Berechnung der Dimension des Schnitts zweier Ideale einer Teilalgebra |
| 10.02.2004, 23:18 | finch | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Berechnung der Dimension des Schnitts zweier Ideale einer Teilalgebra U ist ein Teilraum eines K-Raumes V mit dim(V) = n A := {alpha € End(V)|Ualpha enthalteninodergleich U} B := {alpha € End(V)|Ualpha = 0} C := {alpha € End(V)|Valpha enthalteninodergleich U} Wie bestimme ich die Dimension von B n C ???? (B geschnitten mit C) Wäre sehr dankbar für irgendwelche Hinweise die mir weiterhelfen! Hinweise: * Ualpha ist die Bildmenge aller u€U unter alpha * B und C sind Ideale von A d.h. für ein beta € B und ein alpha € A gilt betaalpha € B und alphabeta € B (hintereinanderausführung) [entsprechendes für C] * End(V) ist die Menge aller Endomorphismen, sprich aller linearen Abbildungen von V nach V. * A ist Teilalgebra von V (Algebra = Vektorraum mit bilinearer multiplikativer verkn, in diesem falle hintereinanderausführung) |
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| 10.02.2004, 23:35 | sommer87 | Auf diesen Beitrag antworten » |
hi und 
,ich kann dir hier persönlich leider nicht helfen. 
Zu deinem Post: Bitte gebe beim nächsten mal einen besseren Titel al "wichtig" an. da darunter niemand etwas versteht und dein prob auch nicht schneller gelöst wird!!! Ich ändere mal den titel jetzt erstmal, kann das thema aber nicht wirklich zuordnen. kann dann ja vielleicht jmd nochmal machen, der auch ahnung davon hat 
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| 10.02.2004, 23:36 | Deakandy | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: wichtig Auch wenn ich dir leider nicht bei dieser Aufgabe helfen kann, bite ich dich doch demnächst den userguide mal durchzublättern um zu lesen, dsa ein prägnantes Thema schon sinnvoller wäre. Also du schon in deiner Überschrift dein Problem schilderst...ansatzweise 
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| 11.02.2004, 00:19 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: wichtig @sommer87 & @Deakandy euere 'Kritik' kann ich nicht teilen. Das einzige was meiner Meinung nach hier 'falsch' ist, ist dass es in die Rubrik Höhere Mathematik gehört. Da es dort aber keinen speziellen Unter-Posten mit Lineare-Algebra gibt hat er oder sie es fast verständlicherweise hier abgelegt ... es gehört verschoben ... |
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| 11.02.2004, 00:22 | sommer87 | Auf diesen Beitrag antworten » |
---> verschoben!!!
danke fürs umtiteln :] aber jetzt sollten wir nicht weiter diskutieren sondern helfen
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| 11.02.2004, 16:07 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Berechnung der Dimension des Schnitts zweier Ideale einer Teilalgebra Bleibt eine wichtige offene Frage: Wie ist Teilraum definiert ?? .. scheint ebenfalls von der Dimension n zu sein und in V zu liegen. Frage, gehört der 'Nullvektor' definitionsmäßig mit zu einem Teilraum ...? .. |
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| 11.02.2004, 16:29 | epikur | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ein Teilraum U von V ist eine Teilmenge U von V die selber wieder ein Vektorraum ist. Da jeder Vektorraum als additive abelsche Gruppe eine 0 enthält, muss auch U wieder den Nullvektor aus V enthalten. Es gilt natürlich dimU <= dimV und gleichheit genau dann wenn U = V. |
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| 11.02.2004, 17:13 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » |
@epikur Perfekte Antwort. Ja, genau darauf wollte ich unter anderem hinaus ... dimU = dimV genau dann wenn U = V, würde natürlich implizieren dass der Nullvektor in U, bei U 'echte Teilmenge' von V dann auch nur eine niederdimensionale Projektion des Nullvektors von V sein kann. Edit: Nein ich glaube das hat sich erledigt, ich hatte eine falsche Vorstellung von 'dim'. Wenn ich das nun richtig sehe würde das in etwa folgendes bedeuten. Nehmen 'wir' mal den R4 mit Elementen der Form (x1,x2,x3,x4), dann wäre der Nullvektor (0,0,0,0). Alle Elemente der Form (x1,x2,x3,0) würden dann z.B. einen solchen Teilraum bilden können mit der Dimension 3 und wären alle gleichzeitig auch Elemente von R4. Der zugehörige Nullvektor wäre der gleiche und nicht, wie ich anfangs vermutete (0,0,0), da dies ja dann streng genommen kein Element von R4 sein könnte. Allerdings ist mir klar, dass das nur von formaler Bedeutung ist, da jener Teilraum ja zu R3 isomorph sein müsste. ... |
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| 12.02.2004, 17:11 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Endomorphismenring Also das Einzige, was mir jetzt dazu spontan einfaellt, waere, mal statt den Endomorphismen deren darstellende Matrizen zu betrachten. Damit wird das naemlich huebsch anschaulich. Ich bezeichne mal die Dimension von U mit m. Wenn man mit einer Basis a_1, ..., a_m von U anfaengt und diese zu einer Basis a_1, ..., a_m, a_(m+1), ..., a_n von V ergaenzt und sich dann mal die darstellenden Matrizen der Endomorphismen bzgl. dieser Basis anschaut, dann sehen die naemlich schoen einfach aus. z.B. in dein Teilraum B enthaelt dann solche Matrizen, die in den ersten m Spalten Nullen haben und danach aussehen koennen, wie sie wollen. *g* In C sind solche Matrizen, die in den ersten m Zeilen aussehen wie sie wollen, aber in den uebrigen Zeilen 0 sind. Und wie B geschnitten C aussieht, kannst dir dann auch ganz leicht ueberlegen. Dann musst du nur noch abzaehlen wieviele Eintraege nicht zwingend Null sind und du hast deine gesuchte Dimension. Ich hoffe, ich hab hier nicht irgendwo nen Hund drin und blamiere mich voellig, aber das waer jetzt mein Vorschlag.
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| 25.02.2004, 15:13 | martins1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich würde es wie folgt angehen: C ist offensichtlich äquivalent zur Menge der linearen Abbildungen von V nach U. (oder isomorph, weil die Wertemenge geändert werden muss). Also C isomorph zu L(V, U). B ist die Teilmenge von L(V, V), deren Kerne U umfassen. Also ist die Schnittmenge alle linearen Abbildungen von V nach U, deren Kerne U umfassen. Sei B geschnitten C = D Sei W ein Komplementärraum von U. Dann ist D isomorph zu L(W, U). Betrachte die Abbildung: p: D -> L(W, U) f -> f|W p schränkt jede Abbildung auf W ein. Es ist nicht schwer zu zeigen, dass p bijektiv und linear ist, woraus die Isomorphie folgt. Man muss nur beachten, dass U < ker f Deshalbt gilt dim D = dim L(W, U) = (n-k)*k wobei dim U = k |
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