Einen Schritt weiter: Vektorraum -> Linare Abhängigkeit 3er Vektoren

12.10.2007, 18:03

DerHochpunkt

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Einen Schritt weiter: Vektorraum -> Linare Abhängigkeit 3er Vektoren

Ich habe zu prüfen, ob folgende 3 Vektoren linear abhängig oder unabhängig sind.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1\\ 1 \\ 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2\\ -1 \\ 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5\\ -3 \\ 4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Als Koeffizientenmatrix notiert erhalte ich

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 5 & 0\\ 1 & -1 & -3 & 0 \\ 2 & 3 & 4 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mit Gauß erhalte ich eine Matrix vom Rang 2 (eine Nullzeile).

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -3 & 0\\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich dann probehalber für $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ die Werte 1 | -2 | 1 einsetze bekomme ich mit einer nichttrivialen Lösung den Nullvektor heraus.

Eine Software ermittelt aber die triviale Lösung 0 | 0 | 0 ??

Wer hat Recht?

12.10.2007, 18:04

Dual Space

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RE: Linare Abhängigkeit 3er Vektoren
Was willst du mit der Nullspalte in der Matrix bezwecken?

Lass die lieber weg und schau, ob die Determinate ungleich Null ist, denn dann ...

12.10.2007, 18:05

chrizke

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Im Endeffekt hast du nach Anwendung des Gauß-Verfahrens ja drei Unbekannte in zwei Gleichungen.

Die schließt die Triviale Lösung aus, da du ein der mittleren Gleichung ja eine der beiden Variablen vorwählen kannst, wodurch du eine unendeliche Lösungsmenge bekommst.

Die Triviale Lösung existiert immer, weswegen sie ja trivial ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielleicht gibt sie dein Programm immer aus, da es nicht mit unendlichen Lösungsmengen umgehen kann????

12.10.2007, 18:12

DerHochpunkt

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jo hab grad bemerkt, dass ich vielfache von 1 | -2 | 1 einsetzen kann. cool. wie würde ich das dann notieren. reicht die angabe der "kleinsten" lösung oder muss man das irgendwie in der form 1u | -2u | 1u notieren, wobei $\begin{eqnarray*} u \in \text{IN}_0 \end{eqnarray*}$

Und noch was, könnte ich die Lösungen für die Koeffizienten a in einem a-Vektor der Form $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ notieren?

12.10.2007, 18:16

chrizke

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Du musst eine der drei Variablen vorwählen, zB $\begin{eqnarray*} x_1=k \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Und dann errechnest du die anderen Lösungen wie du es sonst auch tun würdest, nur dass du nun eine Variable k 'mitschleppst' und nicht direkt reelle Zahlen zum rechnen hast.

12.10.2007, 18:21

DerHochpunkt

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Dank Tigerbines Beitrag editierter Post:

$\begin{eqnarray*} \vec{k} = \begin{pmatrix} k \\ -2 k \\ k\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

=> linear abhängig.

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12.10.2007, 18:28

tigerbine

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Code

Zitat:

Original von DerHochpunkt
Ich weiß leider nicht, wie ich in latex einen vektor erzeugen kann. das k auf der linken seite der gleichung soll jetzt mal ein vektor sein.

code:
1:	[latex]\vec{x},\overrightarrow{AB}[/latex]

$\begin{eqnarray*} \vec{x},\overrightarrow{AB} \end{eqnarray*}$

12.10.2007, 18:52

DerHochpunkt

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Wie müsste man vorgehen, um die Dimension des Vektorraumes zu bestimmen, der von diesen 3 Vektoren erzeugt wird? So viel ich weiß ist doch die Dimension die Anzahl der linear UNabhängigen Vektoren, jedoch sind diese drei Vektoren linear abhängig. unglücklich

unglücklich

Mein Vorschlag:

Der Rang der Koeffizientenmatrix ist 2, also auch die Anzahl der voneinander linear unabhängigen Vektoren. Die Dimension des Vektorraumes ist daher 2.

12.10.2007, 19:00

chrizke

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Du musst schauen,wie viele unabhängige Vektoren du findest, die diesen Vektor als Linearkombination darstellen können, die s.g. Basen (pl. von Basis):
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} k \\ -2k \\ k \end{pmatrix} =\alpha\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+\beta\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\gamma\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und die Anzahl dieser Basen gibt die Dimension an.

12.10.2007, 19:02

DerHochpunkt

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Muss man nicht, statt der Einheitsvektoren die 3 Vektoren einsetzen, die in der Aufgabe gegeben sind und die den Vektorraum aufspannen?? (siehe erster Beitrag)

12.10.2007, 19:04

chrizke

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Von welchem Vektorraum sprechen wir denn grade?

Nur damit wir nicht aneinander vorbeireden...

12.10.2007, 19:19

DerHochpunkt

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Vom Vektorraum, der durch diese drei Vektoren erzeugt wird...

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1\\ 1 \\ 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2\\ -1 \\ 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5\\ -3 \\ 4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

12.10.2007, 19:33

chrizke

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Wenn diese Vektoren l.a. sind, können sie nicht Basen eines Vektorraums sein. Die Basen müssen l.u. sein.

12.10.2007, 19:37

Dual Space

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Sie können aber ein Erzeugendensystem sein.

MaW: $\begin{eqnarray*} \left\{\begin{pmatrix} -1\\ 1 \\ 2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2\\ -1 \\ 3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 5\\ -3 \\ 4\end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray*}$ ist (trivialerweise) ein Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} \operatorname{lin}\left\{\begin{pmatrix} -1\\ 1 \\ 2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2\\ -1 \\ 3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 5\\ -3 \\ 4\end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray*}$ .

12.10.2007, 19:52

DerHochpunkt

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puh... sag mir bitte jemand, was ich jetzt machen muss...

Nochmal zur Aufgabe.. welche Dimension hat der Vektorraum, der durch die 3 (gegebenen) vektoren erzeugt wird.

12.10.2007, 20:13

Dual Space

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Falls du dich nicht verrechnet hast, dann hat der VR die Dimension 2. Das folgt aus dem Rang der Koeff.matrix.

12.10.2007, 20:16

DerHochpunkt

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und der rang der koeffizientenmatrix ist die anzahl der voneinander unabhängigen vektoren?

wenn's so einfach ist, warum macht ihr's zwischenzeitlich so kompliziert?

trotzdem danke. Wink

Wink

12.10.2007, 20:39

DerHochpunkt

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Dann habe ich noch eine Frage.

wenn 2 vektoren voneinander linear unabhängig sind und die basis des vektorraumes bilden, woher weiß ich, welche zwei der gegebenen 3 vektoren die linear unabhängigen Vektoren sind? Das muss ich wissen, um die Teilmenge der gegebenen Vektoren zu bestimmen, die eine Basis des Vektorraumes ist.

12.10.2007, 23:56

DerHochpunkt

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hab ich inzwischen gelöst... Wink

Wink

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