Wann kann man das Taylor-Restglied weglassen? |
| 05.04.2005, 18:24 | Irreduzibel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Wann kann man das Taylor-Restglied weglassen? 1) ja der Name des Themas sagt eigentlich schon alles, ich wollte wissen, in welchen Fällen man das Restglied bei der Taylor-Entwicklung weglassen kann. Mir ist aufgefallen, dass f den Voraussetzungen nach eine n+1-mal stetig-diffbare Funktion ist. Das Restglied setzt sich ja aus (f^(n+1)(y) / (n+1)!) * (x-c)^n+1 zusammen. Die n+1-te Ableitung einer n+1-mal stetig-diffbaren Funktion ist doch nun aber jedesmal = 0, das heisst, wenn ich eine n+1-mal stetig-diffbare Funktion bis zum n-ten Glied entwickle, so kann ich das Restglied weglassen, richtig? Wie sieht das ganze dann bei unendlich oft diffbaren Funktionen aus (Sin(x), exp(x) usw.) ? 2) Desweiteren wollte ich noch fragen, ob mir jemand verständlich erklären kann, was implizite Funktionen sind, und wozu man sie braucht? 3) Zuguterletzt noch die Frage: "Gibt es lineare Abbildungen, deren Matrix keine Eigenwerte hat"? Wenn ja, Beispiele... Vielen Dank im Voraus, Grüße, Irreduzibel. |
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| 05.04.2005, 18:37 | Tobias | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zu 1) Deine Theorie würde besagen, dass endlich oft diff-bare Funktionen durch ein Polynom mit endlichem Grad darstellbar sind. Hingegen lassen sich Funktionen, die unendlich oft diffbar sind, nur beliebig gut approxomieren, jedoch nicht durch ein Polynom darstellen. Bei einer unendlich oft diffbaren Funktion gibt es immer ein Fehlerterm (Restglied) in der Approximation durch die Taylorentwicklung. Zu 3) Versuch mal die Abbildung (x1, x2) -> (-x2, x1) |
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| 05.04.2005, 18:43 | Irreduzibel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
1) Heisst das nun also, dass das stimmt, dass man n+1-mal stetig diffbare Fkt. durch das Taylorpolynom bis zum n. Glied darstellen kann und man das Restglied weglassen kann? 3) Ok, fangen wir weiter vorne an, ich weiss grob, wie man Eigenvektoren ausrechnet (char. Polynom = 0 setzen...), aber so ganz klar, was ich damit anfangen kann (mal die Hessematrix mbei der mehrdimensionalen Differentialrechnung außen vor gelassen...) ist es mir nicht, ich ging halt immer davon aus, die wären Mittel zum Zweck auf dem Weg zu den Eigenvektoren, mit denen ich dann herausfinden kann, ob eine Matrix diagonalisierbar ist oder nicht... |
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| 05.04.2005, 19:32 | Tobias | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du sagst, dass bei einer n-mal diff'baren Funktion die n-te Ableitung (und somit das Restglied) 0 ist. Ist das wirklich so? Ich hab leider keine Ahnung, vermute aber, dass es nicht so ist. Wieso sollte eine Funktion, deren n-te Ableitung 0 ist nicht noch ein weiteres mal ableitbar sein? (Polynome sind z.B. unendlich odt diff-bar, obwohl die Ableitung irgendwann konstant 0 wird) 3) Wronskimatrix bei mehrdimensionalen Differentialgleichungen. 
Also es gibt meines Wissens lin. Abbildungen, die keine Eigenwerte (und somit keine Eigenvektoren) haben. Welche Anwendungsgebiete es für Eigenwerte, Eigenvektoren usw. gibt kann ich dir auch nicht sagen. Ich weiß nur soviel: Mehr, als mir lieb wäre. 
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| 05.04.2005, 19:47 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich kenn mich da leider zu wenig aus, zumindest für nichttriviale endlichdimensionale Vektorräume über (komplexe Zahlen) und darauf betrachtete lineare Abbildungen (auf gut Deutsch: für nxn-Matrizen) gibt es aber immer Eigenwerte und Eigenvektoren - wenn auch nicht immer komplette Basen aus Eigenvektoren (Stichwort Jordansche Normalform). Das folgt schon aus dem Fundamentalsatz der Algebra. |
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| 05.04.2005, 19:50 | Tobias | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aber nicht jede lin. Abbildung ist ein Endomorphismus V --> V. Deshalb kann es immernoch Homomorphismen V --> W geben, die keine Eigenwerte hat. Was mich aber viel brennender interessiert ist die Sache mit Taylor und seinen diff'basren Funktionen. |
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| 05.04.2005, 19:52 | Irreduzibel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also das ist soweit ich weiss sogar irgendein Theorem, dass die n-te Ableitung einer n-Mal diffbaren Funktion 0 ist, ist ja auch relativ leicht nachzuvollziehen: f(x) = x^4 ------------------ f'(x) = 4x^3 f''(x) = 12x^2 f'''(x) = 24x f''''(x) = 24 f'''''(x) = 0 --> 5 Mal diffbar und die 5.Ableitung ist 0. Und das ist bei n-Mal diffbaren Fkt. ja immer das gleiche. Wegen den Eigenwerten... Mal schauen, vll. stolpere ich ja selber noch über irgendwas :-/ |
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| 05.04.2005, 19:56 | Tobias | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also hier müssen wir uns ganz klar ne dritte Meinung einholen.
Ich bin der Meinung, dass jedes Polynom unendlich oft diff'bar ist. Du betrachtest aber 1. nur Polynome und 2. sagst du, dass die Funktion f(x) = 0 nicht diff'bar wäre. Ist sie aber (oder nicht)? Und es gibt ein Theorem, aber das besagt, dass die n+1-te Ableitung eines Polynoms n-ten Grades 0 ist. Bitte klärt uns auf.
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| 05.04.2005, 20:04 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Tobias Da gibt es wenig aufzuklären - du hast in jedem Punkt recht.
P.S.: Nochmal zu den linearen Abbildungen V --> W: Für W ungleich V sind meines Wissens nach die Begriffe Eigenwert und Eigenvektor völlig sinnlos! |
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| 05.04.2005, 20:13 | Irreduzibel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Man kann doch die 0-Funktion nicht ableiten oder?? Dann wäre ja jede Funktion unendlich oft diffbar... Bei 0 hörts afaik auf. 
Und man kann mit Taylorreihen auch nur durch Potenzreihen darstellbare Funktionen approximieren, oder nicht? Oder kann ich generell jede x-Mal diffbare Funktion durch ne Taylor-Reihe annähern? Arghh, je später die Stund... |
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| 05.04.2005, 20:21 | Tobias | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@AD: Ja, du hast Recht. Ich nehme alles zurück und behaupte das Gegenteil.
@Irreduzibel: Diff'bar hat nichts mit 0 in der Ableitung zu tun. Nicht diff'bar ist z.B. die Betragsfunktion in 0 oder Funktionen in Unstetigkeitsstellen usw. Jede diff'bare Funktion ist durch ein Polynom annäherbar. Jede unendlich oft diff'bare Funktion ist durch eine Potenzreihe darstellbar. Ich glaube man muss das Ganze von der anderen Seite her aufrollen: Die Taylorreihe funktioniert nicht, weil es eine Potenzreihe der Funktion gibt, sondern weil Taylor funktioniert gibt es eben diese Potenzreihe. |
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| 05.04.2005, 20:26 | Irreduzibel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, so allmählich dämmerts. Man leitet halt immer fleißig ab und wenn 0 is, hört man auf, daher schlich sich im Laufe der Jahre der Gedanke ein, dass da Ende is. Aber ihr habt natürlich völlig Recht, wenn man sich das mal veranschaulicht, dann ist die Steigung der 0-Funktion ja in jedem Punkt wieder 0 und so weiter... Also ist x^4 z.B. trotzdem nur 5 mal diffbar, weil man die unendlichen Ableitungen der 0 nicht hinzunimmt oder? Sonst wäre ja wirklich jede diffbare Funktion unendlich oft diffbar... Aber nun nochmal: Wann kann ich das Restglied dann weglassen? |
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| 05.04.2005, 20:36 | Tobias | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nochmal: x^4 ist auch unendlich oft diff'bar. Wenn man ein Polynom durch das Taylorpolynom annähert, dann ergeben sich ab einem bestimmten Summanden nur noch Nullen. D.h. man kann das Polynom durch ein endliches Taylor-Polynom beschreiben. (Das wundert auch keinen, denn das Taylorpolynom ist genau gleich dem Polynom). Eine n+1-fach diff'bare Funktion ist nicht zwangsläufig in der n+1-en Ableitung 0. Vielmehr kann ich diese Funktion nur durch n Summanden der Taylorreihe annähern und hab dann noch ein Restglied (den Fehlerterm). Eine unendlichoft diff'bare Funktion hat in der Taylorentwicklung eigentlich kein Restglied. Man kann die Taylorentwicklung aus Approximationsgründen aber abbrechen und dann den Fehlerterm über das Restglied abschätzen. Ist das Restglied 0, dann war die Funktion, die du betrachtet hast äquivalent zu einem Polynom. So.. noch besser kann ich es nicht erklären. |
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| 05.04.2005, 20:40 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bin ein wenig spät (Tobias hat wohl schon geantwortet), aber doppelt genäht hält vielleicht besser:
Du stellst Regeln auf, die es nicht gibt!!!
Auch falsch: Die Funktion ist z.B. im Punkt x=0 genau n-mal differenzierbar, die (n+1)-te Ableitung existiert dagegen nicht. Nochmal: Das Restglied mit der (n+1)-ten Ableitung kann genau dann weggelassen werden, wenn es Null ist. Und das ist genau dann der Fall, wenn die Ausgangsfunktion ein Polynom höchstens n-ten Grades ist. Punkt. |
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| 05.04.2005, 23:49 | Irreduzibel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aber auch nur, wenn ich dann auch bis zum n-ten Glied entwickle oder? Wenn ich vorher abbreche, dann brauche ich das Restglied doch, oder? |
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| 06.04.2005, 01:26 | Tobias | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
"Brauchen" oder nicht ist immer eine Frage dessen, wofür du es verwenden willst. Bei z.B. Numeriken von Differentialgleichungen benutzt man eine abbrechende Taylorentwicklung um die Konsistenzordnung festzustellen. Dafür schätzt man über das Restglied ab. Wenn du eine exakte Reihenentwicklung willst, dann brauchst du natürlich das Restglied bei abbrechenden Reihen. Dabei ist es egal, ob die Reihe abbricht, weil man es so will oder weil die Funktion nicht öfter diff'bar ist. Man muss dann auch nichtmehr unterscheiden zwischen dem Ergebnis der n+1-ten Ableitung, da sich ein Restglied von 0 eh nicht auswirkt. |
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| 20.06.2005, 16:04 | qauke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
1.) Wenn der Körper nicht algebraische abgeschlossen ist (z.B R) so kann es Matrixen geben, die keinen eigenwert haben, z.B. (0,1;1,0). Ist der Körper aber algebraische abgeschlossen (z.B. C) , so hat jede nxn Matrix n Eigenwerte (mit vielfachheit gezählt) 2.) Nicht jede unendlich oft diffbare Funktion wird durch ihre Taylorreihe dargestellt. Eine Gegenbeispiel ist exp(\frac{-1}{x^2}). |
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