Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Ü Eier

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mela Auf diesen Beitrag antworten »
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Ü Eier
Hallo!
Ich habe schon etwas länger geknobelt und komme irgendwie nicht auf die Lösung. Wäre schön, wenn mir jemand helfen könnte!

"In einer Überraschungseiersaison gibt es 120 verschiedene Spielzeuginhalte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man von jedem Inhalt mindestens ein Exemplar hat, wenn man 500 Überraschungseier kauft?"

Über eine schnelle Antwort würde ich mich sehr freuen!

Viele Grüße!
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Ü Eier
Zitat:
Original von mela
"In einer Überraschungseiersaison gibt es 120 verschiedene Spielzeuginhalte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man von jedem Inhalt mindestens ein Exemplar hat, wenn man 500 Überraschungseier kauft?"

Kann sein dass ich mich täusche, aber hier fehlen Informationen (z.B. Produktions- und Auslieferungsmodalitäten). Unter gewissen Umständen, kann die gesuchte Wahrscheinlichkeit 1 oder auch 0 betragen. Prinzipiell sind sogar Konstellationen für jede beliebige Wahrscheinlichkeit denkbar.

Nachtrag: Wo bei dieser Aufgabe (also mit den gegebenen Informationen), die bedingte Wahrscheinlichkeit ins Spiel kommen soll, ist mir auch noch rätselhaft.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich würde es mal mit dem Gegenereignis und der Multinomialverteilung versuchen.


Gruß, therisen
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

@therisen: Wie gesagt bin ich mir mit meiner obigen Antwort unsicher. Bist du der Meinung, die gegebenen Informationen reichen für eine eindeutige Antwort? Was hat das ganze mit der bedingten Wahrscheinlichkeit zu tun?
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann ja von einer LaPlace-Produktionsanlage ausgehen Big Laugh
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

@mela: Poste doch bitte mal die (vollständige) Originalaufgabe und in welchem Kontext ihr die grad behandelt.

Folgende (zusätzliche) Informationen könnten hilfreich sein:
  • Welcher Verteilung unterliegt die Produktion der 120 Figuren?
  • Ist in jedem Ü-Ei eine Figur?
  • Aus welcher Grundgesamtheit werden die 500 Eier ausgewählt?
 
 
mela Auf diesen Beitrag antworten »

das war die komplette aufgabe auf nem übungszettel, der die überschritt bedingte wahrscheinlichkeiten trägt. mein probelm war auch, dass mir informationen fehlten.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Gemeint ist vermutlich, dass jeder der 120 Inhalte mit gleicher Wkt auftritt, und dass die 500 Eier bzgl. der Inhalte "unabhängig" voneinander sind.

In dem Fall handelt es sich um eine Laplace-Wkt, wobei die Anzahl der günstigen Ereignisse so wie hier zu bestimmen ist. Also wieder mal die gute alte Siebformel. Augenzwinkern
mela Auf diesen Beitrag antworten »

mit der laplace wahrscheinlichkeit habe ich auch herum probiert kam aber zu keinem richtig schlüssigen ergebnis. vielleicht habe ich micht lediglich verrechnet. wie würdest du die siebformel in diesem fall denn anwenden?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »











mit Siebformel berechnen
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich wieder mal was gelernt. Augenzwinkern
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist aber bei Werten von 120 und 500 sehr mühsam.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tomtomtomtom
Das ist aber bei Werten von 120 und 500 sehr mühsam.

Wie man's nimmt, eine Summe mit 121 Gliedern eben. Hast du einen Vorschlag, wie es kürzer geht?
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ich hab mich nur erinnert da mal was gelesen zu haben, habs gefunden, und da ist auch nur diese (in diesem Fall) 120-teilige Summe angegeben.

Aber wenn sich jemand näher damit beschäftigen wil, findet man in den Suchmaschinen einiges unter "Coupon Collection Problem".

Edit:

In meiner Quelle wird folgendes angegeben: Sei X eine Zufallsvariable, die die Anzahl der Züge beschreibt, bis bei r gleichwahrscheinlichen Ereignissen das r.-te verschiedene Ereignis eintritt. Dann gilt



Mit den Werten von 120 Ereignissen und 500 Zügen ergibt sich etwa


AD Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das war oben schon verlinkt ...


EDIT: Nein, nicht ganz. In deinem Summanden fehlt der alternierende Faktor .
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

OK, den verlinkten Thread habe ihc nicht komplett gelesen. Aber mit "unangenehm" meinte ich auch nicht nur die pure Anzahl der Summanden, sondern auch die Tatsache, daß die einzelnen Binomialkoeffizienten schon ziemlich unhandlich werden. MAPLE rechnet auch nen ganzes Weilchen (wenns mans exakt berechnen läßt und erst das Endergebnis auf float umrechnet). Per Hand möchte ich das nicht machen müssen. Die Stirlingsche Formel hilft weiter, aber es ist trotzdem eine unbequeme Aufgabe.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann die grobe Näherung machen, dass die o.g. Ereignisse unabhängig sind (was natürlich nicht stimmt), das führt dann zu



Für 120 Inhalte und 500 Eier ergäbe das

,

also schon eine deutliche Abweichung vom tatsächlichen Wert .
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, man kann auch abschätzen, daß die einzelnen Summanden alternierendes Vorzeichen haben und betragsmäßig fallen (zumindest ab i=2). Damit ist der Approximationsfehler immer kleiner als der erste Summand, den man noch nicht dazugerechnet hat (das heißt glaub ich Leibniz-Kriterium), und diese Summanden werden sehr schnell sehr klein.

code:
1:
2:
for i from 0 to 12 do
evalf((-1)^i*binomial(120,i)*(1-i/120)^500); od;


code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
                         1.
                             -1.82826
                             1.59984
                             -.892825
                             .357236
                             -.109237
                             .0265718
                            -.00528475
                            .000876603
                           -.000123099
                           .0000148058
                          -.00000153935
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »



Mit Tabellenkalkulation (Excel) geht es so:

Zelle A1: 0
Zelle B1: =Kombinationen(120;A1)
Zelle C1: =((120-A1)/120)^500
Zelle D1: 1
Zelle E1: =B1*C1*D1
Zelle F1: =E1

Zelle A2: =A1+1
Zelle B2: =Kombinationen(120;A2)
Zelle C2: =((120-A2)/120)^500
Zelle D2: =-D1
Zelle E2: =B2*C2*D2
Zelle F2: =F1+E2


Dann die Zellen der zweiten Zeile nach unten kopieren. Schon nach wenigen Summanden sind die Werte numerisch gleich.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Für bestimmte Parameter ist diese alternierende Summe übrigens ein Paradebeispiel für numerische Auslöschungseffekte: Man betrachte nur mal 200 statt 500 Eier und rechne mit gewöhnlichen Fließkommazahlen (double) ... Big Laugh
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin kein Numeriker. Was genau sind Auslöscheffekte? Geht es da um "sehr große Zahl mal sehr kleine Zahl gleich Wackelzahl"?

Wenn ich mit 200 statt 500 Eiern rechne, bekomme ich zunächst eine Art "Divergenz". So etwa ab dem fünfzigsten Summanden stabilisiert sich der Wert allerdings. Eine Tabellenkalkulation (Excel) liefert mir 5,748·10^(-8), mein CAS (LiveMath) dagegen 6,059·10^(-8). Und wenn ich das Ganze mit einem kleinen Delphi-Programm berechne (Variablentyp Extended: 19 bis 20 Stellen), erhalte ich -1,161·10^(-11). Außer daß die Wahrscheinlichkeit sehr gering ist, kann man wohl diesen Ergebnissen nicht mehr entnehmen. Oder darf man sich nicht einmal dessen mehr sicher sein? verwirrt
AD Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, nahe Null - aber nicht drunter ...
Der Wkt-Wert für 200 Eier liegt bei etwa .
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