Der Football

29.09.2007, 13:10

voessli

Der Football

Gegeben sei ein lisenförmiges Geschoss (oder ein Football) - d.h. also der Drehkörper eines Kreissegments.
Bereche Volumen und Oberfläche, wenn nur die Höhe h und die Breite b bekannt sind!

Viel Spass! Augenzwinkern

http://i24.tinypic.com/3304cc3.png

29.09.2007, 15:51

Tomtomtomtom

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Ist das ein Rätsel oder eine Übungsaufgabe? Oder ist dir eine Übungsaufgabe ein Rätsel?^^

Spoiler
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Also ich stelle mir einen zweidimensionalen Football "flach" und "gerade" in den Ursprung eines x-y-Koordinatensystems gelegt. Die Spitzen haben die Koordinaten (-b,0) und (b,0), der höchste Punkte die Koordinaten (0,h).

Wir betrachten nur das obere der beiden Kreissegmente, aus denen der Football zusammengesetzt ist, und den zugehörigen Kreis. Mit diesen drei Punkten kannst du die drei freien Parameter y_M, x_M und r in der allgemeinen Kreisgleichung $\begin{eqnarray*} (x-x_M)^2+(y-y_M)^2=r^2 \end{eqnarray*}$ bestimmen. (Jeweils ein Punkt eingesetzt gibt dir eine Gleichung in den drei Parametern)

Jetzt kannst du diese allgemeine Gleichung (lokal) nach x auflösen, wir nehmen die Lösung die dem oberen Halbkreis entspricht. Das ist jetzt eine Funktion f(x).

Die Formel für Volumen und Oberflächeninhalt des Rotationskörpers lauten

$\begin{eqnarray*} V = \pi \cdot \int_{-b}^{b} (f(x))^2 \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} M = 2\pi\int_{-b}^b f(x)\sqrt{1+\left[f'(x)\right]^2}\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

(siehe auch http://de.wikipedia.org/wiki/Rotationsk%C3%B6rper)

29.09.2007, 17:22

voessli

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uhm sorry ... ich hab gedacht die Lösung wäre eleganter, hat sich aber als Denkfehler herrausgestellt verwirrt

Rätsel kann wieder gelöscht werden

29.09.2007, 19:31

Tomtomtomtom

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Da die Ergebnisse sehr sehr unhandlich sind, bezweifle ich mal die Existenz einer eleganten Lösung. Deswegen hab ich auch nur den Weg hingeschrieben, sonst müßte ich stundenlang Ergebnisse texen, die niemand was nützen außer dem Gedanken "boah sieht das kompliziert aus".

29.09.2007, 21:00

Poff

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Die Oberfläche scheint ganz passabel ausdrückbar, wenn es denn stimmt.

$\begin{eqnarray*} M=\frac {\pi}{b^2} \,\left (\left ({b}^{4}-{h}^{4}\right )\arcsin(2\,{\frac {bh}{{h}^{2}+{b}^{2}}})+2\,{h}^{3}b+2\,h{b}^{3}\right ) \end{eqnarray*}$

30.09.2007, 00:56

WebFritzi

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Fürs Volumen habe ich folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} V = \frac{1}{3}\pi b\cdot (bh^2 + 2h^2 + 2b^2 - b^3). \end{eqnarray*}$

Achso, und als Oberfläche habe ich

$\begin{eqnarray*} M = 2\pi\cdot (h^2+b^2). \end{eqnarray*}$

30.09.2007, 11:31

KnightMove

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Ich glaube, mit solchen Aufgaben könnte man Football-Fans ihren Sport verleiden. Augenzwinkern

30.09.2007, 13:39

Tomtomtomtom

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Eventuell hat jeder ein kleines bißchen andere Bezeichnungen, was nun h und b genau ist. Aber man kann ja die aufgestellten Formeln leicht testen, indem man für h und b solche Werte wählt, daß eine Kugel rauskommt. (Und für die kennt man Volumen und Oberfläche).

Ich hab mich wohl auch irgendwo verrechnet.

30.09.2007, 13:52

Poff

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Webfritzi, deine Volumenformel kann so nicht passen, dazu brauch ich nichts rechnen.

@Tomtomtomtom
korrigier doch mal deine Kreispunkte zu (-h|0), (0|b), (h|0), dh vertausche b und h, dann passt es zur Zeichnung.

30.09.2007, 15:10

WebFritzi

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Zitat:

Original von Poff
Webfritzi, deine Volumenformel kann so nicht passen, dazu brauch ich nichts rechnen.

Eine Begründung wäre nicht schlecht. Ansonsten sag ich einfach mal, dass meine Formel richtig ist. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Tomtomtomtom
Eventuell hat jeder ein kleines bißchen andere Bezeichnungen, was nun h und b genau ist.

Wieso? Die sind doch in der Zeichnung eindeutig gegeben. verwirrt

Zitat:

Original von Tomtomtomtom
Aber man kann ja die aufgestellten Formeln leicht testen, indem man für h und b solche Werte wählt, daß eine Kugel rauskommt.

Ja, in diesem Fall gilt b = h. Ich habe das an meiner Volumenformel getestet, und es passt. Zudem sind sowohl meine als auch Poffs Formel für den Fall der Kugel richtig.

30.09.2007, 15:33

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Die Oberflächenformel von Poff ist richtig. Dass deine falsch ist, sieht man allein bei Betrachtung $\begin{eqnarray*} b\searrow 0 \end{eqnarray*}$ , wo ja angesichts der geometrischen Situation auch $\begin{eqnarray*} M\searrow 0 \end{eqnarray*}$ herauskommen sollte - das ist bei deiner M-Formel nicht der Fall.

In der Volumenformel müssten neben irgendwelchen Polynomen in $\begin{eqnarray*} h,b \end{eqnarray*}$ auch dieser Term $\begin{eqnarray*} \arcsin\left( \frac{2bh}{h^2+b^2}\right) \end{eqnarray*}$ auftauchen.

30.09.2007, 15:45

Poff

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Fürs Volumen hab ich das hier ... (ebenfalls ohne Gewehr Augenzwinkern

)
(h >= b)

$\begin{eqnarray*} V=\frac {\pi}{12\,b^3}\,\left (6\,{h}^{5}b+4\,{h}^{3}{b}^{3}+6\,{b}^{5}h-3\,\left ({h}^{4}-{b}^{4}\right )\left ({h}^{2}+{b}^{2}\right )\arcsin({\frac {2\,bh}{{h}^{2}+{b}^{2}}})\right ) \end{eqnarray*}$

30.09.2007, 15:53

WebFritzi

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Die Oberflächenformel von Poff ist richtig. Dass deine falsch ist, sieht man allein bei Betrachtung $\begin{eqnarray*} b\searrow 0 \end{eqnarray*}$ , wo ja angesichts der geometrischen Situation auch $\begin{eqnarray*} M\searrow 0 \end{eqnarray*}$ herauskommen sollte - das ist bei deiner M-Formel nicht der Fall.

Hmpf, da haste recht. Ich Volltrottel habe um die falsche Achse rotiert... Hammer

30.09.2007, 16:02

Poff

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Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von Poff
Webfritzi, deine Volumenformel kann so nicht passen, dazu brauch ich nichts rechnen.

Eine Begründung wäre nicht schlecht. Ansonsten sag ich einfach mal, dass meine Formel richtig ist. Augenzwinkern

Webfritzi, Volumen, da hast gemischte Potenzen in der Summe, es dürften aber NUR welche der 'Potenz 2' autauchen um in Verbindung mit dem multiplikativen b zu passen.

30.09.2007, 16:28

WebFritzi

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Ich hab's jetzt nochmal mit der richtigen Rotation durchgerechnet und komme auch auf Poffs Formeln. smile

EDIT: Auch bei der Rotation um die falsche Achse hatte ich mich verrechnet. Für das Volumen kommt da raus:

$\begin{eqnarray*} V = \frac{1}{3}b\pi\cdot (3h^2-b^2). \end{eqnarray*}$

30.09.2007, 18:43

Tomtomtomtom

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Zitat:

Original von WebFritzi

Wieso? Die sind doch in der Zeichnung eindeutig gegeben. verwirrt

Das Bild wurde nochmal geändert bzw. um die Bezeichnungen ergänzt, nachdem ich meinen Betrag geschrieben habe.

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