Hn ist keine natürliche Zahl

14.10.2007, 15:11

Orbit

Hn ist keine natürliche Zahl

Moin,

$\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb{N}, n > 1: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H_n = \sum_{k=1}^n~\frac{1}{k} \notin \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Ich hab so angefangen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{1}{k} = \frac{\sum_{k=1}^n~\frac{n!}{k}}{n!} \end{eqnarray*}$

Angenommen $\begin{eqnarray*} H_n \end{eqnarray*}$ wäre eine natürliche Zahl, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} n! | \sum_{k=1}^n~\frac{n!}{k} \end{eqnarray*}$

Und jetzt weiß ich nicht, wie ich einen Widerspruch hinbekomme. Hab es über die Primfaktorzerlegung versucht, aber bisher ohne Erfolg.

Ich merke gerade, dass ich es vielleicht auch induktiv lösen kann. Aber dann hänge ich wieder beim Induktionsschritt fest.

Kann jemand helfen?

Gruß,
Orbit

14.10.2007, 17:46

therisen

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Hallo,

ich glaube nicht, dass deine Ansätze erfolgsversprechend sind. Ich skizziere mal meine Lösung:

Es bezeichne $\begin{eqnarray*} |x|_p \end{eqnarray*}$ die p-adische Bewertung einer rationalen Zahl x zu einer Primzahl p. Man überlegt sich leicht, dass dann gilt:

1) $\begin{eqnarray*} |x+y|_p\leq\max(|x|_p,|y|_p) \end{eqnarray*}$ (Gleichheit genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} |x|_p\neq|y|_p \end{eqnarray*}$ )
2) $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb Z\Leftrightarrow |x|_p\leq1 \end{eqnarray*}$ für alle Primzahlen p.

Sei nun $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ . Wir zeigen, dass dann $\begin{eqnarray*} \big|H_n\big|_2>1 \end{eqnarray*}$ und folglich $\begin{eqnarray*} H_n\not\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Setze $\begin{eqnarray*} t:=\max\{k\in\mathbb N\big|~2^k\leq n \} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt

$\begin{eqnarray*} \left|\sum_{k=1, \atop{k\neq 2^t}}^n\frac1k\right|_2<\left|\frac1{2^t}\right|_2 \end{eqnarray*}$ ,

denn $\begin{eqnarray*} \left|\sum_{k=1, \atop{k\neq 2^t}}^n\frac1k\right|_2\leq\max\left\{\left|\frac1k\right|_2:~k\in\{1,\dots,n\}\setminus \{2^t\} \right\} \end{eqnarray*}$ .

Mit 2) folgt daher $\begin{eqnarray*} \big|H_n\big|_2=t>1 \end{eqnarray*}$ (wegen $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ ). Das Ergebnis kann man auch so interpretieren, dass der Zähler von $\begin{eqnarray*} H_n \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ , stets ungerade ist und der Nenner gerade.

Gruß, therisen

14.10.2007, 20:42

Orbit

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Vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Auf die Idee mit p-adischem Betrag wäre ich nie gekommen.

Gruß,
Orbit

14.10.2007, 22:47

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Der p-adische Betrag ist ja auch nicht unbedingt nötig. Einfacher kann man therisens Idee auch so formulieren:

Man weise nach, dass

$\begin{eqnarray*} \operatorname{kgV}(1,2,\ldots,n)\cdot \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

eine ungerade ganze Zahl ist.

EDIT: Sorry, Fehler - natürlich meine ich den kgV statt ggT - korrigiert. Augenzwinkern

15.10.2007, 12:40

Orbit

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@ Arthur:

Zitat:

Einfacher kann man therisens Idee auch so formulieren:

Man weise nach, dass

$\begin{eqnarray*} \operatorname{kgV}(1,2,\ldots,n)\cdot \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

eine ungerade ganze Zahl ist.

Ich sehe den Zusammenhang nicht. Kannst du das nochmal erklären?

Orbit

15.10.2007, 14:48

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Als Abkürzung bezeichne ich mal $\begin{eqnarray*} A:=\operatorname{kgV}(1,2,\ldots,n) \end{eqnarray*}$ . Betrachte nun die Zahlen $\begin{eqnarray*} \frac{A}{k} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=1,2,\ldots,n \end{eqnarray*}$ :

Das sind alles ganze Zahlen, schon wegen der Definition des kgV. Jetzt schauen wir mal nach, welche dieser Zahlen gerade und welche ungerade sind. Da wäre die letzte Zweierpotenz in der Reihe, mit therisens Bezeichnzung ist das $\begin{eqnarray*} k=2^t \end{eqnarray*}$ mit zugehörigem
$\begin{eqnarray*} \frac{A}{k} = \frac{A}{2^t} \end{eqnarray*}$ ,
das ist eine ungerade Zahl. Alle anderen $\begin{eqnarray*} \frac{A}{k} \end{eqnarray*}$ der Summe sind hingegen gerade Zahlen, also ist die Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n ~ \frac{A}{k} \end{eqnarray*}$ ungerade...

Da ist kein Unterschied zu therisens Vorgehen, nur etwas weniger Symbole.

15.10.2007, 15:09

Orbit

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Jetzt ist es mir klar. Merci.

Tanzen

15.10.2007, 16:01

therisen

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Da ist kein Unterschied zu therisens Vorgehen, nur etwas weniger Symbole.

Nett formuliert Big Laugh

Ich gebe zu, dass ich ab und an dazu neige, meine Ausführungen durch (meist algebraischen) Formalismus etwas übertrieben kompliziert/abstrakt darzustellen. Bei dieser Aufgabe lag das vor allem daran, dass ich mich so gefreut hatte, einen Bezug zur p-adischen Bewertung herstellen zu können (damit hatte ich mich nämlich während meiner Schulzeit mal etwas beschäftigt) Augenzwinkern

Eine schöne Aufgabe jedenfalls.
Für die Boardsuche: harmonische Zahl, 2-adischer Betrag (na, wer sieht diesen Text?)

Gruß, therisen

15.10.2007, 17:16

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Off-topic: Als Ausgleich zu dem hier, sozusagen dann wir beide in vertauschten Rollen, hab ich hier eine kompliziertere Interpretation reingebracht, wo du eine schön einfache Lösung präsentiert hast... Big Laugh

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