ggt(x,y,z)=ggt(ggt(x,y),z) |
| 03.10.2007, 20:59 | jonas86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| ggt(x,y,z)=ggt(ggt(x,y),z) Ich möchte beweisen: ggt(x,y,z)=ggt(ggt(x,y),z) für alle ganzen Zahlen x,y,z. Ich habe bisher mir gedacht, beide Richtungen einzeln zu zeigen, also i)ggt(x,y,z)=>ggt(ggt(x,y),z) ii)ggt(x,y,z)<=ggt(ggt(x,y),z) i)Sei ggt(x,y,z)=d, dann gilt: d|a und d|b und d|c. ii) Sei ggt(ggt(x,y),z) = d mit ggt(x,y) = e. Dann ist ggt(e,z)=d und es gilt d|z und d|e, also auch d|x und d|y. Also ggt(ggt(x,y),z) = ggt(x,y,z). Bei i) komme ich leider nicht weiter und bei ii) denke ich leider auch, dass das zu ungenau ist. Kann mir vielleicht jemand helfen? Vielen Dank im voraus, jonas86 |
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| 03.10.2007, 21:34 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, es genügt zu zeigen, dass i) ii) Es ist entscheidend mit der Maximalität des ggT zu arbeiten. ad i) Sei , d.h. . Nach Definition gilt dann . Wieder folgt nach Definition, dass dann . Versuche mal analog ii) zu beweisen. Gruß, therisen |
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| 03.10.2007, 21:39 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine andere Möglichkeit wäre, wenn man über die Primfaktorzerlegung der beteiligten Zahlen und ihres (bzw. ihrer) ggT geht - da entspricht nämlich "ggT" der Zahlen dem Operator "min" für die Exponenten in der Primfaktorzerlegung... Ist für diese Aufgabe vermutlich zu aufwändig, lohnt sich aber durchaus, wenn man noch einige andere Fragen zum ggT zu klären hat. P.S. (Offtopic) an therisen : Wer ist E.H.? Erich Honecker? 
Edit (Dual Space): 
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| 03.10.2007, 21:44 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Um ehrlich zu sein, weiß ich auch nicht, wer E.H. ist. Vermutlich war/ist er Kategorientheoretiker oder ein mathematischer Logiker. Der Teil "laud evil" ist nämlich eine unvermeidbare Konsequenz des ersten Teils. Schau mal ganz genau hin 
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| 04.10.2007, 08:45 | jonas86 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi! Danke für eure Hilfe 
Zu ii) ZZ: ggt(ggt(x,y),z) | ggt(x,y,z) Sei d = ggt(ggt(x,y),z), dann ist nach Defintion d | ggt(x,y) und d | z. Aus d | ggt(x,y) folgt nach Definition d | x und d | y. Also ist d | ggt(x,y,z). Ist das okay? Vielen Dank, jonas86 |
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| 04.10.2007, 10:49 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, genau. |
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