Rohrverlegung notwendige Bedingung

03.10.2007, 11:08

21blubb12

Auf diesen Beitrag antworten »

Rohrverlegung notwendige Bedingung

Eine Rohrleitung soll von A nach B verlegt werden. Die Verlegekostem betragen entlang der Straße 300€ pro Meter und über die Straße 500€ pro Meter.
a) Bestimme den Punkt D so, dass die Kosten der verlegung von A über D nach B möglichts gering werden (nur notwendige Bedinung).
b) Vergleiche die minimalen Kosten mit den Kosten bei gradliniger Verlegung von A nach B bzw, von A über C nach B.
Lösungsvorschlag: die notwenidige Bedinnung ist die erste
Ableitung = 0. Also muss ich eine gleichung aufstellen wo zwei Variable vorhanden ist, weil ich zwei strecken habe???

03.10.2007, 11:23

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

sei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ der Abstand von D zu A. Wie lang ist dann die Verbindungsstrecke von D nach B? Der Satz von Pythagoras hilft dir dabei weiter.

Gruß, therisen

03.10.2007, 11:42

Grapefruit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rohrverlegung notwendige Bedingung

Zitat:

Also muss ich eine gleichung aufstellen wo zwei Variable vorhanden ist, weil ich zwei strecken habe???

Nein, es geht mit einer Variabeln. Ich habe die Aufgabe schon mal gelöst und habe damals $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ für die Strecke CD genommen. Du musst nun die Strecke DA und BD abhängig von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ machen. Also eine Gleichung aufstellen die die Verlegestrecke beschreibt.

04.10.2007, 16:16

21blubb12

Auf diesen Beitrag antworten »

tut mir leid aber ich weiß nicht wie das finktionieren soll.
satz des pythagoras : a^2 + b^2 = c^2, dann brauch ich noch einen rechten winkel (den hab ich bei C). aber ich kann keine verbindung herstellen. traurig

traurig

04.10.2007, 17:06

Second_Q

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \vec{BD}=\sqrt{\vec{(BC)}^{2}+\vec{(CD)}^{2}} \end{eqnarray*}$
Die Kosten: die Stecke BD müsste 12,5 m und die Stecke AD (AD=50-CD) müsste 42,5 m sein und die Kosten müssten bei 19.000€ liegen
Aufgabe 64 . 10.bmp

05.10.2007, 14:29

21blubb12

Auf diesen Beitrag antworten »

@ Second_Q: wie kommt man darauf?

Anzeige

05.10.2007, 17:51

Grapefruit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zeichne doch für die Strecke CD mal x ein. Und dann stellst du eine Gleichung auf, die die Strecke A über D nach B beschreibt, abhängig von x.

Der Streckenteil BD lässt sich über den Satz des Pythagoras (Seite des Dreiecks berechnen) beschreiben.

Der Streckenteil AD durch??? Ist nicht so schwer.

Kannst deine Gleichung ja einmal posten dann schau ich sie mir an. Und die Kosten für die Strecke werden am Geringsten, wenn du das Extremum deiner Gleichung ausrechnest.

Hoffe das hilt dir weiter, wenn nicht, sag doch mal wo es genau hackt.

05.10.2007, 18:15

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

@Grapefruit
Es hackt nicht, sondern es hakt! Big Laugh

Big Laugh

Ein analoges Beipiel ist

Extremwertaufgabe

mY+

05.10.2007, 18:22

Grapefruit

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte dies sei ein Matheboard, kein Deutschboard. Ich gaub es hackt. Big Laugh

Big Laugh

Nix für ungut. Tanzen

Tanzen

05.10.2007, 18:38

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Grapefruit
Ich dachte dies sei ein Matheboard, kein Deutschboard. Ich gaub es hackt. Big Laugh

Big Laugh

...

Nein! Das kommt von Subst.: "Der Haken", Verbum: haken, hängen.
Hacken tun wir Holz!
Harken das Gemüsebeet im Garten.

Auch wenn's ein Matheboard hier ist, es ist ein deutsches, und die Grundlagen unserer Sprache sollten schon beachtet werden.

Das möge hier aber nicht in eine Grundsatzdiskussion ausarten, dafür gibt's den OT-Bereich. Wir hatten dies glaube ich ohnehin hier schon.

mY+

06.10.2007, 10:01

21blubb12

Auf diesen Beitrag antworten »

leider hab ich ein paar probleme dabei. ich hab die strecke CD als x bezeichnet. aber ich weiß nicht wie lang die strecke DB ist? oder ist die etwa 10 m lang?

Zitat:

die die Strecke A über B nach D beschreibt, in abhängigkeit von x

damit komm ich nicht klar? unglücklich

unglücklich

06.10.2007, 10:16

Grapefruit

Auf diesen Beitrag antworten »

OK, die Strecke CD ist x. Die Strecke AD ist dann also $\begin{eqnarray*} 50-x \end{eqnarray*}$ . Das kannst du aus der Zeichnung dann doch ablesen. Die Verlegekosten für dieses Teilstück sind 300€ pro Meter.
Also ist ein Teil der Gleichung $\begin{eqnarray*} (50-x) * 300 \end{eqnarray*}$ .

Den anderen Streckenteil BD kannst du mit dem Satz des Pythagoras beschreiben. Dazu nimmst du das Dreieck BDC und beschreibst die Seite des Dreiecks die du benötigst, nämlich BD.

06.10.2007, 14:09

21blubb12

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} (10+x)*500 \end{eqnarray*}$ ???

a^2 + b^2 = c^2
10^2 + x^2 = BD ???

06.10.2007, 14:20

Grapefruit

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} (10+x) * 500 \end{eqnarray*}$ Was willst du denn damit?

Dein Ansatz führt in die richtige Richtung.

$\begin{eqnarray*} a^2+b^2 = c^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 10^2+x^2 = (BD)^2 \end{eqnarray*}$

Hier hast du einen Fehler gemacht. Es muss $\begin{eqnarray*} (BD)^2 \end{eqnarray*}$ sein.

Um jetzt nur auf $\begin{eqnarray*} BD \end{eqnarray*}$ zu kommen nicht auf $\begin{eqnarray*} (BD)^2 \end{eqnarray*}$ musst du die Wurzel ziehen.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{10^2+x^2} = BD \end{eqnarray*}$

Da das ganze über die Straße geht musst du noch mit 500 multiplizieren.

Dann hast du zwei Teile der Strecke beschrieben, die du in einer Gleichung zusammenfassen kannst. Stelle nun bitte die Gleichung auf.

06.10.2007, 14:54

21blubb12

Auf diesen Beitrag antworten »

muss ich die gleichsetzen?

06.10.2007, 15:45

Grapefruit

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Du hast jetzt die Strecke
$\begin{eqnarray*} BD = \sqrt{10^2+x^2} * 500 \end{eqnarray*}$
und die Strecke
$\begin{eqnarray*} AD = (50-x) * 300 \end{eqnarray*}$

Nun musst du die Gleichung aufstellen, die die gesamte Strecke $\begin{eqnarray*} ADB \end{eqnarray*}$ beschreibt $\begin{eqnarray*} BD + AD \end{eqnarray*}$ . Das ist dann deine Zielfunktion.

Und mit dieser bestimmst du dann den Punkt D, der die Kosten am geringsten (Stichwort Extremum) hält.

06.10.2007, 15:55

21blubb12

Auf diesen Beitrag antworten »

das bedeutet ich bracuhe ein minimum.
$\begin{eqnarray*} (50-x)*300 + (\sqrt{10^{2}+x^{2}}*500 \end{eqnarray*}$ ???

06.10.2007, 15:58

Grapefruit

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} f(x) = (50-x) * 300 + \sqrt{10^2+x^2} * 500 \end{eqnarray*}$

Das ist die Zielfunktion, richtig. Freude

Freude

Und jetzt brauchst du, wie du richtig sagst, ein Minimum. Weißt du wie man das berechnet?

edit: du musst bei deinem LATEX-Code die beiden letzten Klammern tauschen.

07.10.2007, 09:03

21blubb12

Auf diesen Beitrag antworten »

muss man nicht die Ableitung bilden mithilfe der Quotientenregel oder sowas?? kann man nicht bei der Gleichung der Strecke AD die Faktorenregel anwenden??
und bei der anderenGleichung schreibt man (10^2+x^2)^1/2 * 500

07.10.2007, 12:44

Grapefruit

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau jetzt musst du die Ableitung bilden. Die Funktion lässt sich auch erst mal so schreiben:
$\begin{eqnarray*} && f(x) = 15000 - 300x + \sqrt{x^2+100} *500 \\ && f(x) = 15000 - 300x + (x^2+100)^{0,5} * 500 \end{eqnarray*}$

Ich finde jetzt lässt sich das einfacher ableiten. Bei $\begin{eqnarray*} (x^2+100)^{0,5} * 500 \end{eqnarray*}$ musst du die Faktorregel anwenden, richtig. Bitte poste deine Ableitung und den weiteren Rechenweg für das Minimum.

07.10.2007, 19:21

21blubb12

Auf diesen Beitrag antworten »

f'(x) = -300 + 500 (2x) ??

07.10.2007, 19:44

Grapefruit

Auf diesen Beitrag antworten »

So nach intensivem ICQ-Verkehr poste ich jetzt mal den Weg für die Ableitung ausführlich.

$\begin{eqnarray*} && f(x) = 15000 - 300x + (x^2+100)^{0,5} * 500 \\ && f(x) = 15000 - 300x + 500 * (x^2+100)^{0,5} \\ && f'(x) = -300 + 0,5 * 500 * (x^2+100)^{-0,5} * 2x \\ && f'(x) = -300 + 500x * (x^2+100)^{-0,5} \\ && f'(x) = -300 + 500x * \frac{1}{\sqrt{x^2+100} } \\ && f'(x) = -300 + \frac{500x}{\sqrt{x^2+100} } \end{eqnarray*}$

08.10.2007, 15:15

21blubb12

Auf diesen Beitrag antworten »

also das ergebnis dann gleich 0 setzen
$\begin{eqnarray*} -300 + \frac{500x}{\sqrt{x^{2}+100} } = 0 \end{eqnarray*}$
das daraus folgende ergebnis von x dann in die Funktion einsetzen.
das sind dann die kosten für die verlegung

08.10.2007, 15:32

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.

Allerdings habe ich auf Grund des zähen Verlaufs dieses Threads und der intensiven Hilfe von Grapefruit den Eindruck, daß du noch nie im Leben eine Extremwertaufgabe selbstständig gelöst hast und daß du Verfahrensweise und Zusammenhänge zur Differentialrechnung nicht wirklich verstanden hast. Da mußt du dir noch einiges Wissen aneignen.

Was diese Aufgabe angeht, müßtest du die Art des Extremwerts noch mit der 2. Ableitung überprüfen.

08.10.2007, 16:31

Grapefruit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

a) Bestimme den Punkt D so, dass die Kosten der verlegung von A über D nach B möglichst gering werden (nur notwendige Bedingung).

Von der Aufgabenstellung her würde ich sagen, dass dies nicht notwendig ist.

Ja, war schon etwas zäh, aber mir wird ja auch immer geholfen. smile

smile

Ist ne super Truppe und da gibt man auch gerne mal etwas zurück.

05.04.2011, 22:06

dragonfire

Auf diesen Beitrag antworten »

wow hab die aufgabe auch nich gepackt und als ich das grade gelesen hab wurds mir erstmal klar... hab die ganze zeit versucht fur die streche BD konkrete werte zu ermitteln und bin verzweifelt.. DANKE!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »