Zu Produkten umformen...

08.04.2005, 14:54

Mikos

Zu Produkten umformen...

Hallo erstmal, ich bräuchte etwas Hilfe bei folgender Aufgabe, welche lautet:

"Formen Sie soweit wie möglich in Produkte um:"

1. $\begin{eqnarray*} 25x^2-30xy+9y^2 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} a^{18}-a^2*b^{16} \end{eqnarray*}$ <-- der erste Term heißt a hoch 18, der letzte b hoch 16, der Formeleditor stellt das nicht richtig dar.

Es handelt sich hier um eine Musteraufgabe eines Einstellungstests.

Meines Wissens nach haben wir solche Aufgaben (noch) nicht in der Schule durchgenommen.

Vielen Dank!!!

Edit: damit mehr als ein Zeichen in der Hochzahl steht, musst du {} setzen. Ich habe es dir verbessert.

08.04.2005, 15:01

klarsoweit

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RE: Zu Produkten umformen...
Tipp: Binomische Formeln.
Der Latexausdruck geht so:
$\begin{eqnarray*} a^{18} - a^2 \cdot b^{16} \end{eqnarray*}$

08.04.2005, 15:02

grybl

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RE: Zu Produkten umformen...
1. schaut ganz nach binomischer Formel aus

2. Ausklammern, binomische Formel

08.04.2005, 18:11

babelfish

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wenn sie schreibt, dass sie so was noch nich in der schule gemacht hat (oder sich vielleicht einfach nich mehr dran erinnern kann! Augenzwinkern

), nehm ich nicht an, dass ihr die bin. formeln was sagen...
also, als ergänzung:

$\begin{eqnarray*} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a+b)*(a-b)=a^2-b^2 \end{eqnarray*}$

08.04.2005, 19:11

mercany

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Zitat:

Original von babelfish
wenn sie schreibt, dass sie so was noch nich in der schule gemacht hat (oder sich vielleicht einfach nich mehr dran erinnern kann! Augenzwinkern

Ganz ehrlich!
Aufgabe hin und Aufgabe her, aber binomische Formel behandelt jeder Mensch einmal in seiner Schulzeit.

08.04.2005, 19:19

aRo

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das hat babelfish auch sicher nicht bezweifelt...

08.04.2005, 20:28

mercany

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Zitat:

Original von aRo
das hat babelfish auch sicher nicht bezweifelt...

Huppssss!
Da hab ich wohl den Satz in Klammern überlesen.

Dann werde ich wohl alles zurücknehmen! smile

Sollte aber auch nicht böse gemeint sein - war eben nur so ne Feststellung Big Laugh

Liebe Grüße
mercany

08.04.2005, 23:41

babelfish

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Zitat:

Original von mercany
Huppssss!
Da hab ich wohl den Satz in Klammern überlesen.

Dann werde ich wohl alles zurücknehmen! smile

Sollte aber auch nicht böse gemeint sein - war eben nur so ne Feststellung Big Laugh

kein problem! Augenzwinkern

09.04.2005, 00:40

Mikos

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Hi,

die binomischen Formeln sind mir durchaus noch bekannt...

Bei der ersten Aufgabe helfen sie mir auch weiter...

Bei der anderen Aufgabe weiß ich aber nicht, wie ich sie richtig anwenden muss traurig

...

Wie kann ich die binomischen Formeln denn zur Lösung meiner zweiten Aufgabe benutzen??

Könntet ihr mir das vielleicht an einem kleinen Beispiel erklären?

LG

09.04.2005, 01:05

babelfish

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klammer doch mal die $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ aus und schau dir das ganze dann nochmal an! smile

09.04.2005, 01:39

Mikos

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Hm, meinst du mit ausklammern:

$\begin{eqnarray*} a^{18}-a*a*b^{16} \end{eqnarray*}$ ?

Ich habe gerade gemerkt, dass ich wohl auch mit der ersten Aufgabe nicht wirklich zurecht komme...

Wie müssen die binomischen Formeln denn richtig angewendet werden?

Ich habe es folgendermaßen gemacht, denke aber, dass es falsch ist:

$\begin{eqnarray*} 25x^2=25^2+50x+x^2 \end{eqnarray*}$ <-- (erster Term der ersten Augabe)

Beim nächsten Term $\begin{eqnarray*} 30xy \end{eqnarray*}$ hängts auch schon wieder, denn ich weiß nicht traurig

, wie ich die bin. Formeln auf 30xy anwenden muss...

09.04.2005, 08:24

Fassregel

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Zitat:

Original von Mikos
Hm, meinst du mit ausklammern:

$\begin{eqnarray*} a^{18}-a*a*b^{16} \end{eqnarray*}$ ?

Nein, ich vermute mal, dass er damit etwas in der Form meinte:

$\begin{eqnarray*} 2a³-a²b \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} a²(2a-b) \end{eqnarray*}$

Von hier aus ist es bis zu deinem Problem nur noch ein kleiner Schritt.

Zitat:

Original von Mikos
Wie müssen die binomischen Formeln denn richtig angewendet werden?

Die binomischen Formeln werden immer auf einen ganzen Ausdruck angewendet, so zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} (a²-2ab+b²)=(a-b)² \end{eqnarray*}$

Schau doch einfach, was du quadrieren musst, um 25x² und 9y² zu erhalten.

Jetzt habe ich es dir fast schon zu einfach gemacht.

09.04.2005, 12:04

babelfish

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Zitat:

Original von Fassregel
Nein, ich vermute mal, dass er damit etwas in der Form meinte:

ähäm *hüstel* sie!

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 2a³-a²b \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} a²(2a-b) \end{eqnarray*}$

ich meinte eigentlich eher sowas wie

$\begin{eqnarray*} a^{18}-a^2b^{16}=a^2(a^{16}-b^{16}) \end{eqnarray*}$

und jetzt bin. formel!

Zitat:

Original von Mikos
Wie müssen die binomischen Formeln denn richtig angewendet werden?

ich mach dir mal ein einfaches beispiel:

4x^2 + 6xy + 9y

so, und so sieht die 1.bin. formel aus

$\begin{eqnarray*} (a²+2ab+b²)=(a+b)² \end{eqnarray*}$

jetzt siehst du, dass das "4x^2" dem a^2 entspricht, das "6xy" dem 2ab und das "9y" dem b^2.
für deine umformung in (a+b)^2 brauchst du ja jetzt ein "a" und ein "b". das heißt, du ziehst die wurzel von deinem a^2: hier also die wurzel von 4x^2 => 2x
und genauso bei dem b^2 bzw 9y^2
9y^2 => 3y

also hast du dann am ende:

4x^2 + 6xy + 9y^2 = (2x + 3y)^2

verstanden?

/edit: vom + zum -....

09.04.2005, 12:08

kikira

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@babelfischerle

Guten Morgen!

Du, du hast dich da verschrieben:

a^16 - b^16 >> muss da stehen.
Wenn dazwischen + steht, könnte man gar nicht binomische Formel anwenden.

lg kiki

09.04.2005, 12:44

Fassregel

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Zitat:

Original von babelfish

Zitat:

Original von Fassregel
Nein, ich vermute mal, dass er damit etwas in der Form meinte:

ähäm *hüstel* sie!

ähm, ups, pardon, sollte das so langsam eigentlich wissen, hab ja schon genug beträge von dir gelesen. passiert nicht nochmal!

Zitat:

Original von babelfish
ich meinte eigentlich eher sowas wie

$\begin{eqnarray*} a^{18}+a^2b^{16}=a^2(a^{16}+b^{16}) \end{eqnarray*}$

und jetzt bin. formel!

ich wollte Mikos eben nicht die lösung auf dem silbertablett servieren... trotzdem würde ich jetzt mal gerne an dem term die binomische formel von dir sehen Augenzwinkern

09.04.2005, 14:15

babelfish

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Zitat:

Original von kikira
@babelfischerle

Guten Morgen!

wunderschönen guten morgen, kikili! smile

Zitat:

Du, du hast dich da verschrieben:

a^16 - b^16 >> muss da stehen.

ach du liebe güte, was für ein fataler fehler!! geschockt

sorry, ich glaub ich war noch nich so richtig wach! Schläfer

jetzt stimmts hoffentlich! Augenzwinkern

Zitat:

Original von Fassregel
ähm, ups, pardon, sollte das so langsam eigentlich wissen, hab ja schon genug beträge von dir gelesen. passiert nicht nochmal!

macht ja nix! smile

solang dir nich so dumme fehler wie mir passieren.. unglücklich

10.04.2005, 16:34

Mikos

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Hi, ich weiß nicht woran es liegt traurig

, aber ich weiß immer noch nicht wie ich die Aufgaben lösen muss...

Ich dachte die binomischen Formlel werden normalerweise dazu benutzt, um quadratische Klammer-Terme z.B. $\begin{eqnarray*} (12+x)^2 \end{eqnarray*}$ aufzulösen...

Wie aber muss ich die Formeln denn auf $\begin{eqnarray*} 25x^2-30xy+9y^2 \end{eqnarray*}$ anwenden??? Was ist hier "a" und was ist "b"? Und was soll ich mit dem Term machen, der übrig bleibt (es sind ja schließlich 3)?

Und wie kann ich bei $\begin{eqnarray*} a^{18}-a^2*b^{16} \end{eqnarray*}$ , was zusammengefasst ja $\begin{eqnarray*} a^{16}*b^{16} \end{eqnarray*}$ ist, überhaupt mit den bin. Formel arbeiten? Ich dachte die funktionieren nur, wenn 1.) plus und/oder minus im Term vorkommen und nicht *, und es sich 2.) um einen quadratischen Klammer-Term handelt, und nicht um 2 miteinander zu multiplizierender Variablen mit einem Exponeneten von 16???

Ich glaube, ich sehe den Wald vor lauter Bäumen nicht... unglücklich

Ich bitte ganz lieb Hilfe

um Hilfe...

LG

10.04.2005, 17:45

kikira

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(a + b)² = a² + 2ab + b²

Da stehen auf der rechten Seite DREI Ausdrücke.

so wie bei:
25x² - 30xy + 9y²

Also höchster Verdacht, dass das bereits eine ausgerechnete binomische Formel ist.
Und WENN DAS EINE IST, dann könnte man sie doch wieder in einen Klammerausdruck verwandeln, oder?
Probier das mal und mach die Probe, indem du wieder ausmultiplizierst und schaust, ob wohl diese 3 Ausdrücke wieder raus kommen.

Oberstes Prinzip bei all diesen Aufgaben ist:

Schauen, ob man HERAUSHEBEN KANN oder ob das eine BINOMISCHE FORMEL sein könnte.

Herausheben kann man dann, wenn in allen Ausdrücken etwas Gleiches enthalten ist.

Im Ausdruck a^18 - a²*b^16

ist da in beiden Ausdrücken etwas Gleiches drin? Wenn ja, was kann man herausheben und was bleibt in der Klammer dann stehen?

Und WICHTIG BEIM HERAUSHEBEN IST:

Probe machen, ob man wohl richtig herausgehoben hat und die macht man, indem man hinterher wieder zurückmultipliziert und schaut, ob wohl das gleiche rauskommen würde wie vorher da gestanden ist.

Mach mal die Probe, ob du richtig herausgehoben hast und poste deine Erkenntnisse.

lg kiki

10.04.2005, 17:58

grybl

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@kiki: Der Begriff Herausheben ist vielen unserer deutschen Freunde nicht vertraut. Sie verwenden dafür Ausklammern. Augenzwinkern

10.04.2005, 18:49

kikira

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hmm...stimmt! Manchmal vergess ich das.

Schönen Sonntag noch, grybl smile

lg kiki

11.04.2005, 21:33

Mikos

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Achso...

...ich glaube jetzt verstehe ich das smile

Dann wären: $\begin{eqnarray*} 25x^2-30xy+9y^2 = (5x-3y)^2 \end{eqnarray*}$

Und wie funktioniert das mit dem rausheben? Muss man von $\begin{eqnarray*} a^{18}-a^2*b^{16} \end{eqnarray*}$ was ja gleich $\begin{eqnarray*} a^{16}b^{16} \end{eqnarray*}$ ist, die 16. Wurzel Ziehen, oder kann (muss) man $\begin{eqnarray*} (ab)^{16} \end{eqnarray*}$ schreiben?

LG

12.04.2005, 01:59

Mikos

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Ich habe noch eine kurze (banale smile

) Frage:

Wie müsste ein Term aussehen, bei dem die bin. Plua/Minus-formel angewendet werden muss???

Ich bin nämlich bisher immer nur auf die erste oder zweite bin. Formel gestoßen.. (glaub ich) smile

LG Mikos

12.04.2005, 02:06

JochenX

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ich hab den rest des threads nicht gelesen, denke aber ich habe deine frage richtig verstanden....

faktorisiere doch mal $\begin{eqnarray*} 4x^2-9=.....? \end{eqnarray*}$

das ist ein beispiel für die dritte binomische formel rückwärts...

12.04.2005, 07:48

Fassregel

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Zitat:

Original von Mikos
Dann wären: $\begin{eqnarray*} 25x^2-30xy+9y^2 = (5x-3y)^2 \end{eqnarray*}$

C'est correct, jawoll. Freude

Zitat:

Original von Mikos
Und wie funktioniert das mit dem rausheben? Muss man von
$\begin{eqnarray*} a^{18}-a^2*b^{16} \end{eqnarray*}$ was ja gleich $\begin{eqnarray*} a^{16}b^{16} \end{eqnarray*}$ ist, die 16. Wurzel Ziehen, oder kann (muss) man $\begin{eqnarray*} (ab)^{16} \end{eqnarray*}$ schreiben?

Ich muss dich leider enttäuschen, $\begin{eqnarray*} a^{18}-a^2*b^{16} \end{eqnarray*}$ ist nicht gleich $\begin{eqnarray*} a^{16}b^{16} \end{eqnarray*}$ . Punkt vor Strich!

Als kleinen Tipp: $\begin{eqnarray*} a^{18}-a^2*b^{16} \end{eqnarray*}$ ist das gleiche wie $\begin{eqnarray*} a^{2}*a^{16}-a^{2}*b^{16} \end{eqnarray*}$ . Was kannst du jetzt ausklammern/herausheben?

edit: Latex korrigiert

12.04.2005, 14:28

Mikos

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Hm, wie kann man das den jetzt ausklammern?

Kann ich $\begin{eqnarray*} a^2*a^{16}-a^2*b^{16}=-a^4+a^2b^{16}-a^{36}+a^2b^{16} \end{eqnarray*}$ rechnen?

LG

12.04.2005, 14:34

babelfish

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oje, nein!

wie klammert man aus? man sucht sich in einer summe den faktor der beiden summanden, der bei beiden gleich ist!
also zb bei

5 * x + 8 * x

kommt in beiden summanden ein x vor und wegen dem distributivgesetz, kann man das x jetzt ausklammern!
also

5x + 8x = x * (5 + 8)

ganz hinterlistig ist es, wenn jetzt auch noch gemeinsame zahlen vorkommen, die man dann auch noch ausklammern kann!
also zb bei

5 * x + 10 * x

da könntest du jetzt auch schreiben

1 * 5 * x + 2 * 5 * x

jetzt gibt es zwei faktoren, die in beiden summanden vorkommen, nämlich 5 und x, also wird das ganze zu...

5x+10x=1*5*x+2*5*x = 5x * (1 + 2)

so, welcher faktor kommt denn jetzt bei

$\begin{eqnarray*} a^2*a^{16}+a^2*b^{16} \end{eqnarray*}$

in beiden summanden vor?

12.04.2005, 17:03

Mikos

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Hm, wäre das dann $\begin{eqnarray*} a^2*a^{16}-a^2*b^{16}=a^2(a-b)^{16} \end{eqnarray*}$ ?

12.04.2005, 17:25

Fassregel

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Zitat:

Original von Mikos
Hm, wäre das dann $\begin{eqnarray*} a^2*a^{16}-a^2*b^{16}=a^2(a-b)^{16} \end{eqnarray*}$ ?

Fast. $\begin{eqnarray*} a^2*a^{16}-a^2*b^{16}=a^2(a^{16}-b^{16}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a-b)^{16} \end{eqnarray*}$ ist falsch. Stell dir (a-b) sechzehn mal hintereinander geschrieben vor (das drückt $\begin{eqnarray*} (a-b)^{16} \end{eqnarray*}$ aus), dann kommt was anderes raus als $\begin{eqnarray*} (a^{16}-b^{16}) \end{eqnarray*}$ .

edit: Latex korrigiert, ich sollte lieber mit dem Formeleditor arbeiten

12.04.2005, 17:27

babelfish

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fast richtig!
die ^16 muss auf jeden fall in die klammer!!! das ist gaaaanz wichtig!!!
weil es ja sonst so ähnlich wie bei den bin. formeln wäre... bei (a+b)^2 kommt ja auch nicht a^2 + b^2 sondern a^2 + 2ab + b^2 heraus!
also richtig wäre das dann

$\begin{eqnarray*} a^2*(a^{16}-b^{16}) \end{eqnarray*}$

/edit: da war wohl jemand schneller...

13.04.2005, 01:41

Mikos

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Na supi, knapp daneben ist auch vorbei... Tanzen

Ich weiß, das $\begin{eqnarray*} a^{18}-a^2*b^{16} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a^2*a^{16}-a^2~b^{16} \end{eqnarray*}$ das gleiche sind, wie aber komme ich von $\begin{eqnarray*} a^{18}-a^2*b^{16} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} a^2*a^{16}-a^2~b^{16} \end{eqnarray*}$ ?

Könnte mir das bitte jemand erklären? smile

13.04.2005, 07:41

Fassregel

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du hast dir deine Frage fast schon selbst beantwortet...

Eben weil $\begin{eqnarray*} a²*a^{16}-a²b^{16} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a²*a^{16}-a²*b^{16} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a^{18}-a²b^{16} \end{eqnarray*}$ im Prinzip alle das gleiche ausdrücken, kommt man vom einen auf das andere. Warum? Weil die Potenzregeln gelten, die da unter anderem lauten: $\begin{eqnarray*} x^{x}*x^{m}=x^{n+m} \end{eqnarray*}$ , also in unserem konkreten Fall: $\begin{eqnarray*} a^{2}*a^{16}=a^{2+16}=a^{18} \end{eqnarray*}$ .

und jetzt nur noch aus $\begin{eqnarray*} a²*a^{16}-a²*b^{16} \end{eqnarray*}$ den gemeinsamen Faktor vor eine Klammer ziehen (ausklammern/herausheben), und fertig.

edit: 2x Latex korrigiert und letzten Satz dazugefügt

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