Relationen - habe ich das richtig Verstanden?

14.10.2007, 15:55

Sythus

Relationen - habe ich das richtig Verstanden?

Hallöle,

ich lese seit gut einer Stunde die schon existierenden Beiträge zum Thema Relationen und deren Eigenschaften.

Mich würde interessieren ob ich das grundsätzlich richtig verstanden habe.

Eine Relation besteht immer aus Teilmengen eines Kartesischen Produktes.
Dabei kann ich mir aussuchen welche Teilmengen ich für eine Relation aus diesem Kartesischen Prodkut nehme, richtig?

Diese Relation kann ich dann auf ihre Eigenschaften überprüfen.
z.B. reflexiv, symmetrisch und transitiv

Kleines Zahlenbeispiel:

A={1,2}
AxA={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}

Also R1 könnte ich nun
R1={(1,1), (2,2)}
nehmen.

Diese R1 wäre nun reflexiv da (a,a) bzw. (b,b) --> Jedes Element steht in Relation zu sich selbst.
Diese R1 wäre nun nicht symmetrisch da ich für jedes Paar aus AxA nicht das passende Gegenpaar in die Relation R1 mit reingenommen habe, richtig?

Ob hier nun eine Transitivität vorliegt weiß ich nicht. Das hab ich bis jetzt nicht verstanden...

Auf jedenfall ist R1 keine Äquivalenzrelation da schon die symmetrie ausgeschlossen ist, richtig?

Hab ich das meiste richtig verstanden? Wo liegen meine Fehler?

Danke schonmal an alle Helfer.

LG
Sythus

14.10.2007, 17:07

Leopold

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RE: Relationen - habe ich das richtig Verstanden?

Zitat:

Original von Sythus
Eine Relation besteht immer aus Teilmengen eines Kartesischen Produktes.

Eine Relation ist eine Teilmenge des kartesischen Produktes.

Bei deinem Beispiel würde ich sagen, daß die Relation auch symmetrisch und transitiv ist. Diese Bedingungen sind ja von der Form: Wenn ... dann ...

Wenn $\begin{eqnarray*} x R y \end{eqnarray*}$ gilt, dann gilt $\begin{eqnarray*} y R x \end{eqnarray*}$ .
So wird zum Beispiel die Symmetrie charakterisiert. Und diese Bedingung wird von deinem Beispiel erfüllt. Daß 1 und 2 gar nicht in Relation zueinander stehen, hat damit nichts zu tun. Aber wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ in Relation zueinander stehen, dann auch $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

14.10.2007, 17:30

Sythus

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Danke für deine Antwort Leopold.
Ah, okay verstehe... glaube ich...

An meinem Zahlenbeispiel:
Symmetrie:
Wenn 1R1 gilt, gilt 1R1 auch in umgekehrter Richtung?
Wenn aRa gilt, gilt aRa auch in umgekehrter Richtung?

Transitivität:
Wenn 1R1 gilt und 2R2, dann gilt auch 1R2?
Wenn aRb gilt und bRc, dann gilt auch aRc?

Wenn ich nun für R2={(1,1)(1,2)(2,2)} nehmen würde, wäre diese Relation aber definitiv nicht symmetrisch, richtig?

Danke schonmal

14.10.2007, 17:37

Leopold

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Diese ist in der Tat nicht symmetrisch, aber immer noch transitiv.

Definition der Transitivität

WENN x R y und y R z
DANN x R z

Nirgendwo steht hier DASS ...

Deine Aussage oben zur Transitivität ist verwirrend: 1R1 und 2R2?
Um die Bedingung zu überprüfen, müssen die inneren Glieder (oben: y) übereinstimmen.

14.10.2007, 17:52

Sythus

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puhh

aber wieso is dann R1={(1,1), (2,2)} transitiv???

Da steht doch a in Relation mit sich selbst aRa
und b ebenfalls bRb...

Die inneren Felder passen also nicht zusammen...

(aRa),(bRb)...

14.10.2007, 17:57

Leopold

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Das ist ja auch nicht verlangt, DASS diese zusammenpassen. Nur WENN sie zusammenpassen, dann muß auch immer die dritte Relation (x R z) gelten.

14.10.2007, 18:01

Sythus

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LoL,
also wenn sie zusammenpassen gilt die dritte Relation und somit eine Transitivität und wenn sie nicht zusammenpassen dann eben keine dritte Relation aber trotzdem transitiv?

Dann wäre für mich eigentlich alles transitiv... Mein Kopf explodiert gleich^^ glaube ich sitze heute schon zulange dran. Gott

15.10.2007, 17:52

Leopold

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Nimm als Beispiel die Kleiner-Relation $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ . Diese ist transitiv.

Immer wenn $\begin{eqnarray*} x<y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y<z \end{eqnarray*}$ gilt, kannst du folgern: $\begin{eqnarray*} x<z \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} -8 < -3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -3 < 19 \end{eqnarray*}$ , also auch $\begin{eqnarray*} -8 < 19 \end{eqnarray*}$

Die Transitivität der Kleiner-Relation ist auch der Grund dafür, daß man Ketten von Kleiner-Relationen bilden darf: $\begin{eqnarray*} -8 < -3 < 19 \end{eqnarray*}$ . Man liest so die Folgerung quasi gleich mit, indem man die innere Zahl ignoriert.

Und was ist nun mit $\begin{eqnarray*} -8 < 3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -11 < -9 \end{eqnarray*}$ ? Eine Folgerung allein aufgrund der Transitivität kannst du hier nicht ziehen. Es fehlt eben das gemeinsame Verbindungsglied.

Dennoch ist die Kleiner-Relation transitiv. Gefordert wird nur: Wenn (wenn!) es ein gemeinsames Verbindungsglied gibt, springt die Relation über (transitiv kommt von lat. transire ~ hinübergehen).

Transitivität ist eine Eigenschaft, die einer Relation als Ganzes zukommt oder nicht. Das ist keine Eigenschaft einzelner Glieder der Relation.

15.10.2007, 18:32

Mazze

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Zum Verständnis und als Ergänzung warum $\begin{eqnarray*} \{(1,1),(2,2)\} \end{eqnarray*}$ transitiv ist. Eine Relation R heisst wie schon so oft gesagt transitiv wenn gilt :

$\begin{eqnarray*} \forall x,y,z . (x,y) \in R \wedge (y,z) \in R \Rightarrow (x,z) \in R \end{eqnarray*}$

Ok, das ist jetzt ne schicke Formel, aber fragen wir uns doch mal was die Negation davon ist, also wann eine Relation nicht transitiv ist , die Umkehrung obiger Formel ergibt :

$\begin{eqnarray*} \exists x,y,z : (x,y) \in R \wedge (y,z) \in R \wedge (x,z) \not \in R \end{eqnarray*}$

Das heisst also, eine Relation ist nicht transitiv, wenn es ein Paar (x,y), (y,z) in der Relation R gibt aber (x,z) nicht in der Relation ist. Für die obige Menge kann man das per Hand durchrechnen :

Paar Nummer 1:

Das erste Element der Relation ist (1,1) , also für uns x = 1, y = 1. Das einzige andere Paar in dem die 1 links vorkommt ist (1,1). Das heisst wir setzen also auch z = 1. Dann haben wir

$\begin{eqnarray*} (x_{=1},y_{=1}) \in R \wedge (y_{=1},z_{=1}) \in R \end{eqnarray*}$

naja, es ist aber auch

$\begin{eqnarray*} (x_{=1},z_{=1}) \in R \end{eqnarray*}$

ich denke das ist klar. Das selbe Argument kannst Du für (2,2) durchkauen. Man sieht dann das es kein Paar der Relation gibt was die Transitivität verletzt, man kann also sagen die Relation ist nicht nicht-transitiv, damit transitiv. Das Hauptargument bei obiger Menge ist schlichtweg : Es gibt keine nichttransitive Auswahl von Elementen der Relation.

15.10.2007, 19:16

Sythus

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Okay,
also danke erstmal an euch beide.
Durch die kleiner Relation ist mir einiges klargeworden - das ist wirklich sehr verständlich.

Die Sache mit (1,1) will mir trotzdem noch nicht ganz in den Kopf.

Zitat:

Paar Nummer 1:

Das erste Element der Relation ist (1,1) , also für uns x = 1, y = 1. Das einzige andere Paar in dem die 1 links vorkommt ist (1,1). Das heisst wir setzen also auch z = 1. Dann haben wir

Leopold, das du hier in der Relation (1,1) für x=1 und y = 1 nimmst ist mir verständlich. Aber wieso sagst du dann "Das einzig andere paar mit links 1 ist (1,1)" und nimmst es nochmal?
Und was hat es damit zu tun das die Zahl 1 links steht, wieso lässt sich daraus schließen das z = 1 ist.

Wenn ich begreife warum z = 1 ist, ist mir auch die Transitivität bei dem Beispiel klar.
(x1,y1),(y1,z1) --> (x1,z1)

Danke schonmal, gebt mich nicht auf ^^

15.10.2007, 19:31

Mazze

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Zitat:

Aber wieso sagst du dann "Das einzig andere paar mit links 1 ist (1,1)" und nimmst es nochmal?

Gibt es denn noch ein anderes Paar wo links eine 1 steht?

Die Annahme

$\begin{eqnarray*} (x,y) \in R, (y,z) \in R \end{eqnarray*}$

schliesst nicht aus das man für (x,y) und (y,z) nicht die gleichen Elemente nehmen kann , es muss nur im ersten Element die zweite Komponente mit der ersten Komponente des zweiten Elements übereinstimmen. Und das tut es ja.

15.10.2007, 19:49

Leopold

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Zitat:

Original von Sythus
Leopold, das du hier in der Relation (1,1) für x=1 und y = 1 nimmst ist mir verständlich.

Gemäß der Ungleichheitsrelation gilt $\begin{eqnarray*} \text{Leopold} \neq \text{Mazze} \end{eqnarray*}$ .

Nehmen wir doch die Ungleichheitsrelation $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ . Diese ist nicht transitiv. Und warum? Weil aus $\begin{eqnarray*} x \neq y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \neq z \end{eqnarray*}$ nicht zwangsläufig $\begin{eqnarray*} x \neq z \end{eqnarray*}$ folgt.

$\begin{eqnarray*} 3 \neq 5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 5 \neq 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3 \neq 3 \end{eqnarray*}$ ist aber falsch!

Bei der Transitivität darfst du nur Doppel-Paare x R y und y R z betrachten. Anderes interessiert nicht. Wenn für jedes (!) solche Doppel-Paar auch x R z gilt, dann ist die Relation transitiv.

15.10.2007, 19:55

Sythus

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Also betrachtet man bei der Prüfung auf Transitivät jedes einzelne Paar in einer Relation und nicht die Paare im Zusammenhang?

Gibts ein Zahlenbeispiel in der Richtung das nicht Transitiv wäre. Ich befürchte langsam ich bin zu dumm um das zu begreifen.

Du nimmst (1,1)
und setzt dieses Relationenpaar dann in die Definition für Transitivität ein, und
da auf
(x,y), (y,z) folgen muss um sagen zu können das (x,z) gilt

klar ist das y=1 ist also
(1,1),(1,z) z = ? für mich.
(x,y),(y,z)

Aber das z will mir nicht in den Kopf.
Ist es vielleicht so, das in diesem Fall wo keine genaue definition für die Relation gilt, also sowas wie x<y - mit der Definition der Transitivität echt gemacht werden kann was man will?

Vielleicht siehst du jetzt wie ich denke und wo mein Problem liegt.
traurig

15.10.2007, 20:01

Sythus

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Leopold, Mazze grad hats klick gemacht.
Gott

Vielen Dank euch beiden.

Ich werd mir ein paar Aufgaben dazu zu gemüte führen und gucken ob ichs wirklich verstanden habe^^

Viele dankbare Grüße

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