Matrizen

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kathrin111 Auf diesen Beitrag antworten »
Matrizen
Hallo Wink

ich habe ein Problem mit der folgenden Aufgabe:

Sei K ein Körper. Sei definiert durch für alle

Ich soll folgende Behauptungen beweisen oder widerlegen:

1. DIe Abbildung f ist surketiv
2. Die Abbildung f ist nicht injektiv
3. Für alle gilt f(AB)=f(A)f(B)
4. Für alle gilt f(A+B)=f(A)+f(B)
5. Für alle gilt f(aA) = af(A)

ich grübele schon seit Tagen rum, aber bin nicht weit gekommen unglücklich ich habe gerade mal die erste Behauptung bewiesen, wenn überhaupt richtig.
und zwar bin ich da folgendermaßen vorgegangen:

Sei x ein Element von K, dann gilt:



daraus folgt: x+0=x

Hieraus wiederum folgt, dass f surjektiv ist.
ist das überhaupt richtig?

Bei der 2. Aufgabe habe ich mir gedacht, dass wenn die FUnktion injektiv ist, muss für a+d ja nur genau eine mögliche Kombination vorhanden sein. Da ich beweisen muss, dass a+b nicht injektiv ist, muss ich zeigen/beweisen, dass für a+d mehr als eine mögliche Kombination vorhanden ist. Oder ? Nur weiß ich nicht wie ich das darstellen muss.

bei den Aufgaben von 3-5 habe ich das problem, dass ich nicht weiterkomme, weil mich das f(Matrix) verwirrt! Kann ich das nicht einfach so beweisen:

*

anschließend würde ich das ausmultiplizieren und zeigen, dass sowohl A*B als auch B*A dasselbe ergebnis liefern?

ich bin dankbar für jede Antwort

liebe grüße
kathrin

therisen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen
Zitat:
Original von kathrin111
Sei x ein Element von K, dann gilt:



daraus folgt: x+0=x


Es gilt . Das zeigt die Surjektivität.

Welchen Wert hat denn . Was sagt das über Injektivität aus?


Gruß, therisen
Egon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen
Für 3. könntest du folgendes machen:

und

Dann ist

[EDIT: Hatte mich vertippt. Sorry. Matrix jetzt korrekt.]

Nun rechnest du f(AB) und f(A)*f(B) aus und schaust, was rauskommt.

Dasselbe machst du für 4. und 5.
kathrin111 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen
Zitat:
Original von therisen
Welchen Wert hat denn . Was sagt das über Injektivität aus?


auch x, oder nicht? verwirrt da ist doch wieder x+0=x verwirrt verwirrt verwirrt
kathrin111 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen
Zitat:
Original von Egon
Für 3. könntest du folgendes machen:



Nun rechnest du f(AB) und f(A)*f(B) aus und schaust, was rauskommt.



da merke ich gerade, dass ich wahrscheinlich f(AB) ganz missverstanden habe! wie rechnet man das denn überhaupt aus? verwirrt tut mir leid, wenn das eine blöde frage ist, aber irgendwie stehe ich völlig auf dem schlauch. es wäre auch ausreichend, wenn ich das allgemein erklärt bekommen würde. danke im voraus
kathrin111 Auf diesen Beitrag antworten »

edit: ich meinte nicht f(AB), sondern allgemein f(matrix)
 
 
therisen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen
Zitat:
Original von kathrin111
Zitat:
Original von therisen
Welchen Wert hat denn . Was sagt das über Injektivität aus?


auch x, oder nicht? verwirrt da ist doch wieder x+0=x verwirrt verwirrt verwirrt


Ja, genau. Jetzt beantworte meine zweite Frage. Die Abbildungsvorschrift von f hast du doch schon hingeschrieben. Das ist einfach die Spur der Matrix.
kathrin111 Auf diesen Beitrag antworten »

bei der injektivität komme ich einfach nicht weiter unglücklich
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Funktion ist injektiv wenn jedes Bild genau ein Urbild hat. Jetzt schau dir noch mal ganz genau an was therisen hier schreibt :


Zitat:
Es gilt . Das zeigt die Surjektivität.

Welchen Wert hat denn . Was sagt das über Injektivität aus?


Das ist hier schon die Lösung, wenn Du diesen Ansatz nicht verstehst schau Dir noch mal ganz genau an was injektiv eigentlich bedeutet und was man da zeigen muss.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann die Injektivität auch "leichter" haben. Wenn du Punkt (4) gezeigt hast, weißt du, dass f eine lineare Abbildung ist. Und eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn der Kern der Abbildung aus dem Nullvektor besteht. Du musst also nur den Kern ausrechnen.

Ohne den Kern kannst du auch z.B. ganz elementar so argumentieren: a + d = (a + 1) + (d - 1). Augenzwinkern
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Man kann die Injektivität auch "leichter" haben. (...)


"Leichter" ist da aber sehr subjektiv Augenzwinkern
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, stimmt. Die Formulierung war eigentlich Blödsinn. Wollte das aber doch nochmal bemerkt haben. Augenzwinkern
kathrin111 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo nochmal,

also ich wollte jetzt mal den tipp von webfritzi verfolgen. deshalb habe ich mal versucht punkt 4 zu beweisen. ich bin mir aber nicht sicher, ob das so richtig ist. und zwar, seien

und

dann gilt

+ =

daraus folgt:

a+d+a+d=a+a+d+d
2a+2d=2a+2d


stimmt das so?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kathrin111
und zwar, seien

und


Das sind aber keine zwei beliebigen Matrizen Augenzwinkern
kathrin111 Auf diesen Beitrag antworten »

muss ich dann a11 a12 etc. nehmen anstatt von a b etc.?
kathrin111 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen
Zitat:

Welchen Wert hat denn . Was sagt das über Injektivität aus?



ok, da das alles nicht funktioniert, komme ich wieder hierzu, vielleicht kannst du mir ja erklären, was das über die Injektivität aussagt?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst auch für B einfach die Einträge e, f, g, h nehmen Augenzwinkern

EDIT: Wenn es zwei verschiedene Elemente der Urbildmenge gibt, die das gleiche Bild haben, so ist die Funktion nicht injektiv.
kathrin111 Auf diesen Beitrag antworten »

da lese ich gerade folgendes:

Um zu beweisen, dass f nicht injektiv ist, reicht es aus zwei verschiedene elemente m und m' in M anzugeben, für die f(m)=f(m') ist.

nehmen wir mal die elemente 1 und 0:


=

ist das jetzt bewiesen, dass die Matrix nicht injektiv ist?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kathrin111
=


Die Matrizen sind nicht identisch, auch nicht ihre Spur. Das zeigt gar nichts.
kathrin111 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von therisen


EDIT: Wenn es zwei verschiedene Elemente der Urbildmenge gibt, die das gleiche Bild haben, so ist die Funktion nicht injektiv.


genau in meinem obigem beispiel, ist das doch so oder?
kathrin111 Auf diesen Beitrag antworten »

böse Forum Kloppe unglücklich ich bin ein hoffnungsloser fall
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm doch mal die zwei Matrizen und .
kathrin111 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von therisen
Nimm doch mal die zwei Matrizen und .


bei der ersten matrix gilt dann: 1+0=1 und bei der zweiten 0+1=1, also haben die beiden unterschiedlichen elemente das selbe bild?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, also ist f nicht injektiv.
kathrin111 Auf diesen Beitrag antworten »

LOL Hammer super danke! Hammer jetzt ist mir das ganze auch mit der injektivität klar Tanzen Freude danke
kathrin111 Auf diesen Beitrag antworten »

noch mal zu den aufgaben 3. 4. und 5.

es seien:




dann gilt für:








daraus folgt für


(hier muss aber irgendetwas falsch sein?)


(das müsste richtig sein?)


(das müsste auch richtig sein?)
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Ausführungen stimmen. Aussage 3 ist falsch, ich vermute es soll lauten.
kathrin111 Auf diesen Beitrag antworten »

also, ist die 3. behauptung, die einzige aussage, die wiederlegt wird. der rest stimmt. super, danke für eure hilfen. ohne diese hätte ich es nicht geschafft
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau. "Beweisen oder widerlegen" hatte ich überlesen. Aussage 3 ist also widerlegt Augenzwinkern
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