indirekter Beweis korrekt?

16.10.2007, 15:24

hmer

indirekter Beweis korrekt?

Hallöchen,

ist dieser indirekte Beweis korrekt? Ich glaube bei dem zweiten Teil ist nen Fehler drinnen...

Die Aussage lautet: $\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb{N}: \sqrt n \in \mathbb{N} \vee \sqrt n \not \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$

Ich dachte man macht das per Widerspruch.

Also es existiert ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sqrt n \not \in \mathbb{N} \wedge \sqrt n \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ , dann gäbe es $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ so, dass

$\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \not \ni \sqrt n = \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ , dann wäre sicher b > a oder a > b wobei a nicht durch b teilbar.

Es ist dann: $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \ni n = \frac{a^2}{b^2} \end{eqnarray*}$ ,

aber es ist stets: $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} < 1 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \not \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

oder $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} > 1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \in \mathbb{Q}/\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , Widerspruch, d.h. ein solches n existiert nicht!

Danke für die Hilfe,
hmer

16.10.2007, 15:39

Tobias

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Ich hab weder deine Fallunterschiedung noch deinen Widerspruch verstanden.

16.10.2007, 15:56

therisen

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Quadratwurzel/ rationa oder irrational

17.10.2007, 19:44

hmer

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hey theriesen,

danke für den hinweis. ich weiß aber nicht, ob ich das richtig verstanden habe, oder ob da nicht noch ein fall behandelt werden muss.

$\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb{N}: \sqrt n \in \mathbb{N} \vee \sqrt n \not \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$

Angenommen $\begin{eqnarray*} \sqrt n \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ , d.h. es existieren natürliche Zahlen a, b teilerfremd derart, dass $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} = \sqrt n \Rightarrow a^2 = b(nb) \end{eqnarray*}$
d.h. b teil nb, da aber a und b teilerfremd, sind auch a^2 und b teilerfremd, deswegen muss b = 1 sein.

D.h. $\begin{eqnarray*} n = a^2 \Rightarrow \sqrt n = a \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Ich glaub ich hab das so einigermaßen verstanden, aber ich habe ja in der Aussage
$\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb{N}: \sqrt n \in \mathbb{N} \vee \sqrt n \not \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ und jetzt habe ich quasi einen Widerspruchsbeweis geführt.

Wenn ich annehme $\begin{eqnarray*} \sqrt n \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ist das gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} \neg (\sqrt n \in \mathbb{N} \vee \sqrt n \not \in \mathbb{Q}) \end{eqnarray*}$ ,

weil ich muss doch eigentlich das Gegenteil annehmen, also angenommen es gibt ein n mit $\begin{eqnarray*} n \not \in \mathbb{N} \wedge \sqrt n \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ,

oder wird oben nicht eben das zu Widerspruch geführt, weil mein n dann doch eine natürliche Zahl ist?

Vielen dank und viele grüße
hmer

18.10.2007, 13:47

hmer

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sorry...wahrscheinlich antwortet niemand, weil das wieder unklar war.

ich will eigentlich nur wissen, ob $\begin{eqnarray*} \neg (\sqrt x \in \mathbb{N} \vee \sqrt x \not \in \mathbb{Q}) \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} \sqrt x \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ist.

Dann ist alles klar.

Grüße und dank
hmer

18.10.2007, 13:52

therisen

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Die Aussage ist ja gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{x}\in\mathbb Q\setminus\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Es gilt also sicherlich $\begin{eqnarray*} \sqrt x\in\mathbb Q \end{eqnarray*}$ , aber das meinst du wohl nicht Augenzwinkern

18.10.2007, 22:32

hmer

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hallo theriesen.

ja die frage ist einfach, ob es für den obigen beweis wirklich reicht eben die annahme $\begin{eqnarray*} \sqrt n \in \mathbb{Q} /\ \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ zum Widerspruch zu führen um die Aussage zu beweisen.

denn wenn ich den beweis verstanden habe, wird eben das gemacht.. oder?

der Widerspruch ist dann erreicht, wenn herauskommt, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ was ja im Widerspruch zur Annahme $\begin{eqnarray*} \sqrt n \in \mathbb{Q} /\ \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ steht.

gruß
hmer

18.10.2007, 22:45

klarsoweit

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RE: indirekter Beweis korrekt?

Zitat:

Original von hmer
$\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \not \ni \sqrt n = \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ , dann wäre sicher b > a oder a > b wobei a nicht durch b teilbar.

Es ist dann: $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \ni n = \frac{a^2}{b^2} \end{eqnarray*}$ ,

Ich würde das so formulieren:
Wenn a und b teilerfremd sind, dann auch a² und b². Also ist $\begin{eqnarray*} n = \frac{a^2}{b^2} \end{eqnarray*}$ keine natürliche Zahl.

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