Eindeutigkeit der Polynominterpolation

03.04.2005, 23:23

TomBombadil

Eindeutigkeit der Polynominterpolation

Hi!

Ich versuch die Eindeutigkeit der Polynominterpolation zu beweisen. Also zu gegebenen n+1 Stützstellen P0(x0, y0), P1(x1, y1),.....Pn(xn, yn), ist durch Polynominterpolation genau ein Polynom als "Lösung" gegeben. (d.h das für polynom p(x) gilt p(xi) = yi für alle i = 1,...n)

So also mein Versuch, geht über den Fundamentalsatz der Algebra. (Widerspruchsbeweis)

Es seien p(x) und q(x) Polynome mit p(xi) = yi = q(xi) für alle i=1,...n.
Und p(x) ungleich q(x).

Die Differenz V(x) ist V(x) = p(x) - q(x)

Dieses Polynom hat nach Vorraussetzung genau n+1 Nullstellen. Eben dann wenn die xi`s eingesetz werden.

Nach dem Fundamentalsatz der Algebar können wir das Polynom faktorisiert aufschreiben.

V(x) = (x-x0)(x-x1)....(x-xn)

So und hier enden meine Überlegungen. Also mein Prof meinte man könne das so beweisen.

Mfg TomBombadil

03.04.2005, 23:32

Leopold

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Ich denke, man muß noch eine Voraussetzung über den Grad machen:
"... existiert genau ein Polynom vom Grade höchstens $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit ..."

03.04.2005, 23:36

TomBombadil

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Also auch mit der Vorgabe finde ich da keinen Zusammenhang. Ist der weg den richtig? Oder brauche ich noch mehr vom fundamentalsatz, außer, dass man polynome faktorisieren kann? Wenn der Weg stimmt danke ich für deinen Tip und dann denk ich mal weiter drüber nach

03.04.2005, 23:48

Mathespezialschüler

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Setze an

$\begin{eqnarray*} p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} q(x)=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_1x+b_0 \end{eqnarray*}$

Du willst beweisen, dass für alle $\begin{eqnarray*} 1\leq k\leq n \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} a_k=b_k \end{eqnarray*}$ ist. Führe einen Widerspruchsbeweis:
Nehme an, die Behauptung sei falsch, dann gäbe es ein größtes m mit $\begin{eqnarray*} 1\leq m\leq n \end{eqnarray*}$ , für das $\begin{eqnarray*} a_m\neq b_m \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} a_k=b_k \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=m+1,...,n \end{eqnarray*}$ (für m=n gibt es dann kein k, das ist aber egal).
Jetzt betrachte wiederum $\begin{eqnarray*} V(x)=p(x)-q(x) \end{eqnarray*}$ . Wie du richtig sagst, hat V(x) n+1 Nullstellen. Welchen Grad hat es denn?

03.04.2005, 23:56

TomBombadil

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V(x) ist sollte dann also den Grad m haben? und so ein Polynom können wir nicht in n+1 (n+1 ist grösser als m) Faktoren zerlegen. Richtig?

04.04.2005, 00:03

Tobias

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p(x) ist ein Polynom vom Grad n.
q(x) ist ein Polynom vom Grad n.

=> p(x) - q(x) ist ein Polynom mit maximal Grad n. Dann kann es nicht n+1 Nullstellen haben.

04.04.2005, 00:05

TomBombadil

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Ich denke das ist das vom Mathespezialschüler, nur etwas einfacher ausgedrückt. (Denke ich zumindest) Also vielen Dank

04.04.2005, 00:08

Tobias

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Ja, genau so wars gedacht. smile

Es gibt den Satz: Hat p den Grad m und q den Grad n, dann hat (p-q) maximal den Grad max{m, n}. Das hat MMS noch dazu mitbeweisen. smile

04.04.2005, 00:28

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Tobias
p(x) ist ein Polynom vom Grad n.
q(x) ist ein Polynom vom Grad n.

=> p(x) - q(x) ist ein Polynom mit maximal Grad n. Dann kann es nicht n+1 Nullstellen haben.

Stimmt nicht! Maximal Grad n heißt, es kann auch das Nullpolynom sein! Dann hat es aber n+1 Nullstellen, wo ist der Widerspruch?
Deshalb musst du voraussetzen, dass es nicht das Nullpolynom ist, dass es also mind. ein m mit $\begin{eqnarray*} a_m\neq b_m \end{eqnarray*}$ gibt ( $\begin{eqnarray*} 0\leq m\leq n \end{eqnarray*}$ ). Und dann stimmt dein Argument und ist natürlich analog zu meinem von oben, ob man da nun m oder n nimmt, ist ja dann letztendlich egal. Augenzwinkern

04.04.2005, 00:36

Tobias

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Das Nullpolynom ist gesondert definiert und müsste je nachdem dann evt. explizit herausgenommen werden.

Andererseits kann man ja aus der Voraussetzung das Nullpolynom ausschließen, denn p und q sollen verschieden sein.

10.03.2007, 15:58

kot

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Ich wurde so beweisen
Sei gegeben $\begin{eqnarray*} x_{0},x_{2},\ldots,x_{n} \end{eqnarray*}$ Stützstellen und sei $\begin{eqnarray*} q,m \end{eqnarray*}$ Polynome vom Grad höhstens $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} q(x_{k})=m(x_{k})=0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0\leq k\leq n \end{eqnarray*}$ dann schrieben wir diese Polynome in Faktorform und bekommen weiter $\begin{eqnarray*} \frac{q}{m}=\frac{(x-x_{0}) \ldots (x-x_{n})}{(x-x_{0}) \ldots (x-x_{n})}=1 \end{eqnarray*}$ d.h q=m . Viel Spaß

13.01.2011, 13:53

Gast11022013

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Die Eindeutigkeit der Polynominterpolation kann man einfacher beweisen, indem man das Polynom in seiner allgemeinen Form ansetzt und dann in Matrixform bringt; man hat dann eine Vandermondematrix und man sieht relativ leicht, dass die Determinante ungleich Null ist. Damit ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar.

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