Kreuzprodukt + Fläche bzw Winkel berechen

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Berndy Auf diesen Beitrag antworten »
Kreuzprodukt + Fläche bzw Winkel berechen
Hallo miteinander,

Ich habe eine Frage zu einer Aufgabe.
Ich hoffe es kann mir jemand weiterhelfen.

Also ich habe 2 Vekoren. Z.B. und

Nun will ich das Kreuzprodukt der beiden Vektoren berechnen.
Dies ist dann mein
Dieser ist nach Definiton orthogonal zu den Vektoren und .

Nun meine erste Frage: Kann man diese Orthogonalität noch einmal zusätzlich anhand irgendeiner Rechnung beweisen?

Meine zweite Frage ist: Will ich die Fläche des von den Vektoren und aufgespannten Parallelogramms berechnen geht das doch mit folgender Formel:
Woher weiß ich aber nun den Winkel zwischen den beiden Vektoren,wie kann ich diesen berechnen? Ohne diesen Winkel kann ich ja sonst den Flächeninhalt nicht berechnen oder?
Ich würde mich sehr freuen wenn mir da jemand weiterhelfen könnte.

Liebe Grüße
Bernd
therisen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kreuzprodukt + Fläche bzw Winkel berechen
Zitat:
Original von Berndy
Nun meine erste Frage: Kann man diese Orthogonalität noch einmal zusätzlich anhand irgendeiner Rechnung beweisen?


Natürlich. Zwei Vektoren sind genau dann orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt verschwindet, d.h. gleich Null ist.

Zitat:
Original von Berndy
Meine zweite Frage ist: Will ich die Fläche des von den Vektoren und aufgespannten Parallelogramms berechnen geht das doch mit folgender Formel:
Woher weiß ich aber nun den Winkel zwischen den beiden Vektoren,wie kann ich diesen berechnen? Ohne diesen Winkel kann ich ja sonst den Flächeninhalt nicht berechnen oder?


Den Winkel brauchst du nicht. Deswegen ist das Kreuzprodukt ja so praktisch Augenzwinkern
Berndy Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke schon mal bis dahin.

Doch wie funktioniert das dann wenn ich den Winkel gar nicht brauche?
Das ist doch meine Formel:



Links steht doch jetzt mein Vektor , dieser steht doch senkrecht auf und . Ist dieser dann auch der Betrag der Fläche des Parallelogramms? Oder wie funktioniert das?
LG Bernd
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube therisen meinte diese Formel? Oder eher gesagt, diese Art der Berechnung. Augenzwinkern

LG,
tigerbine

Edit: Ich packe das mal in die Schulmathematik -> Geometrie.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau. Danke Bine Augenzwinkern
Berndy Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich euch jetzt richtig verstanden habe, dann wollt ihr mir sagen dass der Betrag der Fläche ist oder? Das heißt also in meinem Beispiel wäre es
Hab ich das richtig verstanden?
Lg Bernd
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist der orthogonale Vektor. Seine Länge (Ist schon positiv) ist die Fläche des durch die Vektoren aufgespannten Parallelogramms.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Berndy
Also wenn ich euch jetzt richtig verstanden habe, dann wollt ihr mir sagen dass der Betrag der Fläche ist oder? Das heißt also in meinem Beispiel wäre es
Hab ich das richtig verstanden?
Lg Bernd


das ist - gelinde gesagt - saumäßig ungenau.
und daher dürften auch deine problemchen stammen



ist der einheitsvektor in der richtung von , steht also senkrecht auf die von und aufgespannte ebene.

und damit hast du als fläche des parallelogramms:



und das ist ganz was anderes, als du hingemalt hast unglücklich

und zur kontrolle kannst du ja den winkel auch aus dem skalarprodukt berechnen:



was in beiden varianten liefert geschockt

edit: der ordnung halber
Berndy Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich versteh das immer noch nicht.

Tigerbine hat geschrieben:
Zitat:
Nein, das ist der orthogonale Vektor. Seine Länge (Ist schon positiv) ist die Fläche des durch die Vektoren aufgespannten Parallelogramms.


Was willst du mir damit sagen: Seine Länge ist die Fläche? Darunter kann ich mir nichts richtiges vorstellen. Kannst du mir das bitte nochmal erklären?


Riwe hat geschrieben:
Zitat:
und damit hast du als fläche des parallelogramms:


Ist ein Skalarprodukt oder eine einfache Multipliation?
Und wie kommst du anhand von deiner augeführten Formel auf die Fläche und den Winkel
Könntest du mir das bitte anhand eines einfachen Rechenbeispiels zeigen?

MFG Bernd
Berndy Auf diesen Beitrag antworten »

HEY, das mit der Flächenberechnung hab ich jetzt kapiert.
War nur ein kleiner Denkfehler bei mir drin.
Den Winkel kann ich mit dieser Formel auch berechnen. Doch was mich jetzt noch brennend interessieren würde ist:Wie kann ich den Winkel mit Hilfe des Kreuzproduktes berechnen?
Kann mir da jemand ein Beispiel geben?

Viele Grüße
Bernd
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

mit bezeichnet man üblicherweise den betrag eines vektors,
daher hast du die skalaren größen

analog




und die multiplikation von 2 skalaren ergibt


im gegensatz zur skalaren multplikation von 2 vektoren



damit hast du nun mit dem vektorprodukt

und mit dem skalarprodukt


alles klar verwirrt

(darum steht beim vektorprodukt auch ein einheitsvektor !)
sonst alles von vorne
Berndy Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!
Jetzt ist alles klar!!!
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