Hasenjagd |
| 07.04.2005, 17:29 | Firesnake | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Hasenjagd Ich habe schon seit längerem ein Problem, das mir nicht aus dem Kopf gehen will. Es ist jetzt schon eine ganze Weile her, da ich mich das erste mal mit dem Grundgedanken beschäftigt habe (ca 10 Jahre). Man stelle sich folgendes Szenario vor: Ein Fuchs und ein Hase stehen in einer Enfernung von a Metern. Der Hase beginnt davonzulaufen und zwar im rechten Winkel zur Gerade, die zwischen Fuchs und Hase am Anfang gezogen werden kann. Der Fuchs läuft ihm hinterher, immer genau auf den Hasen zu und mit exakt gleicher Geschwindigkeit. Was mir schon lange klar ist: Der Fuchs holt auf, anfangs schnell später dann immer Langsamer. Er hört nie auf, aufzuholen. Gleichzeitig kann er ihn aber niemals fangen. Was neu ist: Ich habe jetzt schon Stundenlang getüftelt, wie sich der Grenzwert der Entfernung zwischen Fuchs und Hase ausrechnen lässt, wenn sie unendlich lange Laufen. Außerdem ist es mir nicht möglich, die Bahn des Fuchses in eine Funktion zu packen. Ich habe versucht, mittels des Satzes von Pythagoras zu rechnen. Das Funktioniert allerdings nur, wenn ich Fuchs und Hase jeweils ein Stück geradeaus rennen lasse und dann einen Knick in die Bahn des Fuchses mache. Das gibt aber 1. kein genaues Ergebnis und ist 2. extrem Aufwändig. Ich weiß außerdem, dass die Länge der Wege des Fuchses und des Hasen immer übereinstimmen. Aber auch mit diesem Zusammenhang bin ich nicht weitergekommen. Was ich schlussendlich suche ist: -Der Abstand in Undendlichen zwischen Fuchs und Hase in abhängigkeit von a -Die Funktion des Graphen, der Ensteht, wenn man die Bahn des Fuchses aufzeichnet Ich habe leider keine Skizze auf meinem Computer, aber ich werde zusehen, dass ich in nächster Zeit eine auftreibe. |
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| 07.04.2005, 17:34 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
das ist doch dem ganz ähnlich...... (?) http://www.matheboard.de/thread.php?thre...&hilight=schiff also zum einen: dein szenario ist schon mal von dem her unsinn, da du hier mit punktförmigen füchsen und hasen rechnest.....
na der ist sicher 0 |
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| 07.04.2005, 17:40 | Firesnake | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es handelt sich tatsächlich um das gleiche Problem. Ich habe mir leider nicht jedes einzelne Problem durchgesehen, da ich nicht wusste, wonach ich suchen musste. Schließlich siehst du ja, verwende ich einen Fuchs und einen Hasen und im anderen Thread sind es zwei Schiffe. Zum Thema unsinnig: Es geht mir nur um den Vorgang und ums Prinzip. Wie rechne ich mit einem fuchsförmigen Fuchs und einem hasenförmigen Hasen? Von mir aus kannst du dir auch vorstellen, dass sich zwei 0-Dimensionale Wesen in einem zweidimensionalen 'Raum' jagen. Der Grenzwert kann nicht 0 sein, weil der Weg des Fuchses zu jedem Punkt auf dem Weg des Hasen stets größer ist als der des Hasen und er ihn somit niemals erreicht. |
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| 07.04.2005, 17:41 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
der abstand ist also immer größer 0.... jaja, dann stelle diese frage anders.....
im unendlichen (oder undendlichen, je nachdem), da ist der abstand sicher 0...... |
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| 07.04.2005, 17:42 | yeti777 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo FireSnake, ich habe diese Aufgabe schon einmal gelöst für beliebige Anfangsbedingungen (Startpunkte, Abstand, Geschwindigkeiten). Sieh mal hier: http://www.matheboard.de/thread.php?thre...htuser=0&page=1 Du musst aber nur meinen letzten Beitrag lesen. Gruss yeti Edit: Kam zu spät. Wenn der rechtwinklige Abstand am Anfang gleich a ist und die Geschwindigkeiten identisch, dann ist der Grenzwert a/2. Siehe entsprechende Grafik. Edit2: Link korrigiert auf Seite 1. |
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| 07.04.2005, 17:43 | Sciencefreak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
(Wenn ich mich richtig erinnere ging es bei dem anderen Thread ja um ein Händlerschiff, das immer gerade aus segelt, also nicht wie der Hase rennt) Hatte das eine Wort in der Aufgabenstellung überlesen, dass nicht immer eine neue Gerade gemeint ist, sondern immer die vom Anfang @yeti:Unter deinem Link finde ich nur einen leeren Thread |
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| 07.04.2005, 17:44 | Firesnake | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sorry, das war ein Tippfehler... sollte natürlich im heißen. 
Und ich kann mir nach wie vor nicht vorstellen, dass der Fuchs den Hasen einholt bei gleicher Geschwindigkeit. Wenn er es tut, wie lange dauert es? Yeti777 danke für deine Lösung. Aber ich kann daraus nicht wirklich für meinen konkreten Fall eine Lösung ablesen. 
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| 07.04.2005, 17:47 | yeti777 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Sciencefreak:Verstehe ich nicht. Bei mir funktioniert's, inkl. den *.zip-Files mit den Grafiken. Woran liegt's 
Gruss yeti |
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| 07.04.2005, 17:48 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
es kam mir nicht auf die präposition an und nicht auf das zu viele d.... es geht überhaupt darum, dass du vom abstand "im unendlichen" redest. das die fuchsbahn gegen die hasenbahn konvergiert besagt ja gerade, dass er ihn (spätestens) im unendlichen erreicht. yetis link geht bei mir wunderbar oder wurde der schon editiert? |
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| 07.04.2005, 17:50 | yeti777 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@LOED: Nein, ich habe nichts gemacht, bin also unschuldig wie ein Neugeborenes, ähem, fast
Gruss yeti PS. Jagd schreibt man mit "d". |
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| 07.04.2005, 17:51 | Sciencefreak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Habe den Fehler gefunden. Den Link verweist auf die 2.Seite des Thread, aber der Thread wird bei mir auf einer einzigen Seite angezeigt, somit ist die 2.Seite aus meiner Sicht ganz leer |
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| 07.04.2005, 17:53 | Firesnake | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hab das Zip-file jetzt auch gesehen. Also die zweite Grafik beweist eindeutig, dass mein Hase entkommt, danke yeti. //edit: das wird langsam peinlich mit meiner Tipperei... 
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| 07.04.2005, 18:01 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
gut das ich mir das mit dem "d" verkniffen habe... kann mal jemand anderes pingelig sein.... und wenn er dann noch so unschuldig ist wie yeti, dann kann ihm ja keiner böse sein 
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| 07.04.2005, 18:36 | yeti777 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@LOED: Danke, danke, danke ! Wenigstens einer, der wahre Wesen von mir anerkennt
Yeti |
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| 07.04.2005, 19:15 | Firesnake | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe eben ein kleines VB Programm geschrieben, das mir die Jagd simuliert. Es rechnet in Schritten. D. h. es lässt zuerst den Hasen eine Strecke i laufen, dann den Fuchs. Je kleiner i, desto präziser das Ergebnis. Anfangsbedingungen: Hase (0|0), Fuchs (-10|0) Das Programm hört auf zu rechnen, sobald sich der Fuchs auf d LE an die Bahn des Hasen angenähert hat, wenn er also schon fast direkt hinter dem Hasen rennt, und gibt den Abstand zwischen den beiden an. Werte für d = 0.01 a = 4.75991699 für i = 1 a = 4.97510872 für i = 0.1 a = 4.99750604 für i = 0.01 a = 4.99975501 für i = 0.001 a = 4.99998000 für i = 0.0001 a = 5.00000250 für i = 0.00001 Die Werte scheinen zuerst gegen 5 zu streben. Doch für i = 0.00001 wird 5 überschritten. Es ist möglich, dass es sich dabei um einen Rundungsfehler handelt. Ich habe ihn deshalb noch weiter rechnen lassen: Werte für d = 0.00001 a = 4.75992205 für i = 1 a = 4.97510365 für i = 0.1 a = 4.99750104 für i = 0.01 a = 4.99975001 für i = 0.001 a = 4.99997500 für i = 0.0001 a = 4.99999751 für i = 0.00001 Meiner Meinung nach liegen die Zahlen zu nahe an der Hälfte der ursprünglichen Strecke, um zufällig in dieser Größenordnung zu sein. Zumindest scheint mir eine Annäherung gelungen zu sein. Lässt sich diese Aufgabe überhaupt präzise rechnen? |
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| 07.04.2005, 23:19 | yeti777 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo Firesnake, Unter der Voraussetzung, dass der Hund immer Kurs auf den Hasen hält, erhält man folgendes Differentialgleichungssystem: (*) Dazu ist zu bemerken: 1. Die Geschwindigkeit des Hasen ist implizit durch die Vorgabe des Kurses gegeben. 2. ist die Geschwindigkeit des Hundes 3. Das DGL-System (*) wird singulär, wenn der Hund den Hasen erreicht (der Nenner verschwindet) 4. Ich konnte das System nicht geschlossen (exakt) lösen. 5. Ich weiss nicht, wie man zeigen kann, ob es geschlossen lösbar ist oder nicht. 6. Ich habe das Sytem mit RUNGE-KUTTA 4/5 numerisch gelöst. Eklig ist der Betrag im Nenner, der durch die Normierung des Tangentenvektors entsteht. Ich denke, dass deine Lösung richtig ist, obwohl du im Prinzip nur ein Einschrittverfahren benützest (RUNGE-KUTTA ist wesentlich aufwendiger). Trotzdem wäre es natürlich schön, wenn man wenigstens den Grenzwert für analytisch bestimmen könnte. Der langen Rede kurzer Sinn: Ich kann deine Frage nach einer geschlossenen Lösung des Systems nicht beantworten
.Gruss yeti |
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| 08.04.2005, 09:09 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
schua mal unter traktrix werner |
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| 08.04.2005, 11:07 | yeti777 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Werner: Bei der klassischen Traktrix, wie in deinem Link gezeigt, bleibt der Abstand konstant. Das ist bei der Hasenjagd nicht der Fall! Je nach Wahl der Anfangsbedingungen für das DGL-System strebt der Abstand einem Grenzwert zu, der durchaus nicht dem Anfangswert entsprechen muss, oder er verringert sich sogar auf Null (wenn der Hund schneller läuft, als der Hase). Zur Illustration hänge ich noch einmal 3 Beispiele an, die ich für den "Pirat und Handelsschiff" berechnet habe". Gruss yeti |
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| 08.04.2005, 16:11 | jovi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
irgendwie verstehe ich dein Differenzialgleichungssysrem noch nicht so ganz. Das Ergebnis muss doch auch von der Startbedingung, dass die beiden Richtungsvektoren zum Zeitpunkt t = 0 senkrecht zueinander sind, abhängen. |
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| 08.04.2005, 17:26 | yeti777 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo jovi, du hast natürlich recht. Es war ein bisschen schlampig von mir, die Anfangsbedingungen nicht hinzuschreiben. Das kommt daher, dass ich die vorliegende Aufgabe schon in einem früheren Thread gelöst und hier lediglich einen Teil des LaTeX-Codes reinkopiert habe. Man muss zum DGL-System noch Folgendes sagen: Es ist die vorgegebene Fluchtbahn des Hasen in Parameterdarstellung, diejenige des Hundes mit als Startpunkt, die Geschwindigkeit des Hasen (implizit vorhanden in der vordefinierten Bahn des Hasen) und diejenige des Hundes. Vorgegeben als Anfangsbedingungen sind , und . Um das Verständnis zu erleichtern, füge ich noch die Ausgangsskizze des ursprünglichen Problems an. Gruss yeti |
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