Dreieck maximale Fläche |
02.10.2007, 11:38 | luventas | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Dreieck maximale Fläche meine Problem ist folgendes: ich habe 3 Punkte. Je einer dieser Punkte liegt auf einer Seite eines Dreiecks. Dabei ist nicht vorauszusetzen, dass es Seitenhalbierende, Winkelhalbierende o. ä. sein müssen, die diese Punkte schneiden. Nun soll die Fläche des Dreiecks maximal werden. gibt es hier eine Formel, mit der man dies berechnen kann?? Ich steh total auf dem Schlauch!! Gruß Luventas |
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02.10.2007, 12:38 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Woher kommt diese Aufgabenstellung? In dieser Form kann sie nicht mit Schulkenntnissen gelöst werden, denn es liegen als Nebenbedingung 3 Gleichungen (die Gleichungen der Dreieckseiten) mit 6 oder 9 Variablen vor (in oder ), die Hauptbedingung wird über die Fläche, ausgedrückt in diesen Koordinaten, erstellt. Offensichtlich ist jedoch, dass ein Extremum vorliegt, wenn die 3 Punkte auf den Seiten mit den Eckpunkten des Dreieckes zusammenfallen. mY+ |
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02.10.2007, 12:48 | luventas | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Ich bin auch schon eine ganze Weile kein Schüler mehr... Die Aufgabe ist in einem Kreise von Geofindern gestellt worden. Die Koordinaten sind 3 Punkte im Gelände. Wenn man ein Dreieck findet, dessen Seiten durch diese 3 Punkte gehen und dessen Fläche maximal ist, dann ist das Suchobjekt an einem der 3 Eckpunkte zu finden. Wenn mich mein Wissen in der Geometrie nicht täuscht, liegt zwar ein Extremum vor, wenn die 3 Punkte die Eckpunkte sind, aber dann ist, wenn ich mich richtig erinnere, die Fläche des Dreickes minimal, oder?! Gruß luventas |
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02.10.2007, 13:58 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Ach - es ist umgekehrt. Du hast die Aufgabe missverständlich gestellt. Es ist so, dass einem gegebenen Dreieck das flächenkleinste Dreieck umzuschreiben ist, auf dessen Seiten die gegeben Punkte liegen. mY+ |
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02.10.2007, 19:45 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
In dem Fall ist aber das Minimum das Dreieck selbst, wie von luventas bereits erwähnt. Ein Maximum gibt es nicht, man kann immer ein umschreibendes Dreieck beliebig großen Flächeninhalts angeben, d.h. das Supremum ist unendlich. |
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04.10.2007, 15:14 | luventas | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Das habe ich mir auch so gedacht. Mittlerweile habe ich aber eine weitere Information bekommen, die das ganze wieder lösbar machen müsste, nur weiß ich trotzdem nicht, wie... Das Dreieck muss nämlich gleichseitig sein. Kann mir jetzt jemand helfen? Gruß luventas |
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06.10.2007, 21:43 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
falls es dich noch interessiert mit den bezeichnungen im bilderl bekommt man und damit und das minimale gleichseitige dreieck hat die seitenlänge die koordinate r hat die größe das (oder die ) dreieck mit maximaler fläche liegt am rande wie gezeichnet und ist daher eher leicht zu finden. alles wie immer ohne haftung |
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06.10.2007, 21:50 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Layout? Wie wäre es mit statt ?
Aber vielleicht ist die geschwungene Schrifttype ja auch beabsichtigt. |
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06.10.2007, 22:25 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
RE: Layout? nur der ordnung halber, für das "randdreieck" hat man |
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06.10.2007, 22:40 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Ich weiß auch nicht, warum es in manchen Threads mehrere Seiten oder Tage dauert, bis der Threadersteller die Aufgabenstellung richtig darlegt... Nunmehr verstehe ich die Aufgabe so, dass ein beliebiges aber festes Dreieck gegeben ist, und ein gleichseitiges Dreieck maximalen Flächeninhalts diesem Dreick umschrieben werden soll. Werners Skizze sieht eher nach dem Einschreiben eines gleichseitigen Dreiecks aus - aber vielleicht hat er ja auch irgendeine Analogie im Sinn, die ich jetzt zu blind bin zu sehen. |
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06.10.2007, 23:03 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
hallo arthur, nein, keine analogie ich war immer beim einschreiben, da es im 1. beitrag ja geheißen hat, je 1 punkt liegt auf der seite des (gegebenen) dreiecks..... dann war halt die mühe umsonst, hat aber spaß gemacht |
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06.10.2007, 23:09 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Wissen wir noch nicht, luventas muss sich mal entscheiden. ------------------ Wie auch immer, ein Tipp für die von mir verstandene Interpretation der Aufgabe: Siehe IMO 1967, Aufgabe 4 (B1). Dort war es sogar allgemeiner so, dass das umzuschreibende Dreieck einem gegebenen spitzwinkligen Dreieck ähnlich sein soll - nun, bei uns ist das eben speziell ein gleichseitiges Dreieck. Allerdings war dort auch das Ausgangsdreieck (also das, welches umschrieben werden soll) als spitzwinklig vorausgesetzt - wie sieht's hier aus? |
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06.10.2007, 23:30 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Wenn du das gegebene Dreieck als durch a und b und Winkel(a,b) = gamma gegeben siehst, dann könnte die Lösung so aussehen L(x) = a*(cos(x)+sin(x)/tan(60)) + b*(-cos(x+gamma)+sin(x+gamma)/tan(60)) und das sollte sich rechnen lassen. Edit Das müsste die Lösung sein x = arctan( (a*sqrt(3)+3*b*sin(gamma)+b*sqrt(3)*cos(gamma)) / (3*a-3*b*cos(gamma)+b*sqrt(3)*sin(gamma)) ) |
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07.10.2007, 17:09 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Und das wäre eine Konstruktionslösung |
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08.10.2007, 11:01 | luventas | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
Hallo, ich danke euch allen. Ich versuche jetzt mal, die Aufgabe mit euren Vorschlägen zu lösen. @Arthur Dent: Die Aufgabe habe ich nicht selber gestellt bekommen, sondern ein Bekannter von mir und der hat die Aufgabenstellung erst nicht richtig gelesen, daher hatte ich sie heir auch erst nicht richtig gepostet. Nur noch einmal zur Erklärung: Ich habe 3 Punkte gegeben. Diese 3 Punkte liegen an unbekannten Stellen auf den 3 Seiten eines Dreiecks. Das Dreieck soll gleichseitig und die Fläche maximal sein. Gruß luventas |
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