Newtonverfahren

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FuzzleOIL Auf diesen Beitrag antworten »
Newtonverfahren
Moin
Ich hab ein Problem mit folgender Aufgabe:

Bestimme die Lösung der Gleichung auf zwei Nachkommastellen genau.
sin x = 0,5x

Da man das mit dem Newtonverfahren lösen soll (gehe ich zumidnest davon aus, weil es zu dem Thema gehört), habe ich es so umgeformt,
f(x) = 0,5x - sin x
f'(x)= 0,5 - cos x
damit ich von dieser Funktion die Nullstelle bestimmen kann.

Das die (eine?) Lösung 0 ist, ist mir zwar klar, aber wenn ich das mit
x = x1 - f(x1)/f'(x1) lösen möchte, und mit x1 = 1 anfange, komme ich irgendwie nicht auf die Lösung.


........x..........# .......f(x)........# .....f'(x)..........# f(x) / f'(x)
########################################
1..................# 0,482547593 # -0,499847695 # -0,965389253
1,965389253 # 0,94839884 . # -0,499411726 # -1.899031981
3,864421234 # 1,864810421 # -0,497726321 # -3,746658233
...
Irgendwie entfernt man sich immer mehr vom Nullpunkt..?

Ich weiß zwar nicht, ob ich das Verfahren überhaupt richtig anwende, die Aufgabe ist nämlich nicht für mich und ich hatte das Newtonverfahren nie in der Schule, aber bei anderen Aufgaben hat es so funktioniert.

Wäre nett, wenn mir jemand dabei helfen könnte.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Newtonverfahren
Hi!

Das, was dir passiert ist, ist kein Einzelfall und ein Nachteil des Newton-Verfahrens. Du bist mit dem Startwert x0 = 1 schon zu weit von der "richtigen" Nullstelle gewesen, sodass die Schnittpunkte der Tangenten mit der x-Achse immer weiter hinauswandern. Das Verfahren konvergiert in diesem Falle nicht (es gibt dafür eine eigene Konvergenzbedingung).

Ausserdem ist der Graph der Funktion x/2 - sin(x) eine auf- und absteigende Wellenlinie (periodische Funktion), mit jeder Menge von Nullstellen, Extremwerten und Wendepunkten.
Es muss somit das Intervall, in dem die Nullstelle liegen soll, präzisiert werden.

Ein Extrempunkt in der Nähe des Startwertes oder ein Wendepunkt nahe der Nullstelle kann das Verfahren unbrauchbar machen.

Es ist also anzuraten, vorher eine "kleine" Kurvendiskussion durchzuführen und sei es nur durch eine Wertetabelle.

Tipp: Zwischen jenen zwei x Werten, bei denen bei den f(x) - Werten ein Vorzeichenwechsel stattfindet, liegt in aller Regel eine Nullstelle (Zwischenwertsatz bei stetigen Funktionen).

Wertetabelle
---------------------------------
....
x = 0,5 -> f(x) = 0,02
x = 0,6 -> f(x) = -0,06
.....

also liegt eine Nullstelle zwischen 0,5 und 0,6

Nimm als Startwert also 0,5, weil dieser (wegen des kleineren f(x)-Wertes) näher bei der Nullstelle liegen muss und du wirst schnell fündig!

Zwei Nullstellen im Bereich [0, 2pi] sind

0,5236
2,618


Gr
mYthos
FuzzleOIL Auf diesen Beitrag antworten »
Danke / Komm überhaupt nicht damit zurecht
Tach

Erstmal Danke für die Hilfe.
Ich verstehe allerdings nicht so ganz, wie du auf f(0,5) = 0,02 und die Nullstellen kommst.

Ich erhalte f(0,5) = 0,2413
Oder muss ich auf RAD [GRAD] umstellen?
Aber auch dann bekomme ich
RAD: f(0,5) = -0,2294
GRAD: f(0,5) = 0,4921

Oder muss ich das ganz anders machen?


Zusatzfrage:
Ich will einen Extrempunkt berechnen:
f'(x) =0,5 - cos(x)

0 = 0,5 - cos(x) <=> cos(x) = 0,5 <=> x = 60

f''(x) = sin(x)
f''(60) = 0,866 > 0, sollte also doch ein Tiefpunkt sein, oder?
Laut einem Programm, mit dem ich mir den Graphen gezeichnet habe, kommt aber nur ein Tiefpunkt bei x = 57,6 und ein Hochpunkt bei 61,8 heraus.

Als Nullstellen wird mir auch nur -1,9; 0 und 1,9 ausgerechnet.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Danke / Komm überhaupt nicht damit zurecht
Hi!

Erstens: Es ist auf jeden Fall NUR das Bogenmaß zu verwenden!
Andernfalls hat die Gleichung

f(x) = 0,5*x - sin(x) = 0

gar keinen Sinn!

Zweitens:
Bei den Funktionswerten ist mir ein Angabefehler unterlaufen, sorry, ich berechnete 0,5 - sin(x)!

Aber der Weg bleibt doch gleich.

f(0,5) = 0,25 - 0,4794255386 = -0,2294, ja!

....
f(1,8) = -0,073847631
f(1,9) = 0,0036999123
....

Eine Nullstelle liegt daher zwischen 1,8 und 1,9, die andere ist wegen der Symmetrie genau negativ.

Beim Newton-Verfahren kannst du als Startwert x0 = 1,9 wählen (weil näher bei der Nullstelle), und du erhältstl

x_.. = 1,89549..

Damit du siehst, wie schön und einfach man dies sozusagen mit mit "Bordmitteln" machen kann, biete ich ein Excel-Sheet mit dieser Berechnung auf

Nullstellen

an. Der Sinn dieser Sache ist, zu erkennen, dass man einiges selbst machen kann und nicht immer die Anfangsbedingungen ohne viel nachzudenken in ein CAS einsetzen muss.

Zum Extrempunkt:

Auch hier nochmals dringend: Nur Bogenmaß verwenden!

f(x) = 0,5*x - sin(x) = 0
f '(x) = 0,5 - cos(x) = 0
cos(x) = 0,5
x = pi/3 = 1,0472

das entspricht zwar 60° im Gradmaß, aber bedenke, dass du beim Erstellen des Graphen auf der x-Achse nur 1,0472 E auftragen kannst und nicht etwa 60!

Gr
mYthos

Hier das Bild für den Fall, wenn das XLS nicht heruntergeladen werden soll. Enjoy!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Danke / Komm überhaupt nicht damit zurecht
Hi,

noch eine kurze Bemerkung!

Wenn du das mit deinem kleinen Programm «Funktion» bearbeiten willst, soll es - richtig - ungefähr so aussehen, wie auf dem Bild zu sehen ...

Gr
mYthos
FuzzleOIL Auf diesen Beitrag antworten »

Danke sehr. Kann das Excel-Ding zwar nicht benutzen, weil ich kein Excel hab, aber ansonsten hast du mir alle meine Fragen beantwortet, Danke. :] [Ich hoffe mal, dass der hier dazu passt.]
 
 
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