Flächeninhalt von Viereck berechnen

Neue Frage »

Yoshee Auf diesen Beitrag antworten »
Flächeninhalt von Viereck berechnen
Hallo, ich habe folgende Aufgabe zu lösen:
Berechne den Flächeninhalt von ABCD.Die punkte sind gegeben.
Als Hinweis steht da, ich solle Strecke BD berechnen und dann die Abstände der Punkte A und C von BD berechnen. Ich frage mich, ob es nicht viel einfacher ist, wenn ich einfach die Diagonalen berechne, und deren Schnttwinkel. Vielleicht berechne ich den Abstannd aber auch einfach zu kompliziert? welchen Weg haltet ihr für besser?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächeninhalt von Viereck berechnen
Vorgeschlagener Lösungsweg:

Ein Viereck -> 2 Dreiecke -> Flächeninhaltsformel jeweils: [latex]0.5\cdot h \cdot g[/latex]

Das ist imho auch ein guter Ansatz. [BD] ist bereits eine Diagonale ( die Du ja mit deinem Weg auch berechnen würdest). Wenn Du die Geradengleichung zu BD in Normalform angibst, kannst Du doch auch leicht die Abstände (Höhen) der Punkte A und D berechnen.

Gib doch mal die Punkte an. Dann können wir das konkret ausrechnen.

LG,
tigerbine Wink
 
 
Yoshee Auf diesen Beitrag antworten »

[latex]A(4/2/4); B(4/4/1); C(0/4/2); D(0/3/4)[/latex]
[latex]\vec{BD}=\begin{pmatrix} -4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} [/latex]
Gerade aus BD machen:
[latex]g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} -4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} ;r\in \mathbb R [/latex]
allgemeine Formel für Abstand Punkt zu Gerade:
[latex]d_A=\sqrt{\mid\vec{PA}\mid^2-\mid\vec{PF}\mid^2} [/latex]
[latex]\vec{PA}=\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} [/latex]
[latex]d_A=\sqrt{13-(\frac{11}{\sqrt{26} })^2}[/latex]
[latex]d_A=\sqrt{\frac{106}{13}}LE[/latex]
[latex]A_A=\frac{\sqrt{106}\sqrt{26}}{2\sqrt{13}} =\sqrt{ \frac{106}{2}} FE[/latex]

Das ganze nochmal für C:

[latex]d_C=\sqrt{17-(\frac{11}{\sqrt{26}})^2}[/latex]
[latex]d_C=\sqrt{\frac{221}{13}}LE[/latex]
[latex]A_C=\frac{\sqrt{221}\sqrt{26}}{2\sqrt{13}} =\sqrt{\frac{221}{2}}FE[/latex]

Geasmtfläche:
[latex]A=A_A+A_C=\sqrt{ \frac{106}{2}}+\sqrt{\frac{221}{2}}=\sqrt{\frac{327}{2}}\approx  12,79 FE[/latex]
Ist das in Ordnung?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Yoshee
Ist das in Ordnung?

Nein.

Warum nicht, beide Flächenteile sind falsch.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn F?

Da es um ein Viereck im IR³ geht, sollte man sicher sein, dass die Punkte in einer Ebene liegen.

[latex]E:~\vec{x} = \begin{pmatrix}4\\4\\1 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}-4\\-1 \\3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}0 \\-2 \\ 3 \end{pmatrix}[/latex]

[latex]\begin{pmatrix}0\\4\\2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}4\\4\\1 \end{pmatrix} + 1\cdot \begin{pmatrix}-4\\-1 \\3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}0 \\-2 \\ 3 \end{pmatrix}[/latex]

irgendwie liegen die dann doch gar nicht in einer Ebene Erstaunt2
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Was ist denn F?

F wie Fußpunkt, ist doch klar ...
Yoshee Auf diesen Beitrag antworten »

Mhh, dann hab ich die Punkte falsch abgelesen. ich habe mal die Zeichnung aus dem Buch in Paint "übertragen". F sollte der Fußpunkt sein.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

ist klar^^ Und den muss man nicht erst berechnen, sondern der ist jedem (außer mir) klar verwirrt Dann klärt mich mal auf. Augenzwinkern

Man könnte, wenn sie dann in einer Ebene liegen, doch einfach mit dem Vektorprodukt arbeiten.
Yoshee Auf diesen Beitrag antworten »

[latex]\mid\vec{PF}\mid=\vec{PA}*\vec u^o=\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} -4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} *\frac{1}{ \sqrt{26} }=\frac{11}{\sqrt{26}}[/latex]
Jetzt zufrieden?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

"x nach vorn, y nach rechts z nach oben" Es ist ein Würfel mit Seitenlänge 4 eingezeichnet.

[latex]A(4/2/4); B(4/4/1); C(0/4/2)[/latex] Freude

[latex]D(0/?/4)[/latex]


[latex]E:~\vec{x}=\overrightarrow{OA}+ r\cdot \overrightarrow{BA}+ s\cdot \overrightarrow{CA}[/latex]

[latex]E:~\vec{x} = \begin{pmatrix}4\\2\\2 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}0\\2\\-3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-4\\2\\-2\end{pmatrix}[/latex]


[latex]D:~\begin{pmatrix}0\\?\\4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\2\\2 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}0\\2\\-3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-4\\2\\-2\end{pmatrix}[/latex]

[latex]\Rightarrow s=1,~r=-\frac{4}{3}[/latex]

[latex]?=\frac{4}{3}[/latex]


Das passt aber nicht mit dem Bild zusammen verwirrt
Yoshee Auf diesen Beitrag antworten »

mhh, ich würd sagen Im Zweifelsfall "Rechnung schlägt Zeichnung". Oder Bist du eher eine "Buch schlägt Schüler"? Wer hat hier was falsch gemacht? Druckfehler?
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Was heißt hier Rechnung schlägt Zeichnung?
Du hast die Koordinaten für D ja nicht eingezeichnet, was weil redundant, auch gut so zu erwarten sein könnte.

tigerbine hat dir gratis noch nen Rechnenfehler eingebaut, damit nochwas überbleibt für dich
Yoshee Auf diesen Beitrag antworten »

[latex]\begin{pmatrix} 0 \\ ? \\ 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} [/latex]
[latex]s= 1; r= -\frac{2}{3}; ?=\frac{8}{3} [/latex]
So müsstes stimmen!?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Rechnenfehler frei Haus.
Ach sowas^^

[latex]D:~\begin{pmatrix}0\\?\\4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\2\\4 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}0\\2\\-3 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix}-4\\2\\-2\end{pmatrix}[/latex]

[latex]D:~\begin{pmatrix}0\\?\\4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\4\\2 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}0\\2\\-3 \end{pmatrix} [/latex]

[latex]r=-\frac{2}{3}[/latex]

[latex]D:~\begin{pmatrix}0\\?\\4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\frac{12}{3}\\2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\-\frac{4}{3}\\2 \end{pmatrix} [/latex]

[latex]?=\frac{8}{3} [/latex]
Yoshee Auf diesen Beitrag antworten »

nächster Versuch:

[latex]d_A=\sqrt{13- \frac{35}{3 *\sqrt{\frac{16}{9}+25} }}[/latex]
[latex]=\sqrt{13-\frac{35}{\sqrt{241}}}LE[/latex]

Analog für C:
[latex]d_C=\sqrt{17-\frac{19}{\sqrt{ \frac{16}{9} +25}}}[/latex]
[latex]d_C=\sqrt{17-\frac{57}{\sqrt{241}}}LE[/latex]
jetzt gut?

€dit: achso, die gerade ist inzwischen:
[latex]G:\vec x=\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} -4 \\ -\frac{4}{3}\\ 3 \end{pmatrix} ;r\in \mathbb R [/latex]
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nachdem wir nun auch D "namentlich" kennen, hätte ich dern Flächeninhalt F des Vierecks so berechnet:

[latex]F = 0.5 \cdot \left( \overrightarrow{BD} \times \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BD} \times \overrightarrow{BC}\right) [/latex]

Was hast Du denn da gerechnet? verwirrt Wirst wohl das hier verwendet haben. Was sind P und u?

[qutoe]
[latex]\mid\vec{PF}\mid=\vec{PA}*\vec u^o=\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} -4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} *\frac{1}{ \sqrt{26} }=\frac{11}{\sqrt{26}}[/latex][/quote]
Yoshee Auf diesen Beitrag antworten »

P ist der Stützvektor der Geraden, u ist ihr Richtungsvektor. Leider versteh ich nicht, was du da machen möchtest. Das Vektorprodukt ist doch, wie der Name schon sagt, ein Vektor, oder nicht? Also Vektor + andere Vektor = vektor. Dann hab ich doch aber keine Fläche?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Manche nennen es auch Kreuzprodukt, ich dachte das Symbol [latex]\times[/latex] wäre wenigstens eindeutig.
Yoshee Auf diesen Beitrag antworten »

[latex]A_A=\mid\vec{BD} \mid\times \mid\vec{BA}\mid[/latex]
[latex]=\begin{vmatrix} \vec i & -4 & 0 \\ \vec j & -\frac{4}{3} & -2 \\ \vec k & 3 & 3 \end{vmatrix} [/latex]
[latex]=\begin{pmatrix} 2 \\ 12 \\ 8 \end{pmatrix} [/latex]

[latex]A_C=\vec{BD} \times \vec{BC} [/latex]
[latex]\begin{vmatrix} \vec i & -4 & -4\\ \vec j & -\frac{4}{3} & 0 \\ \vec k & 3 &1  \end{vmatrix} [/latex]
[latex]=\begin{pmatrix} -\frac{4}{3} \\ 8 \\ -\frac {16}{3} \end{pmatrix} [/latex]

[latex]A=\sqrt{4+144+64} +\sqrt{\frac{16}{9}+\frac{256}{9}+\frac{576}{9}}=\sqrt{212} + \sqrt{\frac{998}{9}}FE[/latex]
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Der erste Part stimmt (abgesehen vom fehlenden *1/2), der Zweite muss ein Rechenfehler haben ... und *1/2 fehlt auch,

sonst wärs richtig Augenzwinkern
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »