Hyperbel Beweise

09.04.2005, 14:36	anne5020	Auf diesen Beitrag antworten »
Hyperbel Beweise Hi Leute! Folgende Aufgabe bereitet mir Kopfzerbrechen: Beweise : Bezeichnet man die Schnittpunkte einer Tangente t einer Hyperbel mit den Asymptoten mit U1 und U2, so hat das Dreieck MU1U2 konstanten Flächeninhalt. thanks
09.04.2005, 15:32	etzwane	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du eine Gleichung der Hyperbel gegeben? Ansonsten kann das eine sehr umfangreiche Aufgabe werden.
09.04.2005, 15:55	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke, bei solchen Aufgaben ist weniger das Finden einer Idee für den Beweis als viel mehr die riesige (sinnlose) Schreibarbeit das Problem. Und eigentlich steht der Beweis ja auch schon fast in der Aufgabe drin: Zuerst mal ne Skizze machen! Dann gehe von einer allgemeinen Hyperbel aus. Diese kannst du zumindest o.B.d.A. mal in der Form $\begin{eqnarray} \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \end{eqnarray}$ annehmen. Stelle die Tangente und die Asymptoten allgemein auf, berechne die Schnittpunkte der Tangente mit den Asymptoten. Und dann berechne den Flächeninhalt. Dafür gibt es ja sehr viele Formeln. Du solltest dir eine aussuchen, für die du nicht vielmehr brauchst als die Eckpunkte, um nicht weitere unnötige Rechnungen anstellen zu müssen, wie z.B. die Höhe ausrechnen.
09.04.2005, 16:00	Tobias	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal allgemein (m)eine Strategie zum Vorgehen: Zuerst stellst du eine allgemeine Hyperbelgleichung f(x) auf. D.h. du benutzt keine konkreten Zahlen sondern Variablen. Für die Steigung der Tangente an einer Stelle x benötigst du die erste Ableitung f'(x). Zu der Hyperbel f(x) kannst du die zwei Asymptotengleichungen $\begin{eqnarray} g_1(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g_2(x) \end{eqnarray}$ aufstellen. Jetzt nimmst du dir eine beliebige Stelle $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ und berechnest die Tangente an die Hyperbel in x_0. Dann kannst du die Schnittstellen der Tangente mit den Hypotenusen ausrechnen. Jetzt hast du drei Punkte, daher ein Dreieck. Berechne den Flächeninhalt dieses Dreieckes. Hoffe ich hab die Aufgabe richtig verstanden. Du hast z.B. auch M nicht erklärt für uns. Am besten ist zu Anfang immer eine Skizze.
09.04.2005, 17:25	etzwane	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie würde denn ein Beweis für die Hyperbel y=1/x aussehen? Es sei $\begin{eqnarray} y=\frac{1}{x} \end{eqnarray}$ mit x-Achse und y-Achse als Asymptote. Die Steigung der Tangente in einem beliebigen Punkt $\begin{eqnarray} P(x_0;y_0)\text{ mit } x_0\cdot y_0=1 \end{eqnarray}$ wäre dann $\begin{eqnarray} m=f'(x_0)=-\frac{1}{x_0^2} \end{eqnarray}$ , so dass man für die Gleichung der Tangente erhält: $\begin{eqnarray} y-y_0=m(x-x_0) \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} y=y_0-\frac{1}{x_0^2}(x-x_0) \end{eqnarray}$ Die Schnittpunkte der Tangente mit den Asymptoten erhält man in diesem Beispiel ganz einfach mit $\begin{eqnarray} u_1 = y_0+\frac{1}{x_0}= y_0+y_0=2y_0 \text{ für } x=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u_2 = x_0^2\cdot y_0+x_0 = x_0(x_0y_0)+x_0=x_0\cdot 1 + x_0=2x_0\text{ für } y=0 \end{eqnarray}$ Damit erhält man für den Flächeninhalt des Dreiecks $\begin{eqnarray} 0U_1U_2 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} A=\frac{1}{2}u_1u_2=\frac{1}{2}\cdot 2y_0\cdot 2x_0=2\cdot(x_0y_0)=2 \cdot 1 =2 \end{eqnarray}$ , einen konstanten Wert. Nun kann man die Hyperbel y=1/x beliebig verschieben und drehen (sogar stauchen und dehnen, wie man leicht zeigt), die Fläche zwischen Tangente und Asymptoten bleibt immer gleich. Jetzt wäre noch der Fall mit nicht rechtwinkligen Asymptoten zu beweisen.
26.06.2014, 20:29	1357	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn du eine hyp in erster hauptlage nimmst. kannst du dir die schnittpunkte der tangente mit den asymptoten ausrechen. der mittelpunkt ist der nullpunkt. deswegen gilt für den flächeninhalt die formel: $\begin{eqnarray} A= 1/2 \sqrt{\vec{U1}²\vec{U2}²-(\vec{U1}\vec{U2})²}=1/2 \|(x-Koordinate von \vec{U1}) (y-Koordinate von \vec{U2}) - (y-Koordinate von \vec{U1}) * (x-Koordinate von \vec{U1})\| \end{eqnarray}$ jetzt muss man noch über die hyperbelformel die abhängigkeit von x und y bestimmen, die noch in der glelichung drinenn sind. die hyperbelgleichung nach x umgeformt und eingesetzt. dann kürzt sich auch das y raus und über bleibt ab.
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