Ebenenschar + Schnittgerade

16.10.2007, 20:40

valina

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Ebenenschar + Schnittgerade

also bei dieser aufgabe steh ich ziemlich wie der ochs vorm berg, wäre super, wenn mir jemand von euch helfen könnte...

Gegeben ist für jede reelle Zahl k eine Ebene $\begin{eqnarray*} E_k \end{eqnarray*}$ . Alle diese Ebenen schneiden sich in einer Geraden g. Bestimmen Sie die Gleichung dieser Geraden.

$\begin{eqnarray*} E_k: [ \vec{x} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} ] \begin{pmatrix} 2k \\ 4 \\ 3-k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

also das, was ich bisher gemacht hab, ist das ding in koordinatenform umwandeln.. und da hört es schon auf.

16.10.2007, 20:42

therisen

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Sei $\begin{eqnarray*} k\neq s \end{eqnarray*}$ . Berechne $\begin{eqnarray*} E_k\cap E_s \end{eqnarray*}$ . Fertig.

16.10.2007, 20:45

valina

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Naja, das ist genau mein Problem...

Normalerweise setzt man die Ebene und die Gerade ja gleich, um einen Schnittpunkt zu ermitteln... und wie mach ich denn das hier bei?

16.10.2007, 20:49

therisen

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Das Stichwort "Schnitt zweier Ebenen" sollte dir etwas sagen. Ansonsten schau mal in deinen Unterlagen nach. Ich bezweifle, dass dein Lehrer dir Aufgaben gibt, die du mit dem im Unterricht behandelten Stoff nicht lösen kannst.

16.10.2007, 20:51

valina

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ähm, ich sitze an meinen abivorbereitungen.. im unterricht haben wir nie ebenenscharen gemacht und in den übungsaufgaben, die wir machen sollen, beinhaltet ein paar davon ^^

16.10.2007, 20:56

therisen

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Ich rede ja auch nicht von Ebenenscharen. Sondern davon, dass du zwei Ebenen hast und diese schneidest. Wenn ihr nicht mal das im Unterricht behandelt habt, kannst du das Abi gleich vergessen Augenzwinkern

Augenzwinkern

http://sites.inka.de/picasso/Heneka/ebenen.htm#Koordinaten

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16.10.2007, 21:00

riwe

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versuche halt z.b. $\begin{eqnarray*} 0=k\neq s=1 \end{eqnarray*}$ , wenn du nicht allgemein rechnen willst, und bestimme deren schnittgerade

16.10.2007, 21:48

valina

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ähm, ich weiß doch, wie ich zwei ebenen schneide ^^ ich weiß nur nich, womit ich schneiden soll ^^

16.10.2007, 22:14

mYthos

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Die eine Ebene (k) mit der anderen (s).

Übrigens, wie steht's mit deinen anderen zwei Aufgaben? Du gibst nach erhaltener Hilfe kein Feedback mehr, das gehört nicht zum guten Ton!

mY+

16.10.2007, 22:20

valina

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welche andere denn?? ich hab doch nur die eine...??

inwiefern feedback? hab doch immer was geschrieben..
edit: ok, jetzt hab ich's gesehen, hatte deine letzten antworten nicht mehr gesehen

16.10.2007, 22:55

mYthos

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Du kannst einmal für k = 0, das zweite Mal für k = 1 in die Ebenengleichung einsetzen. Damit hast du zwei Ebenen aus der Schar, die du schneiden kannst. Diese Methode kann zwar zur Bestimmung der (einer) Schnittgeraden dienen, ist aber keinesfalls der Beweis dafür, dass sich ALLE Ebenen der Schar in dieser schneiden. Dazu müsstest du schon die zwei Ebenen allgemein für zwei voneinander verschiedene k ( $\begin{eqnarray*} k_1, \ k_2 \end{eqnarray*}$ ) aufstellen und diese schneiden. Wenn alles glatt verläuft, ist die nun entstehende Schnittgerade unabhängig von den verschiedenen Werten, die der Parameter k annehmen kann.

mY+

17.10.2007, 01:13

valina

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och menno, das weiß ich doch, aber eben nich wie..

17.10.2007, 01:23

Poff

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RE: Ebenenschar + Schnittgerade

Zitat:

Original von valina
$\begin{eqnarray*} E_k: [ \vec{x} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} ] \begin{pmatrix} 2k \\ 4 \\ 3-k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} E_s: [ \vec{x} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} ] \begin{pmatrix} 2s \\ 4 \\ 3-s \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Ausmultiplizieren und 'schneiden', oder wie auch immer du das machen willst.

-3*k+2*k*x-5+4*y+3*z-z*k = 0
-3*s+2*s*x-5+4*y+3*z-z*s = 0
...
...

17.10.2007, 10:25

riwe

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Zitat:

Original von riwe
versuche halt z.b. $\begin{eqnarray*} 0=k\neq s=1 \end{eqnarray*}$ , wenn du nicht allgemein rechnen willst, und bestimme deren schnittgerade

oder du versuchst doch den weg für "einfache gemüter" wie ich es bin

$\begin{eqnarray*} E(k=0): 4y + 3z=5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(k=1): x+2y+z = 4 \end{eqnarray*}$

und schneidest diese 2 ebenen der schar
mit viel glück könnte so etwas herauskommen

$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 2\\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das kannst du ja zur kontrolle in $\begin{eqnarray*} E_k \end{eqnarray*}$ einsetzen

17.10.2007, 12:32

mYthos

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@werner

Nach wie vor meine ich, dass dies nur zur Kontrolle dienen kann. Die exakte Methode ist der allgemeine Schnitt. Und dieser ist gar nicht mal so schwer, ob nun mit t1, t2 oder mit k, s bezeichnet wird.

@valina

Tipp: Subtraktion der Gleichungen bringt's, danach x = 1 + 2t setzen!

k von s verschieden!

allg.:

2kx + 4y + (3 - k)z = 3k + 5
2sx + 4y + (3 - s)z = 3s + 5
------------------------------------------
2(k-s)x - (k-s)z = 3(k-s)

nun durch (k-s) dividieren, denn k-s ist ungleich Null.

....

mY+

17.10.2007, 15:13

valina

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macht man denn das immer, die gegebene ebene mit der selben unter verwendung anderer variablen zu schneiden?

17.10.2007, 15:14

therisen

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Bei genau dieser Fragestellung ja.

17.10.2007, 15:15

valina

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gut. mehr wollte ich ja gar nicht wissen.
danke.

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