Konvergenz

13.10.2007, 18:09

piloan

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Konvergenz

Hi
nochmal 2 Fragen zu Prüfungen:

Einmal:
konvergiert die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{sin(nx)}{n} \end{eqnarray*}$

und fuer welche x liefert $\begin{eqnarray*} log(1+x)=\sum~\frac{(-1)^k}{k+1}x^{k+1} \end{eqnarray*}$
eine gute Approximation.
Berechne log von x=1/7

Also mir faellt kein Kriterium fuer die oben genannte Reihe ein.(Mit Kriterium werde ichs wohl hinbekommen)

Zu der anderen Aufgabe.Was ist hier mit Approximation gemeint ? ..Im Konvergenzbereich?
Und wie berechne ich explizit log(1/7) ? log(1-6/7) und dann in die Entwicklung einsetzen ?
Wie komm ich da auf eine vernuenftige Loesung?
Grüße

13.10.2007, 19:45

therisen

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Hallo,

es gilt $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}n=\frac{\pi-x}2 \end{eqnarray*}$ . Je nachdem, welche Konvergenzkriterien man kennt, kann der Konvergenznachweis eher einfach sein oder eher schwer. Ich weiß nicht, welches Vorwissen du hast (abelsche partielle Summation?).

Bei der zweiten Frage kannst du die Restgliedabschätzung des Leibniz-Kriteriums verwenden ( $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ ).

Gruß, therisen

13.10.2007, 20:38

piloan

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Hi
also ich kenne die meisten Konvergenzkriterien. Geht das mit der abelschen Summation relativ leicht , dann probier ich das nochmal.

Bei der zweiten Aufgabe wollte ich erstmal wissen was ich ueberhaupt machen muss.
Heisst" eine gute Approximation fuer x liefert" soviel wie, "bestimmen sie den konvergenzradius"?

13.10.2007, 20:57

therisen

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Hallo nochmal,

ich möchte auf das folgende Konvergenzkriterium hinaus:

Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty a_nb_n \end{eqnarray*}$ konvergiert, falls die Folge $\begin{eqnarray*} A_N:=\sum_{n=1}^N a_n \end{eqnarray*}$ beschränkt ist und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ eine monoton fallende Nullfolge ist.
Beweisen kann man das über die oben angesprochene partielle abelsche Summation unter Verwendung der Dreiecksungleichung (man muss 4 mal abschätzen um das Cauchy-Kriterium nachzuweisen).

Gruß, therisen

14.10.2007, 02:22

WebFritzi

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Zitat:

Original von therisen
es gilt $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}n=\frac{\pi-x}2 \end{eqnarray*}$

Setz mal Null ein... Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.10.2007, 03:58

Tomtomtomtom

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Ich meine, die erste Aufgabe mal als Übungsaufgabe gehabt zu haben, und die Lösungsidee war glaube ich, die Summe von drei aufeinanderfolgende Summanden abzuschätzen. Ich kanns aber nicht mehr finden, und jetzt ist es mir auch zu spät, also alle Angaben ohne Gewähr.

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14.10.2007, 10:51

therisen

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Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von therisen
es gilt $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}n=\frac{\pi-x}2 \end{eqnarray*}$

Setz mal Null ein... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ja, ich hatte vergessen zu erwähnen: Für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R\setminus2\pi\mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

14.10.2007, 11:26

piloan

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Moin
Ok dann versuch ichs nochmal:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty a_nb_n \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} a_n=sin(nx) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b_n=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_n=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ist eine monoton fallende Nullfolge.

Jetzt muss ich zeigen,dass
$\begin{eqnarray*} A_N:=\sum_{n=1}^N sin(nx) \end{eqnarray*}$ beschränkt ist. Aber diese Reihe hat doch garnicht die Form von $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty a_nb_n \end{eqnarray*}$ ,sd ich die partielle Summation anwenden kann.

14.10.2007, 11:30

therisen

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Zitat:

Original von piloan
Jetzt muss ich zeigen,dass
$\begin{eqnarray*} A_N:=\sum_{n=1}^N sin(nx) \end{eqnarray*}$ beschränkt ist. Aber diese Reihe hat doch garnicht die Form von $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty a_nb_n \end{eqnarray*}$ ,sd ich die partielle Summation anwenden kann.

Nun ja, dass $\begin{eqnarray*} A_N \end{eqnarray*}$ beschränkt ist, sieht man ganz leicht ein (Sinus ist der Imaginärteil der Exponentialfunktion, geometrische Summenformel, ...). Ich dachte, du willst erstmal obiges Kriterium beweisen Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.10.2007, 11:58

WebFritzi

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Zitat:

Original von therisen

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von therisen
es gilt $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}n=\frac{\pi-x}2 \end{eqnarray*}$

Setz mal Null ein... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ja, ich hatte vergessen zu erwähnen: Für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R\setminus2\pi\mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Das stimmt auch nicht. Setz mal $\begin{eqnarray*} 3\pi \end{eqnarray*}$ ein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.10.2007, 12:19

therisen

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Entschuldigung für die Verwirrung. Jetzt stimmt es: Definiere $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ durch

$\begin{eqnarray*} f=\begin{cases}0, &\text{falls } x=0 \\ \frac{\pi-x}2, &\text{falls } 0<x<2\pi \end{cases} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} f(x+2\pi n)=f(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\in[0,2\pi) \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}n=f(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

14.10.2007, 14:08

piloan

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Danke fuer die Muehe.
Also erstmal sagt Mathematica mir, dass die Reihe ueberhaupt nicht konvergiert.
Auch nicht fuer zB x=pi smile

smile

Einen Beweis fuer das Kriterium kenne ich.
Ich wollte dieses nun speziell anwenden Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also war noch zu zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} A_N:=\sum_{n=1}^N sin(nx) \end{eqnarray*}$ beschränkt ist

Wenn ich den Sinus als Imaginaerteil von e angebe, dann betrachte ich doch
eine Reihe ueber eine Reihe ?!...

$\begin{eqnarray*} A_N:=\sum_{n=1}^N~\sum_{k=0}^{\infty}~ (-1)^k \frac{(nx)^{k+1}}{(2k+1)!} \end{eqnarray*}$

richtiger Weg?! .

14.10.2007, 14:27

therisen

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Nein, das ist die falsche Richtung. Es gilt (geometrische Summenformel)

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \mathrm{e}^{\mathrm{i}k x}&=\frac{\sin(n+\frac{1}{2})x}{2\sin\frac{1}{2}x}-\frac 12+\mathrm{i}\cdot\frac{\cos\frac x2-\cos(n+\frac12)x} {2\sin\frac{1}{2}x} \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R\setminus 2\pi\mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Diese Darstellung braucht man aber nicht zwingend.

14.10.2007, 14:45

piloan

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Ich versuchs mal zu verstehen..mir ist zwar gerade noch unklar wie das entsteht, da mir nur
$\begin{eqnarray*} e^{ix}=cosx+i sinx \end{eqnarray*}$ gelaeufig ist.

Dann folgt doch mit geom Reihe $\begin{eqnarray*} e^{ix}=q \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~(e^{ix})^k=\frac{(e^{ix})^{n+1}-1}{e^{ix}-1}-1=\frac{cos((n+1)x)+isin((n+1)x)-1}{cosx+isinx-1}-1 \end{eqnarray*}$

Folgt die Gleichheit wenn ich das nun weiter zusammenfasse ?....

Wie begruende ich es denn sonst,wenn ich diese Darstellung nicht brauche?
Ich muss doch nur zeigen,dass die Reihe A_N beschraenkt ist.

Irgendwie doch schon recht kompliziert in einer Vordipl pruefung darauf zu kommen

Grüße

14.10.2007, 15:11

therisen

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Zitat:

Original von piloan
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~(e^{ix})^k=\frac{(e^{ix})^{n+1}-1}{e^{ix}-1}-1=\frac{cos((n+1)x)+isin((n+1)x)-1}{cosx+isinx-1}-1 \end{eqnarray*}$

Folgt die Gleichheit wenn ich das nun weiter zusammenfasse ?....

Ja, genau.

Zitat:

Original von piloan
Wie begruende ich es denn sonst,wenn ich diese Darstellung nicht brauche?
Ich muss doch nur zeigen,dass die Reihe A_N beschraenkt ist.

Es genügt die Beschränktheit von $\begin{eqnarray*} S_n:=\sum_{k=1}^n \mathrm{e}^{\mathrm{i}kx} = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}(n+1)x}-\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}-1} \end{eqnarray*}$ zu zeigen (hierbei ist $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R\setminus 2\pi\mathbb Z \end{eqnarray*}$ fest).

14.10.2007, 19:15

piloan

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$\begin{eqnarray*} S_n:=\sum_{k=1}^n \mathrm{e}^{\mathrm{i}kx} = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}(n+1)x}-\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}-1} \end{eqnarray*}$ (hierbei ist $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R\setminus 2\pi\mathbb Z \end{eqnarray*}$ fest).

Hi ...dann ist aber doch die Beschraenktheit durch die geometrische Reihe schon vorgegeben und ich bin fertig ? smile

smile

14.10.2007, 19:31

therisen

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Im Prinzip schon, ja. Etwas störend ist bloß noch das n. Das bekommt man aber schnell los, wenn man $\begin{eqnarray*} |S_n| \end{eqnarray*}$ abschätzt. So wild war die Aufgabe also gar nicht.

15.10.2007, 01:32

WebFritzi

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Man kann das auch anders machen: man bildet die Fourierreihe von therisens Funktion. Mit ein paar Konvergenzsätzen kommt man dann auf die von therisen behauptete Identität.

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