile
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Unabhängigkeit liegt hier nicht vor! Du suchst .
Gegeben hast du , und .

Wenn du dich jetzt noch an die dem obigen Venn-Diagramm entsprechenden Formeln


erinnerst, sollte das ganze doch machbar sein!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich will es noch einmal ohne allzuviel Formelkram zu erklären versuchen.

Du hast die Ereignisse richtig zugeordnet, und in der Tat ist die bedingte Wahrscheinlichkeit



gesucht. Du hast auch gemerkt, daß dir hier noch das fehlt, also die Wahrscheinlichkeit vom Schnitt. Stelle dir einfach einmal die 100 % als 100 Frauen vor. 80 von diesen Frauen befinden sich im roten Bereich meiner Figur. Also bleiben 20 Frauen übrig. Jetzt verteile diese 20 Frauen so in den 1. rein gelben Bereich (ohne Schnitt mit blau), 2. rein blauen Bereich (ohne Schnitt mit gelb), 3. gelb-blau-schraffierten Bereich (also den Schnitt von gelb und blau), daß

a) es ingesamt 20 Frauen sind
b) im gelben Bereich 15 Frauen sind
c) im blauen Bereich 12 Frauen sind

Da mußt du nur ein bißchen probieren - und dann hast du es schon. Du kannst dann am Diagramm ablesen, was ist. Und dann kannst du dir das Ganze noch einmal mit Arthurs Formel anschauen und verstehst vielleicht auch, was die letztlich aussagt.
schlange Auf diesen Beitrag antworten »

hiho,

also nachdem ich mir das dann so überlegt hab (und mit der formel nachgeprüft habe) müsste P (A u S) = 0, 07 sein

naja, dann kann ich die aufgabe nu lösen...was ne geburtsmile sry dafür, dass ich mich so doof anstell


ps: da gibts ja leider noch ne aufgabe *ggg*
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du schreibst immer A u S. Am Anfang habe ich das noch für einen Schreibfehler gehalten. Bist du dir darüber im klaren, daß die Vereinigung der Mengen und ihren Durchschnitt bezeichnet?

EDIT

Und zur zweiten Aufgabe:
Ich verstehe sie so, daß genau 6 Leute auf dem richtigen Platz sitzen sollen. Wie viele Möglichkeiten hast du, diese 6 Leute aus den 8 auszuwählen? Beachte, daß dann die zwei verbleibenden Personen auf falschen Plätzen sitzen müssen, also gerade ihre Plätze getauscht haben.
Und bei 5 richtigen Plätzen ist die Sache etwas komplizierter. Der Anfang geht noch gleich: Wie viele Möglichkeiten gibt es, diese 5 aus den 8 Personen auszuwählen? Die drei verbleibenden müssen aber dann alle auf falschen Plätzen sitzen. Von den 6 Permutationen dreier Objekte sind also nur die gültig, wo kein Objekt am richtigen Platz ist (fixpunktfreie Permutationen). Da gibt es eine allgemeine Formel dafür, aber hier kann man sie noch "von Hand" abzählen. Wenn abc die richtige Reihenfolge ist, wieviele Reihenfolgen gibt es dann, wo kein Buchstabe sich am richtigen Platz befindet?

abc
acb
bac
bca
cab
cba

Welche sind es?
schlange Auf diesen Beitrag antworten »

das liegt daran, dass ich nicht weiss, wie man das so schön schreibt, wie du...habs mit dem formeleditor versucht und hat nicht geklappt *g*

hab dann das u gewählt, weil es ja der anteil derjenigen ist die zugleich blond Und blauäugig sind.
Hab den unterscheid zwischen den schreibweisen jetzt glaub ich verstanden.

ps: haste auch noch nen guten tipp für aufgabe b) parat?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe meinen vorigen Beitrag noch etwas ergänzt.
schlange Auf diesen Beitrag antworten »

die möglichkeiten sind
bca
cab


und kann ich nicht auf 8 über 6 Möglichkeiten die 6 aus 8 auswählen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es. Was ist also die gesuchte Wahrscheinlichkeit bei 6 richtigen Plätzen?

Verwende LATEX zum Formel-Schreiben. Ein paar Tips dazu:

Brüche: \frac{7}{8} gibt
Binomialkoeffizienten: {16 \choose 7} gibt

Du kannst auch den Formeleditor verwenden und den von ihm erstellten Code in das Texteingabefeld kopieren.

Formelcode markieren und auf den blauen f(x)-Knopf am oberen Rand des Eingabefeldes klicken. Dann wird der Code in LATEX-Klammern eingeschlossen und beim "Antwort erstellen" als Formel dargestellt.
schlange Auf diesen Beitrag antworten »

also bei 6 Gästen aufm richtigen platz müsste es dementsprechend:





sind es bei 5 Gästen aufm richtigen platz:




???
schlange Auf diesen Beitrag antworten »

man mir kommen grad zweifel:

wieso kann ich denn 6 Leute aus den 8 auf auswählen...das hieße ja ungeordnet, aber es kommt doch auf die reihenfolge an?!?!?! is ja nicht wie beim lotto, dass ich die 6 leute irgendwie ziehen muss...sondern hier muss ich doch alle möglichkeiten beahcten?!?!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Es sei das Ereignis, daß genau Personen auf dem richtigen Platz sitzen.

Die erste Wahrscheinlichkeit würde ich, obwohl es rechnerisch dasselbe ist, so schreiben



Überlege einmal, wieso ich auf den Faktor 1 Wert lege. Und die "6 aus 8" sind hier schon richtig. Stelle dir die Göttin Fortuna mit 8 goldenen Kugeln vor, von 1 bis 8 numeriert. Und nun wirft sie die Kugeln in einen Teller, zwei kugeln heraus und 6 sammeln sich auf dem Tellerboden, z.B. die Kugeln 1,2,3,4,6,7. Das würde jetzt heißen, daß sich auf die Plätze 1,2,3,4,6,7 die richtigen Personen setzen. Fortuna wählt also aus den 8 Plätzen die 6 Plätze aus, die korrekt besetzt werden.

Dein Ergebnis für stimmt nicht. Überlege einmal warum. Lies dazu meine Erklärung in meinem vorvorigen Beitrag noch einmal vollständig durch.
jovi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit
Zitat:
Ein Tisch wurde für 8 Ehrengäste reserviert. leider gingen die Tischkarten verloren. Mit welche Wahrscheinlichkeit setzen sich 6 ( bzw.5) Gäste nach der beabsichtigen Reihenfolge?

Also mich verunsichern solche Aufgabenstellungen immer ein wenig.
Ich hätte die Frage jetzt so verstanden, dass eine zyklische gerichtete Reihenfolge gemeint ist. Ausserdem dachte ich, dass mit "setzen sich 6 ..."
üblicherweise "setzen sich mindestens 6 ..." und nicht "setzen sich genau 6 ..." gemeint ist.
Allerdings scheint der Schwierigkeitsgrad der Aufgabe dann erst recht nicht zur vorigen Aufgabe zu passen.
Besonders dumm wird es, wenn sich der Schüler dann entscheiden muss, ob er die Aufgabe so löst wie er sie verstanden hat, oder so wie er
denkt, dass sie vom Aufgabensteller gemeint gewesen ist
schlange Auf diesen Beitrag antworten »

also, das Problem ist ja nicht wieso 6 AUS 8 sondern, warum ...hätte ja auch sein können-----also geordnet ohne zurücklegen


die 1 hats du benutzt, weil es EINE Möglichkeit die 2 leute auf falsche plätze zu setzen

vorraussgesetzt es sind wirklich 8 über 6, müssten es bei 5 Gästen auf richtigen Plätzen:

sein, weil man die 3 leute nur auf 2 Möglichkeiten ordnen kann, so dass allle falsch sitzen.
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