Koordinatenursprung soll zur Ebene gehören

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01.10.2007, 20:24	Sandra121289	Auf diesen Beitrag antworten »
Koordinatenursprung soll zur Ebene gehören Hallo erstmal, entschuldigung für den schlechten thementitel Ich komme mit der folgenden Aufgabe nicht klar: Gegeben sind die Punkte Pt(1-2t;3t+1;t) und die Gerade g, die durch die Punkte Q(2;2;2) und R(-2;3;4) verläuft. Ermitteln Sie die Koordinatengleichung derjenigen Ebene E(PtQR), zu der der Koordinatenursprung gehört. Also ich habe jetzt die Ebenengleichung aufgestellt: $\begin{eqnarray} \vec{x} = \begin{pmatrix} 1-2t \\ 3t+1 \\ t \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1+2t \\ 1+3t \\ 2-t \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} -3-2t \\ 2+3t \\ 4-t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ weiß jetzt aber nicht weiter...bitte helft mir
01.10.2007, 20:30	aRo	Auf diesen Beitrag antworten »
du hast da einige Vorzeichenfehler drin, schau lieber noch einmal drüber bevor du weiter rechnest. Sagt dir der Normalenvektor und das Vektorprodukt etwas?
01.10.2007, 20:35	gfdgfg	Auf diesen Beitrag antworten »
hilfe jetzt musst du ein gleichungssystem auflösen
01.10.2007, 20:36	fgfggfdg	Auf diesen Beitrag antworten »
df ausserdem hast du vorzeichenfehler
01.10.2007, 20:41	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Koordinatenursprung soll zur Ebene gehören Blöde Formulierung wenn das 'orginal' ist. Ich würde das so lesen: Gesucht ist Ebene E durch (O,Q,R) und Pt ist so zu trimmen dass Pt auf E liegt, sofern es denn geht.
01.10.2007, 20:43	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist nicht nötig dass in allen Vektoren der Parameter t auftaucht. OQ+aQR+bQPt reicht völlig
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01.10.2007, 20:47	Sandra121289	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \vec{x} = \begin{pmatrix} 1-2t \\ 3t+1 \\ t \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1+2t \\ 1-3t \\ 2-t \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} -3-2t \\ 2+3t \\ 4-t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ so, das müsste jetzt so stimmen. und nein, von vektorprodukt und normalenvektor hab ich noch nichts gehört. Die idee mit dem gleichungssystem ist mir auch schon gekommen, aber das ist ja mal sowas von anstrengend und unübersichtlich....
01.10.2007, 20:49	gfdgfg	Auf diesen Beitrag antworten »
bei s ist x2: 2-3t
01.10.2007, 20:50	gfdgfg	Auf diesen Beitrag antworten »
jetzt musst du das gleichungssystem aufstellen wenn du das getan hast dann schick mal die 3 gl.
02.10.2007, 09:46	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Schnellster Weg zur Lösung: 1) Bilden einer Koordinatengleichung der Ebene durch Einsetzen der 3 Punkte Q(2/2/2) R(-2/3/4) und O(0/0/0) in eine allgemeine Ebenengleichung ax+by+cz=d. 2) Lösen des unterbestimmten LGS (indem jetzt kein t mehr auftaucht) wobei man am Ende durch Einsetzen einer beliebigen Zahl für die übrigbleibende Variable (Pivotelement) eine mögliche Koordinatengleichung der Ebene erhält. 3) Durch Einsetzen des Punktes (bzw der Punkteschar) $\begin{eqnarray} P_t \end{eqnarray}$ in die Koordinatengleichung kann man nach t auflösen Bei diesem Weg fängt man also umgekehrt an, bildet also zuerst eine Ursprungsebene (durch den Punkt O) und schaut dann nachher wie man t wählen muss damit $\begin{eqnarray} P_t \end{eqnarray}$ auch in dieser Ebene liegt. Das ist deshalb am Schnellsten weil man im LGS keine zig störenden t's drin hat und weil man am Ende nur noch eine ganz normale Punktprobe durchführt und somit lediglich eine lineare Gleichung nach t auflöst. Die Alternative mit dem LGS über eine Parameterform der Ebene durch Q,R und $\begin{eqnarray} P_t \end{eqnarray}$ funktioniert auch...es dauert auch gar nicht sooo lange, wenn du deine Parametergleichung so wählst, dass du nur in einem Spannvektor t's hast Wenn es noch Fragen gibt melde dich einfach. Gruß Björn

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