Unterringe, die keine Ideale sind

08.10.2007, 21:05

Tocotron

Unterringe, die keine Ideale sind

Hallo, ich bins schon wieder. Leider treten bei der Vorbereitung zur Algebra Klausur doch immer wieder Fragen auf.

Zitat:

Gibt es einen Unterring von $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z} , +, \cdot ) \end{eqnarray*}$ , der kein Ideal ist?

Ich weiß, dass S ein Unterring von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist, wenn S nichtleere Teilmenge von Z ist und für alle $\begin{eqnarray*} a,b \in S : x-y \in S, x\cdot y \in S \end{eqnarray*}$ .

Ein Unterring wird zum Ideal, wenn es außerdem die Null enthält.

Leider finde ich keinen solchen Unterring, der kein Ideal ist.
Die geraden Zahlen $\begin{eqnarray*} 2k, k \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ bilden einen Unterring. Doch für x=y erhalt ich bei x-y=0. Das würde heißen die Null (per Def eine gerade Zahl?) ist ebenfalls im Ring S enthalten. Also wäre S ein Ideal.

Die ungeraden Zahlen bilden im Gegensatz keinen Unterring, da zwei ungerade Zahlen subtrahiert, eine gerade Zahl bildet.

Gibt es denn solch einen Unterring?

Zitat:

Und das eine Frage nicht genug ist, sollt ich das gleiche auch für Unterringe des Polynomrings $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}[X], +, \cdot ) \end{eqnarray*}$ untersuchen.

08.10.2007, 21:27

therisen

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RE: Unterringe, die keine Ideale sind

Zitat:

Original von Tocotron

Zitat:

Gibt es einen Unterring von $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z} , +, \cdot ) \end{eqnarray*}$ , der kein Ideal ist?

Nein. Welche Form hat denn eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ?

08.10.2007, 21:44

Tocotron

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Also die von $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}, +) \end{eqnarray*}$ trivialen Untergruppen sind $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}, +) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (0, +) \end{eqnarray*}$ . Weitere fallen mir nicht ein. Kanns aber auch nicht wirklich verneinen, dass es keine weiteren gibt.

08.10.2007, 21:49

therisen

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Wie wäre es z.B. mit $\begin{eqnarray*} m\mathbb Z \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} m\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ? Darauf will ich aber eigentlich nicht hinaus, sondern: Jede Untergruppe $\begin{eqnarray*} U\leq\mathbb Z \end{eqnarray*}$ hat die Gestalt $\begin{eqnarray*} m\mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit einem geeigneten $\begin{eqnarray*} m\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Das solltest du wissen.

08.10.2007, 22:21

Tocotron

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Na nun schhäm ich mich ein wenig, steht auf meinem Notizblock, eigentlich gut eingerahmt...
Aber gut, dass heißt wenn jede Untergruppe die Form $\begin{eqnarray*} m\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ hat, enthält jede Untergruppe auch die Null. Daher enthalten alle Unterringe von $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}, +, \cdot) \end{eqnarray*}$ die Null und sind somit Ideale dieses Ringes.

Gibt es weitere Gruppen, deren Untergruppen ebenfalls alle die gleiche Form haben?

Leider hilft mir dies noch nicht so recht mit dem Polynomring weiter. Ich versuchs einfach weiter...Such ich jetzt erstmal nach Polynomen die keine Nullstellen besitzen? Bsp: $\begin{eqnarray*} x²+1 \end{eqnarray*}$

08.10.2007, 22:27

therisen

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Zitat:

Original von Tocotron
Gibt es weitere Gruppen, deren Untergruppen ebenfalls alle die gleiche Form haben?

Jede zyklische Gruppe. Ansonsten fällt mir gerade nichts anderes ein.

Zu der anderen Frage: $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist Unterring von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[X] \end{eqnarray*}$ . Ist er auch ein Ideal?

08.10.2007, 23:13

Tocotron

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Na wahrscheinlich zielt, die Frage darauf hinaus, dass ich erkenne, das \mathbb{Z} kein Ideal ist.

Was ist denn das Nullelement von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ ?
hat $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ die Form $\begin{eqnarray*} a_n x^n +...+ a_0 x^0 \end{eqnarray*}$ , dann müsste dass Nullelement durch $\begin{eqnarray*} \forall i \in [0,1,...n]: a_i=0 \end{eqnarray*}$ beschrieben werden können?

Ob dies in Z liegt, mensch also hier hörts bei mir im Moment echt auf...

08.10.2007, 23:21

therisen

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Also du hast wirklich große Verständnisschwierigkeiten. Eine Forderung, die man bei der Konstruktion des Polynomrings stellt ist doch die, dass er den ihm zu Grunde liegenden Ring als Unterring enthält (ganz korrekt ist das nicht ausgedrückt, denn man identifiziert R mit dem Bild seiner Einbettung in R[X]). Kurz: $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist ein Unterring von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[X] \end{eqnarray*}$ , d.h. die Null in Z ist die Null in Z[X].

Gruß, therisen

09.10.2007, 19:50

Tocotron

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Leider sehr gut erkannt, hab bisher aber auch noch nichts über die Konstruktion eines Polynomrings in meinem Hefter gefunden...Auch die Boardsuche war bisher ergenislos. Evtl. ein Tipp in welchem Onlineskript, ich mir das nochmal genauer anschauen kann.

Nochmal zu deiner Antwort: $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist ein Unterring von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ , d.h. die Null in Z ist die Null in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ ---> hmm, da die Frage lautet welcher Unterring ist kein Ideal, sollt ich ja eigentlich nach einen Unterring suchen, der kein Ideal ist.

Bei beiden Aufgaben gibt es also keinen Unterring, der nicht zugleich Ideal ist?! Für ein Gegenbeispiel wäre ich sehr dankbar

09.10.2007, 20:07

therisen

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Zitat:

Original von Tocotron
Leider sehr gut erkannt, hab bisher aber auch noch nichts über die Konstruktion eines Polynomrings in meinem Hefter gefunden...Auch die Boardsuche war bisher ergenislos. Evtl. ein Tipp in welchem Onlineskript, ich mir das nochmal genauer anschauen kann.

Eine sehr gute und präzise Erklärung findest du im Bosch (das Standardbuch für Algebra). Unter den Versionen, die Online sind, macht dieses Skript einen ganz guten Eindruck.

Zitat:

Original von Tocotron
Nochmal zu deiner Antwort: $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist ein Unterring von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ , d.h. die Null in Z ist die Null in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ ---> hmm, da die Frage lautet welcher Unterring ist kein Ideal, sollt ich ja eigentlich nach einen Unterring suchen, der kein Ideal ist.

Wieso bist du dir denn so sicher, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ein Ideal in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[X] \end{eqnarray*}$ ist?

Zitat:

Original von Tocotron
Bei beiden Aufgaben gibt es also keinen Unterring, der nicht zugleich Ideal ist?! Für ein Gegenbeispiel wäre ich sehr dankbar

Wer hat das gesagt?

09.10.2007, 20:48

Tocotron

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Na eine Unterring wird zum Ideal, wenn es auch die Null des Ringes enthält.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist ein Unterring von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[X] \end{eqnarray*}$ , d.h. die Null in Z ist die Null in Z[X].

Diese Null muss aber nicht gleichbedeutend mit dem Nullelement von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ sein?
In dem Online-Skript hab ich gefunden, dass als Nullelement von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ die Funktion f angesehen wird, die jedes Element x auf die Null abbildet.
Wie sieht so eine Funkion aus, einfach die Null als namenhafte null schreiben? f(x) := |x|-|x|, f(x) := 0*x, f(x)=0 ?! Tue mich mit diesen Polynomringen wirklich sehr schwer.

Oder ist alles mal wieder viel einfach als gedacht, und man kann sagen das $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ lediglich Zahlen, aber keine Funktionen beinhaltet? Kommt mir aber selbst auch etwas spanisch vor...

09.10.2007, 21:03

therisen

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Zitat:

Original von Tocotron
Na eine Unterring wird zum Ideal, wenn es auch die Null des Ringes enthält.

Das ist Quatsch. Jeder Unterring muss die 0 der abelschen Gruppe enthalten, da der Unterring an sich bezgl. der Addition selbst eine (Unter-)Gruppe ist.

Zitat:

Original von Tocotron

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist ein Unterring von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[X] \end{eqnarray*}$ , d.h. die Null in Z ist die Null in Z[X].

Diese Null muss aber nicht gleichbedeutend mit dem Nullelement von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ sein?

Doch, eigentlich schon. Man identifiziert ja $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit dem Bild des (Ring-)Monomorphismus $\begin{eqnarray*} \mathbb Z\ni z\mapsto zX^0\in\mathbb Z[X] \end{eqnarray*}$ . Wie sieht's denn mit Punkt 3 aus? Ist z.B. $\begin{eqnarray*} X\cdot 1\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von Tocotron
In dem Online-Skript hab ich gefunden, dass als Nullelement von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ die Funktion f angesehen wird, die jedes Element x auf die Null abbildet.
Wie sieht so eine Funkion aus, einfach die Null als namenhafte null schreiben? f(x) := |x|-|x|, f(x) := 0*x, f(x)=0 ?! Tue mich mit diesen Polynomringen wirklich sehr schwer.

Ein Polynom ist ja formal gesehen ein Element von $\begin{eqnarray*} R^{(\mathbb N)} \end{eqnarray*}$ . Das Nullpolynom ist somit also die Nullfolge, d.h. $\begin{eqnarray*} (0,0,\dots) \end{eqnarray*}$ (unendlich viele Nullen).

Gruß, therisen

09.10.2007, 22:25

Tocotron

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Okay, hatte schon im ersten Post dieses Thread die Dummheit verkündet: U ein UNterring ist Ideal, wenn er außerdem das Nullelement enthält. Alles quatsch,

Unterring U eines Ringes R wird zum Ideal, wenn es $\begin{eqnarray*} \forall u \in U, \forall r \in \mathbb{R}[X]: u*r \in U \end{eqnarray*}$
Sei u=1 und r=[x], ist $\begin{eqnarray*} u\cdot r \in U \end{eqnarray*}$ ? Nein, denn [X] ist nicht Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .
Kann ich X als eine unbestimmte Variable verstehen, die sowohl ganzzahlige, als auch rationale, bzw irrationale Argumente annehmen kann?

Habe [X] bisher nicht beschrieben gefunden...

09.10.2007, 22:42

therisen

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Zitat:

Original von Tocotron
Sei u=1 und r=[x], ist $\begin{eqnarray*} u\cdot r \in U \end{eqnarray*}$ ? Nein, denn [X] ist nicht Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Und was ist U? Was soll diese komische Schreibweise [X]? Warum sprichst du von reellen Zahlen?

Zitat:

Original von Tocotron
Kann ich X als eine unbestimmte Variable verstehen, die sowohl ganzzahlige, als auch rationale, bzw irrationale Argumente annehmen kann?

Salopp gesagt: X ist irgendein Ding/Platzhalter (Monom). Für X kann man viele tolle Sachen einsetzen, z.B. Endomorphismen eines Vektorraums (Stichwort Minimalpolynom). Dieser Vorgang lässt sich formalisieren und man erhält den sog. Auswertungs-/Einsetzungshomomorphismus.
Übrigens kann man den Polynomring auch wie folgt definieren: http://www.mathematik.uni-tuebingen.de/a...Vo/navo112.html
Allerdings erspart das einem nicht den Existenznachweis. Klar ist nur, dass ein solcher Ring bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist (durch seine universelle Eigenschaft).

Gruß, therisen

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