Differentialgleichung

15.10.2007, 21:45

Unkraut

Differentialgleichung

Hallo!
Habe folgende Differentialgleichung:
$\begin{eqnarray*} x'=1+x^4 \end{eqnarray*}$
Und nun soll ich zeigen, dass keine Lösung auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb(R) \end{eqnarray*}$ existiert.
Also geht die wohl schon früh gegen unendlich. Nur hab ich keine Ahnung, wie ich das zeige.
Bin irgendwann dabei hängen geblieben, die Partialbruchzerlegung von $\begin{eqnarray*} 1/x^4 \end{eqnarray*}$ zu bilden und zu integrieren. Das war mir zu kompliziert.
Kann man das nicht irgendwie zeigen, ohne irgendeine Lösung direkt auszurechnen?
Unkraut

15.10.2007, 23:18

20_Cent

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Was ist denn x ?
Eine Funktion von einer anderen Veränderlichen?
Finde ich etwas seltsam, deine Schreibweise, ich würde z.B. y'(x)=1+y^4(x) oder y'(x)=1+x^4 schreiben (das ist etwas verschiedenes!)

Wenn ich die zweite Variante nehme, dann gibt es die Lösung y(x)=x+1/5*x, offensichtlich ist das abgeleitet 1+x^4, also korrekt. Deswegen nehme ich an, du meinst die zweite Variante. Stimmt das?

mfG 20

15.10.2007, 23:59

Unkraut

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Ähm, nö. Wie das Thema schon sagt, soll das ja ne Differentialgleichung sein. Deshalb dachte ich auch, die Schreibweise wäre so ganz einleuchtend. Liest man doch oft so verkürzt. Also ich meinte:
$\begin{eqnarray*} x'(t)=1+x(t)^4 \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} x: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und x stetig differenzierbar, also nach der Gleichung sogar unendlich oft, weil die Ableitungen ja allesamt Polynome in x sind.
Na ja, ich hab bis jetzt mal sowas hier gemacht:
$\begin{eqnarray*} x'(t)/(x(t)^4+1)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int_{t_0}^{t_1}x'(t)/x(t)^4dt=t_1-t_0 \end{eqnarray*}$
Substitution:
$\begin{eqnarray*} \int_{x_0}^{x_1}1/(x^4+1)dx=t_1-t_0 \end{eqnarray*}$ ,
wobei $\begin{eqnarray*} x_0=x(t_0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_1=x(t_1) \end{eqnarray*}$ .
Was ich jetzt weiter machen wollte: Die linke Seite integrieren und gucken, wie man's nach x auflösen kann.
Aber das ist viel zu kompliziert. Die Partialbruchzerlegung sieht so aus:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^4+1}=\frac{1+i}{\sqrt{2}x+1+i}+\frac{1-i}{\sqrt{2}x+1-i}+\frac{-1+i}{\sqrt{2}x-1+i}+\frac{-1-i}{\sqrt{2}x-1-i} \end{eqnarray*}$
Und das kann/will ich nicht integrieren. Das muss doch irgendwie auf schlauere Art und Weise rauszufinden sein.

16.10.2007, 00:02

Unkraut

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Zitat:

Ähm, nö. Wie das Thema schon sagt, soll das ja ne Differentialgleichung sein

, wobei ich natürlch bei "Differentialgleichung" ein 'f' habe fallenlassen, aber das war nur ein Tippfehler.

16.10.2007, 09:01

klarsoweit

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Zitat:

Original von Unkraut
Aber das ist viel zu kompliziert. Die Partialbruchzerlegung sieht so aus:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^4+1}=\frac{1+i}{\sqrt{2}x+1+i}+\frac{1-i}{\sqrt{2}x+1-i}+\frac{-1+i}{\sqrt{2}x-1+i}+\frac{-1-i}{\sqrt{2}x-1-i} \end{eqnarray*}$
Und das kann/will ich nicht integrieren. Das muss doch irgendwie auf schlauere Art und Weise rauszufinden sein.

Wie wäre es mit:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^4 + 1} = 0,25 \cdot \left( \frac{\sqrt{2}x+2}{x^2 + \sqrt{2}x + 1} + \frac{-\sqrt{2}x+2}{x^2 - \sqrt{2}x + 1} \right) \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

16.10.2007, 14:35

Unkraut

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Hmm... Das erscheint mir jetzt auf den ersten, zweiten und dritten Blick noch nicht einfacher zu integrieren als die vollständige Partialbruchzerlegung.

16.10.2007, 14:59

klarsoweit

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Jetzt bewegen wir uns aber wieder im reellen Bereich und außerdem kann man das auf bekannte Integrale zurückführen.

16.10.2007, 15:29

mylittlehelper

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RE: Differentialgleichung

Zitat:

Original von Unkraut
Kann man das nicht irgendwie zeigen, ohne irgendeine Lösung direkt auszurechnen?
Unkraut

Ja, ich denke man kann. Der Ausgangspunkt ist der allseits beliebte Satz von Picard-Lindelöf in seiner globalen Version (Link).

Wenn man das obige Problem in der Form $\begin{eqnarray*} x'(t)=f(t,x(t))=1+x^4 \end{eqnarray*}$ darstellt, bleibt also zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f(t,x(t)) \end{eqnarray*}$ die geforderte Lipschitz-Bedingung verletzt. Was mir meiner Meinung nach auch gelungen sein dürfte, falls man $\begin{eqnarray*} ||x||\neq const. \end{eqnarray*}$ für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} x\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ (einmal stetig diffbare Funktion) annehmen darf.

Kleiner Tipp noch: $\begin{eqnarray*} a^2-b^2=(a-b)(a+b) \end{eqnarray*}$

So schau mal, ob du damit weiter kommst.

16.10.2007, 21:02

Unkraut

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@klarsoweit: Ach so. Hmm... Mir sind die aber nicht bekannt.

@mylittlehelper: Mkay, ich versuch mal ne Beweis-Skizze:
$\begin{eqnarray*} f(x,t)=x^4+1 \end{eqnarray*}$ erfüllt für $\begin{eqnarray*} x \in [-1,1] \end{eqnarray*}$ die lokale Lipschitz-Bedingung der Form $\begin{eqnarray*} |f(x_1)-f(x_2)|\leq 2|x_1-x_2| \end{eqnarray*}$ . Also gibt es z.B. für das Anfangswertproblem $\begin{eqnarray*} x(t_0)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x'(t)=x(t)^4+1 \end{eqnarray*}$ genau eine Lösung auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [0, blah] \end{eqnarray*}$ für genügend kleines blah.
Global kann allerdings $\begin{eqnarray*} \frac{|f(x_1)-f(x_2)|}{|x_1-x_2|}=\frac{|x_1^4-x_2^4|}{|x_1-x_2|}=\frac{|x_1^2-x_2^2|(x_1^2+x_2^2)}{|x_1-x_2|}=|x_1+x_2|(x_1^2+x_2^2) \end{eqnarray*}$ beliebig groß werden. Es gibt also keine globale Lipschitz-Konstante.
Aber der Satz von Picard-Lindelöf sagt ja nicht, dass es dann keine globale Lösung gibt. Er sagt ja nur umgekehrt, dass es eine Lösung gibt, falls eine globale Lipschitz-Konstante da ist. Und das andere kann man daraus doch nicht schließen. Oder was hab ich jetzt nicht gecheckt?

16.10.2007, 21:45

mylittlehelper

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Zitat:

Original von Unkraut
Und das andere kann man daraus doch nicht schließen. Oder was hab ich jetzt nicht gecheckt?

Doch, du hast (leider) Recht. Damit entfällt aber auch der Ansatz eine komplexe konstante Lösung (Einheitswurzel) zu finden und nachzuweisen, dass sie die einzige mögliche Lösung ist.

Ich hab mal biss gegoogelt und leider keinen brauchbaren Ansatz gefunden. Der Existenzsatz von Peano ließe sich umkehren, der benötigt allerdings nur Stetigkeit, welche unsere Funktion ja erfüllt. Tut mir leid, da kann ich dir nicht weiterhelfen unglücklich

16.10.2007, 21:51

mylittlehelper

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Zu den Integralen von klarsoweit...

Vielleicht hilft dir ja folgender Tipp auf die Sprünge: $\begin{eqnarray*} \int \frac{f'(x)}{f(x)}\dx =\ln |f(x)|+c \end{eqnarray*}$ . Dazu musst du ggf. den Bruch geeignet erweitern und den nicht-benötigten Teil deiner Erweiterung vor das Integral schreiben.

EDIT: Groben Schnitzer im Integral behoben.

EDIT2: Du musst sogar noch mehr tun: Wenn du zunächst wie beschrieben erweiterst, musst du zusätzlich noch einen konstanten Term abteilen und dieses Integral separat behandeln.

Ich habe das Integral mal mit dem IntTutor von Maple lösen lassen und die Ausgaben als Bild hochgeladen (Export gibts da leider nicht unglücklich

). Versuchs erstmal allein, aber im Notfall kannst du dann darauf zurückgreifen.

Hier gibts das Bild

17.10.2007, 01:30

Unkraut

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Ui, danke. Das mit dem $\begin{eqnarray*} \int \frac{f'(x)}{f(x)}dx \end{eqnarray*}$ ist mir auch schon durch den Kopf gegangen, aber ich hab's nicht auf die Reihe gekriegt, das auf die Form zu bringen. Werd mir mal bei Gelegenheit dieses Bild da gründlich angucken.

19.10.2007, 15:31

vektorraum

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Kurze Nachfrage zur gleichen Aufgabe:

In einer Aufgabe wird von $\begin{eqnarray*} C^1(\mathbb R,\mathbb R) \end{eqnarray*}$ gesprochen - diese Notation hatten wir bis jetzt nicht gehabt. Ist es der Raum der einmal stetig differenzierbaren Funktionen?

Problem: die Lösung des von klarsoweit angegebenen Integrals: ich scheitere an der Stelle

$\begin{eqnarray*} \int\cfrac{\dd x}{x^2+\sqrt{2}x+1} \end{eqnarray*}$

Hat da jemand eine Zielbringende Idee???

Danke für eure Hilfe!

19.10.2007, 15:40

klarsoweit

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Zitat:

Original von vektorraum
In einer Aufgabe wird von $\begin{eqnarray*} C^1(\mathbb R,\mathbb R) \end{eqnarray*}$ gesprochen - diese Notation hatten wir bis jetzt nicht gehabt. Ist es der Raum der einmal stetig differenzierbaren Funktionen?

Ja.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2+\sqrt{2}x+1} = \frac{1}{(x+0,5 \sqrt{2})^2 + 0,5} \end{eqnarray*}$

Jetzt die Substitution $\begin{eqnarray*} x = 0,5 \sqrt{2}u - 0,5 \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ .

Wobei das für diese Aufgabe nicht sonderlich geschickt war, das Integral quasi im Hauruck-Verfahren zu bestimmen. Der Weg über Picard-Lindelöf ist sicherlich die bessere Wahl.

19.10.2007, 16:07

vektorraum

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Danke für den Tipp. Klar, über die Existenzsätze ginge das schneller, bloß rechne ich die Aufgaben mit einer Kommilitonin, die gerade mit DGLs angefangen hat, und somit noch keine Existenzsätze zur Verfügung hat.

Dankeschön Wink

20.10.2007, 01:17

Tomtomtomtom

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Man sucht sich eine möglichst einfache Differentialgleichung, die folgenden Bedingungen genügt:

* sie hat keine globale Lösung
(dies kann man entweder durch explizite Lösung zeigen oder durch Existenzsätze)
* für eine Lösung der eigentlich zu betrachtenden DGL gilt, daß sie die Lösung der einfacheren Gleichung majorisiert

Bei der Aufgabe hier könnte das Studium des folgenden kurzen Artikels nützen:

http://matheplanet.com/default3.html?cal...le.php?sid=1089

Ich habs nicht in Einzelheiten aufgeschrieben, aber bin mir relativ sicher, daß es so irgendwie funktioniert.

21.10.2007, 16:27

LudwigXIV

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Hallo,

ich hab die gleiche Aufgabe und hab für das Integral am Ende
$\begin{eqnarray*} \int ~ \frac{1}{1+x^4}dx = \dots = \frac{1}{4\sqrt{2}} (-2arctan(1 - \sqrt{2}x) + 2arctan(1 + \sqrt{2}x) - ln(-1 + \sqrt{2}x - x^2) + ln(1 + \sqrt{2}x + x^2)) \end{eqnarray*}$

Das ist erstmal eine ziemlich lange Lösung vorallem ist die ja noch nicht fertig es kommt ja noch die Rücksubstitution x(t) = x einfügen also :
$\begin{eqnarray*} [ \frac{1}{4\sqrt{2}} (-2arctan(1 - \sqrt{2}x(t)) + 2arctan(1 + \sqrt{2}x(t)) - ln(-1 + \sqrt{2}x(t) - x(t)^2) + ln(1 + \sqrt{2}x(t) + x(t)^2))]_{t_0}^{t_1} = t_1 - t_0 \end{eqnarray*}$

Jetzt stellt sich für mich die Frage was ich dadurch gewonnen habe? Ich muss ja zeigen, dass es keine Lösung gibt, also kein $\begin{eqnarray*} t_1, t_0 \end{eqnarray*}$ existiert.

Für mich sieht das eher nach einer Verkomplizierung aus verwirrt

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