Kurvendiskussion im LK....Hilfe |
| 11.02.2004, 18:04 | duboarder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Kurvendiskussion im LK....Hilfe ich bin im Mathe-LK und muss bis Morgen eine Hausaufgabe abgeben. Den größtteil der Aufgabe konnte ich lösen nur die letzten beiden Teilaufgaben habe ich beim besten willen nicht lösen können. f(x) = 2cos(x) - sin(2x) , x € [0 ; 2pi] F(x) = 2sin(x) + 0,5cos(2x) f'(x) = 2sinx - 2cos(2x) Die Aufgaben sind folgende: a) Eine Funktion g ist gegeben: g(x) = a * f(x) + b ; a > 0. Bestimme die Konstanten a und b, so das die Wertemenge von g = [0 ; 9] b) Bestimme die Anzahl an Lösungen (Schneidepunkte) der Gleichung: f(x) = -2x + 13/3, x € [0 ; 2pi] Bei der ersten Aufgabe habe ich mir überlegt das ich mit "a" den unterschied zwischen dem globalen max und minimum auf 9 bekommmen muss und mit b die Funktion "hochrücke" so das die Wertemenge 0 ; 9 wird. Leider habe bin ich mir nicht sicher wie ich dahin komme. Die zweite aufgabe wollte ich als einfache Gleichung lösen aber kam zu keinem richtigen Ergebniss. Meine Annahme das es unendlich viele Lösungen geben soll waren nicht richtig (Lehrer gefragt). Ich weiß nicht welche informationen ich zum lösen dieser Aufgaben noch mitteilen muss aber hier sind noch ein paar: Nulpunkte: X = pi/2 V 3pi/2 Extrema: lokales maximum : f(0) = 2 Globales minimum : f(7pi/6) = -(3sqrt3)/2 Globales maximum : f(11pi/6) = (3sqrt3)/2 lokales minimum : f(2pi) = 2 Ich hoffe das sind genug Informationen dass mir jemand auf die Beine Helfen kann. |
||||
| 11.02.2004, 18:20 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Kurvendiskussion im LK....Hilfe
Du bestimmst die Maxima und Minima der Funktion f im ang. Intervall Dann bildest du die Differenz Hub = (Max - Min) und bestimmst a so, dass: a * Hub = 9 bzw. a = 9/Hub und b bestimmst du nun als folgende Größe b = - Min * a es ist offensichtlich dass die Fkt g(x) =a*f(x) + b dann genau die Anforderungen erfüllt. ... |
||||
| 11.02.2004, 18:24 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Kurvendiskussion im LK....Hilfe zu 2) unendlich viele Lösungen ??? du, das kann ich jetzt nicht sehen, bin wohl blind ;-// ... |
||||
| 11.02.2004, 18:56 | preyz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
bei der aufgabe zwei, sollte es vielleicht so sein, dass "f(x)=2cos(x) - sin(2x)" ist. Somit wäre "f(x)=-2x..." keine neue funktion, sondern" 2cos(x) - sin(2x)=-2x...". Diese wäre wiederrum lösbar, weil es sich dabei um die schneidepunkte einer linie mit der urspünglichen funktion ist. |
||||
| 11.02.2004, 19:00 | Anirahtak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo! Wenn ich dich richtig verstanden hab, dann suchst du die Anzahl der Schnittpunkte zwischen f(x)=2cos(x)-sin(2x) und g(x)=-2x+13/3 im Intervall [0, 2pi]. Zunächst würde ich die Teilintervalle von [0, 2pi] anschauen, in denen f(x) und g(x) beide größer oder beide kleiner 0 sind. (in den anderen kann es wohl kaum Schnittpunkte geben...) Anschließend würde ich die Werte beider Funktionen an den Rändern der Intervalle betrachten. z.B. Intervall [a, b]. Wenn f(a)<g(a) und f(b)>g(a) (oder umgekehrt...) muss es mindestens einen Schnittpunkt geben. Wenn f streng monton ist (das kannst du über die Ableitung zeigen), dann gibt es dort genau einen Schnittpunkt. Ist f nicht monton in dem Intervall, dann musst du nach Maxima und Minima schauen, und je nach dem, ob sie ober- oder unterhalb von g liegen, dann wieder mit Monotonie auf die Anzahl der Schnittpunkte schließen. Wenn f(a)<g(a) und f(b)<g(b), dann kann es immer noch sein, dass Schnittpunkte in diesem Intervall liegen. Um das festzustellen, musst du nach Extrema von f in diesem Intervall suchen, und dann wieder schauen, wo ist im Verhältnis zu g liegen. Ist z.B. f(a)<g(a) und f(b)<g(b) f(c)>g(c) mit c aus [a, b], dann muss es mindestest zwei Schnittpunkte in diesem Intervall geben. (genau zwei würde auch strenger Monotonie folgen...) Ich hoffe die Idee ist klar geworden - ich wollte jetzt nicht die ganze Aufgabe lösen... Wenn es noch Fragen gibt: her damit :-) Der Weg ist zwar recht arbeitsintensiv, aber was anderes fällt mir im Moment nicht ein. :-)Anirahtak |
||||
| 12.02.2004, 16:17 | duboarder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, die erste Aufgabe konnte ich mitlerweile lösen Aufgrund der Beantwortung. Habe a gefunden indem ich a = 9/d wo d der Abstand ist zwischen Maxima und Minima. B habe ich bestimmt als 4,5 da wenn der Abstand zwischen Maxima und Minima 9 ist müssen die Werte ja 4,5 bzw. -4,5 sein. Daher b = 4,5 um die Funktion f(x) "hochzurücken". Den Schritt zur zweiten Aufgabe konnte ich aber nur teilweise verstehen bzw. nachvollziehen. Die funktion g(x) = 2x + 13/3 ist ja eine gerade linie und hat daher im im interval [0;2pi] auch keine Extrema. Die Extrema für die funktion f(x) habe ich bestimmt im interval [0;2pi] welche lokales maximum : f(0) = 2 Globales minimum : f(7pi/6) = -(3sqrt3)/2 Globales maximum : f(11pi/6) = (3sqrt3)/2 lokales minimum : f(2pi) = 2 sind. Wenn ich die beiden Funktion in den TI-83 reinschreibe zeigt er mir an das beide Funktionen sich schneiden aber nicht genau wo. Es sieht so aus das es nur ein Scheidepunkt gibt und dies hat mir heute auch einer Bestätigt da sein Pc ihm das berichtet hat. Aber leider können wir weiterhin diesen einen Schneidepunkt bestimmen. Konnte die Abgabefrist auf Morgen verlängern und ich freue mich über jede Antwort. Habe leider keinen Schimmer wie ich die Aufgabe anzupacken habe. Viele Grüße Duboarder |
||||
| Anzeige | ||||
|
|
||||
| 12.02.2004, 17:26 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Teil a) (nach deinen Angaben) Globales maximum : f(11pi/6) = (3sqrt3)/2 Globales minimum : f(7pi/6) = -(3sqrt3)/2 bedeutet a = 9 / [(3sqrt3)/2 - (-(3sqrt3)/2)] = 9 /( 3sqrt(3)) = 3/sqrt(3) = sqrt(3) und das wiederum bedeutet für b: b = - Min * a = -(-(3sqrt3)/2) * a = (3sqrt(3))/2 * sqrt(3) = 4,5 Teil b) 2cos(x) - sin(2x) =? -2x + 13/3, x ¬ [0 ; 2pi]
hat sie schon und zwar: MAX bei x=0 mit 13/3 >0 und MIN bei 2Pi mit (13/3 - 4Pi) <0 ... |
||||
| 12.02.2004, 18:01 | duboarder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja das habe ich auch bei a) Ja das stimmt mit den Extrema bei der Linie. Hatte ich nicht bedacht. Bedeutet das dann das wir genau einen Schneidepunkt haben? Wir wissen zwar nicht welchen, müsste man ausrechnen, aber einer ist da ja? Habe auch ein bißchen gerechnet an den nulpunkten der funktion (f+g) = 2cosx - sin2x + 2x - 13/3 und habe da im moment gestoppt bei -4sinx^3 + 8 sinx^2 +4 = 2x^2 - 52x/3 + 18 7/4 Aber die kann ich irgendwie nicht lösen. Wie die ganze letze Aufgabe... 
da fällt mir nur eins zu ein: 
! P.s. Wenn jemand mit sicherheit sagen kann das es nur ein schneidepunkt gibt postet das doch bitte mal, eigentlich fordert die Aufgabe ja keine genauen Angaben zu den schnittpunkten. Wäre nur schön zu wissen... |
||||
| 12.02.2004, 18:48 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
f(0) = 2 >0, f(2Pi) = 2 >0 ... ge(0) >f(0) >0 ge(2Pi) <0 daraus folgt schon mal ganz klar dass MINDESTENS 1 Schnittpunkt existieren muss. Es könnten aber gut noch weitere existieren ... Mit etwas Mühe kannst du dich doch gut da dran rechnen. Schnittpunkte sind doch frühestens erstmals möglich nachdem die Gerade das Globale Maximum von f anfängt zu unterschreiten. Ab dieser Stelle musst du dann anfangen den weiteren Kurvenverlauf beider Fkt etwas genauer Stück für Stück unter die Lupe zu nehmen ... ... |
||||
| 13.02.2004, 00:35 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hab da vielleicht noch eine Idee Bilde die Differenz d(x) = f(x) - ge(x) =2cos(x) - sin(2x) -( -2x + 13/3) und nun bestimmst du die Maxima und Minima von d(x). dann rechnest du die jeweils zugehörigen Funktionswerte von d(x) an den entsprechenden Extrempunkten aus. Liegen dazwischen Nulldurchgänge dann ist da auch ein Schnittpunkt zw. f und ge Der Trick an der Geschichte ist der, dass die Maxima und Minima von d(x) bestimmbar sind, dieweil durchs Ableiten das lineare Glied in x rausfällt und nur Glieder in sin und cos überbleiben ... ist mir leider eben gerade erst eingefallen, scheint mir aber ein praktikabler und klar zum Ziel führender Weg ... |
||||
| 13.02.2004, 11:05 | Anirahtak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo! Es war doch nur nach der Anzahl der Schnittpunkte gefragt, und nicht nach ihren Koordinaten, oder??? Warum die Aufgabe also komplizierter machen als nötig? Die Methode von Poff scheint mir sehr richtig zu sein, möchte meinen Ansatz trotzdem nochmal versuchen klar zu machen :-) Also: f(x)=2cosx-sin2x=2cosx-2sinx*cosx=cosx*(2-2sinx) f(x)>0 für cosx>0 und 1-sinx>0 <=> 1>sinx also für x aus [0, pi] g(x)>0 für-2x+13/3>0 also x>13/6, also x aus [13/6, 2Pi] => nur Schnittpunkte mögl. in [13/6, pi] g(13/6)=0, g(pi)>0 f(13/6)>0, f(pi)=0 => mind. ein Schnittpunkt in dem Intervall! Keine Extremwert in dem Intervall (zumindest hast du keine angegeben...) => f fällt streng monoton und g steigt streng monoton => genau eine Nullstelle in dem Intervall => genau eine Nullstelle in [0, 2pi] Ich hoffe, es war diesem verständlicher und v.a. auf die schnelle richtig! :-) Anirahtak |
||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
