Matrizen

10.10.2007, 15:03

abetterway

Matrizen

Ich habe zwei Aufgaben bekommen über der ich schon seit zwei tagen sitz und ich komm einfach nicht auf die Richtige Lösung bzw. komm einfach nicht weiter.
Bitte um Hilfe!

1.) Man bestimme den Rang der folgenden Matrizen:

A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 &1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

B= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 3 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier hab ich das Problem wenn ich bei A, dier erste Zeile mal -1 mach und zur zweiten dazuzähle, geht das ja noch gut, aber wenn ich dann die dritte Zeile auf null bringen will, schaff ich es einfach nicht mehr. Kann das sein das ich da zeilen vertauschen muss.

Wie erkenn ich eigentlich genau einen Rang?

2.) Man ermittle die allgemeine Lösung des Gleichungssystemes.

x1 + x2 + x3 = 0
x1 + 2x2 - x3 + x4 = 0
x1 - x2 + 6x3 = 0
x1 + 3x3 = 0

3.) Besitzt das folgende Gleichungssystem eine nichttriviale Lösung?

x + 2y + 3z = 0
2y + 2z = 0
x + 2y + 3z = 0

Da ist erst einmal meine Frage: Was ist eine nichttriviale Lösung?
Wenn ich das Gleichungssystem Löse kommt für x, y und z Null heraus.

Wäre super wenn mir da jemand helfen könnte!
Danke schon im Vorraus.
Liebe Grüße
sabine

[ModEdit: Bitte keine Hilferufe im Titel! mY+]

10.10.2007, 15:05

therisen

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RE: Matrizen_Bitte um Hilfe

Zitat:

Original von abetterway
Wie erkenn ich eigentlich genau einen Rang?

Indem du die Matrix auf Zeilenstufenform bringst. Der Algorithmus sollte eigentlich klar sein.

Zitat:

Original von abetterway
Da ist erst einmal meine Frage: Was ist eine nichttriviale Lösung?
Wenn ich das Gleichungssystem Löse kommt für x, y und z Null heraus.

Eine nichttriviale Lösung heißt, dass $\begin{eqnarray*} (x,y,z)\neq(0,0,0) \end{eqnarray*}$ .

10.10.2007, 15:10

Mazze

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Zitat:

Kann das sein das ich da zeilen vertauschen muss.

Müssen muss man es nie (ausser es entstehen Nullen wo sie nicht sien sollten), manchmal erleichtert es Dir jedoch einiges. Mann kann auch ohne tauschen auf die Treppennormalform kommen.

Zitat:

Wie erkenn ich eigentlich genau einen Rang?

Wie ist denn der Rang definiert?

Zitat:

Hier hab ich das Problem wenn ich bei A, dier erste Zeile mal -1 mach und zur zweiten dazuzähle, geht das ja noch gut, aber wenn ich dann die dritte Zeile auf null bringen will, schaff ich es einfach nicht mehr.

Bringe zunächst die erste Spalte (!) auf 0 (bis auf die erste Zeile natürlich.
Bringe dann die zweite Spalte auf Null (bis auf die ersten beiden zeilen natürlich)

usw. als Beispeil für deine Matrix a, nach den ersten Umformungen hättest Du dann

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 &1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 &1 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

in diesem Fall sollte man die Zeilen 2 und 4 tauschen da eine Null entstanden ist wo wir sie nicht wollen Augenzwinkern

Dann gehts weiter im Text.

Zitat:

Da ist erst einmal meine Frage: Was ist eine nichttriviale Lösung?

Hat sich erledigt . Da Du es jetzt weisst kannst Du dich ja auch dazu

Zitat:

Wenn ich das Gleichungssystem Löse kommt für x, y und z Null heraus.

äußern.

10.10.2007, 21:46

abetterway

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Dankeschön! Ihr habt ma wirklich weitergeholfen. =)

Freude

11.10.2007, 12:56

abetterway

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So jetzt ich noch eine Frage. Wenn ich bei einem Gleichungssystem die allgemeine Lösung angeben soll, und der rang = n, dann is k ja null.
D.h die Matrix hat dem Maximalen Rang. Heißt das dann acuh das alle varialblen null sind und das das somit eine triviale Lösung ist oder muss ich da was besonderes hinschreiben?

lg sabine

11.10.2007, 12:58

therisen

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Zitat:

Original von abetterway
D.h die Matrix hat dem Maximalen Rang. Heißt das dann acuh das alle varialblen null sind und das das somit eine triviale Lösung ist oder muss ich da was besonderes hinschreiben?

Nein, das hast du richtig erkannt. Kannst du es auch begründen/beweisen?

11.10.2007, 13:01

kiste

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Ich formuliere die Frage mal so um das sie eindeutig wird, ich hoffe du hast es so gemeint:
Frage: Wenn ich ein quadratisches lineares homogenes(d.h. die rechte Seite ist 0) Gleichungssystem habe und die zugehörige Matrix vollen Rang hat, existiert dann nur die triviale Lösung?

Antwort: Ja Big Laugh

, bei der Begründung kannst du ja hinschreiben: "Es existiert nur die triviale Lösung da die Koeffizientenmatrix vollen Rang hat".

Meinst du aber beliebige quadratische Gleichungssysteme mit vollem Rang, so existiert zwar nur eine Lösung aber die ist im allgemeinen nicht trivial.

11.10.2007, 13:08

abetterway

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Jetzt klingt die Frage schon besser. SO hab ich es auch gemeint.

Das Beispiel lautet (nur zum Verständnis):
x1 + x2 + x3 = 0
x1 + 2x2 - x3 + x4 = 0
x1 - x2 + 6x3 = 0
x1 + 3x3 = 0

und wenn ich das ausrechne bekomm ich raus das der rang 4 is und der is gleich der unbekannten. Also is es eine Triviale Lösung weil die unbekannten ja null sind!

11.10.2007, 13:20

kiste

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Ja an dem Beispiel passt es. Kannst du therisens Frage noch beantworten? Warum funktioniert das eigentlich und was machst du bei der Rangbetrachtung?

11.10.2007, 14:28

abetterway

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Bei der Rangbetrachtung schau ich wieviele Zahlen an den Stufenkanten stehen und dann hab ich meinen Rang. zB. wenn ich vier zahlen habe die an den Stufenkanten stehen ist mein rang auch 4.

So hab ich das verstanden.

Ich hab gerade eine Matrix gerechnet wo am die Inverse ausrechen soll - wenn es eine gibt.
Bsp:

B= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & -2 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann rechne ich mit detB aus das ergibt dann 5 und das is ungleich 0. Also gibt es eine Inverse. Nur dann rechne ich das aus. und bekomm für

$\begin{eqnarray*} b1=\frac{1}{5}* \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & -2 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
raus (unter Beachtung des Vorzeichenwechsels - Schachbrettmuster)

und zum Schluss kommt dann das raus:
$\begin{eqnarray*} b1=\frac{1}{5}* \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & -2 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und bei der Probe dann komm ich nicht auf die Einheitsmatrix.

11.10.2007, 17:50

DerHochpunkt

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Ich erhalte Rg(A) = 4... kann das jemand bestätigen?

11.10.2007, 17:53

therisen

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Zitat:

Original von DerHochpunkt
Ich erhalte Rg(A) = 3... kann das jemand bestätigen?

Wenn du

Zitat:

Original von abetterway
A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 &1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

meinst: Es ist $\begin{eqnarray*} \mathrm{rg} A=4 \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

11.10.2007, 18:06

DerHochpunkt

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Ja, meine ich. Danke.

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