Faltung

02.10.2007, 15:47	Mr Poisson	Auf diesen Beitrag antworten »
Faltung Hallo, Wenn X,Y unabhängige Pois-vert. ZVen sind, dann ist X+Y ja wieder pois. verteilt. Wie zeigt man am besten den allgemeinen Fall, dass das dann auch für $\begin{eqnarray} X_1,...,X_n \end{eqnarray}$ gilt? Über vollständige Induktion oder gibt es einen besseren Weg? mathematische Grüße, Mr Poisson
02.10.2007, 16:56	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion ist hier das Mittel zum Ziel, ansonsten kannst Du versuchen die Faltung auf höhere Summen aufzulösen in etwa $\begin{eqnarray} Y = \sum_{i=1}^{k}X_i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Z = \sum_{i=k+1}^{n}X_i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(Y + Z = k) = \sum_{i=1}^{k}P(Y = i)P(Z = k - i) \end{eqnarray}$ Aber dann weisst Du immer noch nicht ob die Y,Z poisson-verteilt sind. Diese müsstest Du wieder auflösen und naja, das ist genau das was bei Induktion passiert. Aber es gibt sicherlich noch einen anderen Weg.
03.10.2007, 12:31	Mr. Poisson	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, danke, habs hinbekommen!
03.10.2007, 12:43	Mr. Poisson	Auf diesen Beitrag antworten »
doch noch eine Nachfrage, wenn die $\begin{eqnarray} X_1,...,X_{n+1} \end{eqnarray}$ unabhängig sind, kann man dann auch sagen, dass $\begin{eqnarray} X_1 + ... +X_n , X_{n+1} \end{eqnarray}$ unabhängig sind?
03.10.2007, 17:44	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es. Übrigens gut, dass du dir darüber Gedanken machst, denn das ist ein wichtiger Teil der Beweisargumentation! Etwas allgemeiner: Wenn die $\begin{eqnarray} n+m \end{eqnarray}$ Zufallsgrößen $\begin{eqnarray} X_1,\ldots,X_n,Y_1,\ldots,Y_m \end{eqnarray}$ unabhängig sind, dann sind auch die beiden Zufallsgrößen $\begin{eqnarray} f(X_1,\ldots,X_n) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(Y_1,\ldots,Y_m) \end{eqnarray}$ voneinander unabhängig, wobei $\begin{eqnarray} f,g \end{eqnarray}$ beliebige (messbare) Funktionen sind. In deinem Fall hier ist $\begin{eqnarray} f(x_1,\ldots,x_n)=x_1+\cdots+x_n \end{eqnarray}$ und einfach $\begin{eqnarray} g(y_1)=y_1 \end{eqnarray}$ . Das kann man noch allgemeiner fassen (also z.B. für mehr als zwei abgeleitete Zufallsgrößen), aber ich will ja hier keinen "Indexkrieg" anfangen.
03.10.2007, 18:03	Mr. Poisson	Auf diesen Beitrag antworten »
ok gut zu wissen, dankeschön! Der Beweis für deine Aussage mit den Funktionen ist dann wohl ein Fall für die Maßtheorie...
Anzeige

03.10.2007, 18:04	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, kann man so sagen.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »