Dreieck maximale Fläche

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luventas Auf diesen Beitrag antworten »
Dreieck maximale Fläche
Hallo,

meine Problem ist folgendes:
ich habe 3 Punkte. Je einer dieser Punkte liegt auf einer Seite eines Dreiecks. Dabei ist nicht vorauszusetzen, dass es Seitenhalbierende, Winkelhalbierende o. ä. sein müssen, die diese Punkte schneiden.

Nun soll die Fläche des Dreiecks maximal werden.

gibt es hier eine Formel, mit der man dies berechnen kann??
Ich steh total auf dem Schlauch!!

Gruß
Luventas
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Woher kommt diese Aufgabenstellung? In dieser Form kann sie nicht mit Schulkenntnissen gelöst werden, denn es liegen als Nebenbedingung 3 Gleichungen (die Gleichungen der Dreieckseiten) mit 6 oder 9 Variablen vor (in oder ), die Hauptbedingung wird über die Fläche, ausgedrückt in diesen Koordinaten, erstellt.

Offensichtlich ist jedoch, dass ein Extremum vorliegt, wenn die 3 Punkte auf den Seiten mit den Eckpunkten des Dreieckes zusammenfallen.

mY+
luventas Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin auch schon eine ganze Weile kein Schüler mehr...

Die Aufgabe ist in einem Kreise von Geofindern gestellt worden.
Die Koordinaten sind 3 Punkte im Gelände. Wenn man ein Dreieck findet, dessen Seiten durch diese 3 Punkte gehen und dessen Fläche maximal ist, dann ist das Suchobjekt an einem der 3 Eckpunkte zu finden.

Wenn mich mein Wissen in der Geometrie nicht täuscht, liegt zwar ein Extremum vor, wenn die 3 Punkte die Eckpunkte sind, aber dann ist, wenn ich mich richtig erinnere, die Fläche des Dreickes minimal, oder?!

Gruß
luventas
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ach - es ist umgekehrt. Du hast die Aufgabe missverständlich gestellt. Es ist so, dass einem gegebenen Dreieck das flächenkleinste Dreieck umzuschreiben ist, auf dessen Seiten die gegeben Punkte liegen.

mY+
AD Auf diesen Beitrag antworten »

In dem Fall ist aber das Minimum das Dreieck selbst, wie von luventas bereits erwähnt.

Ein Maximum gibt es nicht, man kann immer ein umschreibendes Dreieck beliebig großen Flächeninhalts angeben, d.h. das Supremum ist unendlich.
luventas Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich mir auch so gedacht.

Mittlerweile habe ich aber eine weitere Information bekommen, die das ganze wieder lösbar machen müsste, nur weiß ich trotzdem nicht, wie...

Das Dreieck muss nämlich gleichseitig sein.

Kann mir jetzt jemand helfen?

Gruß
luventas
 
 
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

falls es dich noch interessiert unglücklich
mit den bezeichnungen im bilderl bekommt man



und damit



und das minimale gleichseitige dreieck hat die seitenlänge



die koordinate r hat die größe



das (oder die verwirrt ) dreieck mit maximaler fläche liegt am rande wie gezeichnet und ist daher eher leicht zu finden. unglücklich

alles wie immer ohne haftung Big Laugh
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Layout?
Wie wäre es mit statt ? Augenzwinkern

code:
1:
[latex]\sin[/latex] 

Aber vielleicht ist die geschwungene Schrifttype ja auch beabsichtigt. Augenzwinkern
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Layout?
nur der ordnung halber, für das "randdreieck" hat man



AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von luventas
Das Dreieck muss nämlich gleichseitig sein.

Ich weiß auch nicht, warum es in manchen Threads mehrere Seiten oder Tage dauert, bis der Threadersteller die Aufgabenstellung richtig darlegt...


Nunmehr verstehe ich die Aufgabe so, dass ein beliebiges aber festes Dreieck gegeben ist, und ein gleichseitiges Dreieck maximalen Flächeninhalts diesem Dreick umschrieben werden soll.

Werners Skizze sieht eher nach dem Einschreiben eines gleichseitigen Dreiecks aus - aber vielleicht hat er ja auch irgendeine Analogie im Sinn, die ich jetzt zu blind bin zu sehen. verwirrt
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

hallo arthur,
nein, keine analogie
ich war immer beim einschreiben, da es im 1. beitrag ja geheißen hat,
je 1 punkt liegt auf der seite des (gegebenen) dreiecks.....

dann war halt die mühe umsonst, hat aber spaß gemacht
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von riwe
dann war halt die mühe umsonst,

Wissen wir noch nicht, luventas muss sich mal entscheiden. Augenzwinkern

------------------

Wie auch immer, ein Tipp für die von mir verstandene Interpretation der Aufgabe:

Siehe IMO 1967, Aufgabe 4 (B1). Dort war es sogar allgemeiner so, dass das umzuschreibende Dreieck einem gegebenen spitzwinkligen Dreieck ähnlich sein soll - nun, bei uns ist das eben speziell ein gleichseitiges Dreieck.

Allerdings war dort auch das Ausgangsdreieck (also das, welches umschrieben werden soll) als spitzwinklig vorausgesetzt - wie sieht's hier aus? verwirrt
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du das gegebene Dreieck als durch a und b und Winkel(a,b) = gamma gegeben siehst,

dann könnte die Lösung so aussehen

L(x) = a*(cos(x)+sin(x)/tan(60)) + b*(-cos(x+gamma)+sin(x+gamma)/tan(60))

und das sollte sich rechnen lassen.



Edit
Das müsste die Lösung sein

x = arctan( (a*sqrt(3)+3*b*sin(gamma)+b*sqrt(3)*cos(gamma)) / (3*a-3*b*cos(gamma)+b*sqrt(3)*sin(gamma)) )
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Und das wäre eine Konstruktionslösung
luventas Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich danke euch allen.
Ich versuche jetzt mal, die Aufgabe mit euren Vorschlägen zu lösen.

@Arthur Dent:
Die Aufgabe habe ich nicht selber gestellt bekommen, sondern ein Bekannter von mir und der hat die Aufgabenstellung erst nicht richtig gelesen, daher hatte ich sie heir auch erst nicht richtig gepostet.

Nur noch einmal zur Erklärung:
Ich habe 3 Punkte gegeben. Diese 3 Punkte liegen an unbekannten Stellen auf den 3 Seiten eines Dreiecks. Das Dreieck soll gleichseitig und die Fläche maximal sein.

Gruß
luventas
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