Matrix A(t)€C^4x4

12.10.2007, 17:32

Buef

Matrix A(t)€C^4x4

Betrachten Sie die Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2t^2-5t+2 & -2t+2 & 4t^2+7t-2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -t^2 -1 & 1 & 2t^2+2 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \in \mathbb{C}^{4x4} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ein komplexer Parameter ist. Für welche t ist A(t) diagonalisierbar?

Antworten

[ ] -1
[ ] 0
[ ] 1
[X] i
[X] -i
[ ] 2

Wie kommt man darauf? Also ich habe zuerst die Determinate von A-TE berechnet

$\begin{eqnarray*} det(A-TE)= (t-T)(1-T)^3 \end{eqnarray*}$

so nun muss ich schauen, für welches t das Minimalpolynom = das charakteristische Polynom ist!

Jedoch ist der Aufwand zu hoch, als das man dieses in dieser Zeit errechnen könnte. Gibs da auch ein schnelleren Trick via einsetzten oder so?

Wäre cool, wenn mir einer noch heute zu der Lösung verhelfen könnte.
Gruß Buef

12.10.2007, 17:35

therisen

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Hallo,

damit die Matrix diagonalisierbar ist, muss die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts 1 gleich 3 sein (ich gehe davon aus, dass dein charakteristisches Polynom stimmt). Das genügt bereits.

Gruß, therisen

12.10.2007, 18:20

CocaCola

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ja das weiß ich schon längst, aber wie komme ich auf die lösung, wie man t wählen muss?

(huch, ich bins Buef, aber mit dem Account von einem Freund)

12.10.2007, 18:34

therisen

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Du musst eben schauen, wie der Rang der Matrix A-E in Abhängigkeit von t ist (Gauß lässt grüßen).

12.10.2007, 18:40

Buef

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Also ich habe jetzt zur Eigenraum bestimmung folgendes

$\begin{eqnarray*} (1-t)x_1 + (-2t^2-5t+2)x_2+(-2t+2)x_3+(4t^2+7t-2)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (1-t)x_2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (-t^2-1)x_2 + (1-t)x_3 + (2t^2+2)x_4=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (1-t)x_4=0 \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} t=1 \end{eqnarray*}$ stiimt die 2 und 3te gleichung. aber nach der Lösung nicht! Was mache ich falsch?

12.10.2007, 19:32

therisen

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RE: Matrix A(t)€C^4x4

Zitat:

Original von Buef
Also ich habe zuerst die Determinate von A-TE berechnet

Ich hätte nicht auf die Richtigkeit deines Ergebnisses vertrauen dürfen. Das charakteristische Polynom lautet nämlich

$\begin{eqnarray*} \chi(x)=(x-1)^4 \end{eqnarray*}$

Außerdem ist die Matrix weder für t=i noch für t=-i diagonalisierbar. Hast du dich bei der Angabe verschrieben?

12.10.2007, 19:50

Buef

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das mit der determinante habe ich auch gerade eben gesehn. wenn man das nach leibnitz macht geht das ja super schnell, weiß nicht wie ich auf so ein falsches ergebnis gekommen bin

naja jedenfalls habe ich mich auch nicht bei der matrix vertan!

12.10.2007, 20:04

Buef

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doch klar jetzt habe ichs

wenn man das einsetzt steht dann da

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & -2t^2-5t+2 & -2t+2 & 4t^2+7t-2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -t^2 -1 & 0 & 2t^2+2 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} x=0 \end{eqnarray*}$

daraus folgt x_1 beliebig

$\begin{eqnarray*} (-2t^2-5t+2)x_2 + (-2t+2)x_3+(4t^2+7t-2)x_4=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2(t-1)(t^2+1)x_3 + (t^2+1)(3t-2)x_4=0 \end{eqnarray*}$

die 2te gleichung stimmt für t=-i und t=i

jetzt in der ersten gleichung gucken

für t=i

$\begin{eqnarray*} (-2i^2-5i+2)x_2+(-2i+2)x_3+(4i^2+7i-2)x_4=(-5i+4)x_2+(2i+2)x_3+(7i-6)x_4=0 \end{eqnarray*}$

weiter weiß ich net

12.10.2007, 22:06

therisen

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Im Fall $\begin{eqnarray*} t=i \end{eqnarray*}$ ist die Jordansche Normalform zu A gegeben durch

$\begin{eqnarray*} A\sim\begin{pmatrix}1&0&0&0\\1&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Insbesondere ist A(i) nicht diagonalisierbar. Das Minimalpolynom lautet

$\begin{eqnarray*} \mu(X)=(X-1)^2 \end{eqnarray*}$

und es ist $\begin{eqnarray*} \dim\ker(A-E)=3\neq4 \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

12.10.2007, 22:49

Hummel85

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Die Matrix sieht eigentlich so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} t & -2t^2-5t+2 & -2t+2 & 4t^2+7t-2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -t^2-1 & 1 & 2t^2+2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann stimmt auch das char. Polynom vom Anfang, oder nicht?

12.10.2007, 23:02

therisen

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Ja. Dann sollte sich Buef mal entschuldigen:

Zitat:

Original von Buef
naja jedenfalls habe ich mich auch nicht bei der matrix vertan!

13.10.2007, 01:29

Buef

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ohoh...hatte auf meine unterlagen geschaut....1000x sry

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Matrix A(t)€C^4x4

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