Vollständige Induktion [für Summe x²]

17.10.2007, 19:52

steka

diesmal haperts an den grundrechenarten.....

Ich will beweisen, dass

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k² = \frac{1}{6} * (2n^3 + 3n^2 + n) \end{eqnarray*}$

gilt.

Im Induktionsschritt habe ich nun Folgendes aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~n²+ \frac{1}{6} * (2(n+1)^3 + 3(n+1)^2 + n+1) \end{eqnarray*}$

Erklärt mich für doof, aber ich weiss nicht wies weiter geht smile

Man muss ausklammern, aber ich weiss nicht wie und wie es danach aussieht...

17.10.2007, 22:28

tigerbine

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1. Boardsuche. Das ist eine klassische Aufgabe

Behauptung:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k² = \frac{1}{6} \cdot n(n+1)(2n+1) \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang n=1

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^1~k² = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 = 1 \end{eqnarray*}$ Freude

Induktionsschritt

Sei die Behautung richtig für n. Dann ist:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k² = \sum_{k=1}^n~k² + (n+1)^2 = \frac{1}{6} \cdot n(n+1)(2n+1) + (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Nun mal ein bisserl umformen.

18.10.2007, 10:45

steka

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ich quäle mich damit immer noch rum.

bin aber bei der version geblieben, die auch auf dem aufgabenblatt steht. Auf deine form wäre ich in einer klausur nie im leben gekommen, hätte höchstens (n+1)^3 hingeschrieben Augenzwinkern

Aus meiner Verzweifelung heraus habe ich einfach folgendes ausgerechnet :

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}*(2n^3+3n^2+n)+ (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

-->

$\begin{eqnarray*} \frac{2n^3+9n²+13n+6}{6} \end{eqnarray*}$

komme aber dort auch nicht weiter... der workshop induktion hat mich nicht weitergebracht, ich muss verstehen warum etwas so ist, wie es ist, ansonsten ergibt es für mich schlichtweg keinen sinn und diese beispiele habe ich nach 20 minuten schon nicht mehr in erinnerung.

18.10.2007, 10:48

klarsoweit

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Das generelle Problem, das viele mit der vollständigen Induktion haben, liegt daran, daß keiner beim Induktionsschritt mal sauber Induktionsvoraussetzung und das Induktionsziel (sprich: was ist überhaupt zu zeigen) hinschreibt. Letzteres solltest du mal tun, dann sehen wir weiter.

18.10.2007, 10:55

steka

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Klar, die erfahrung habe ich mit meinen kollegen aus dem studium auch gemacht. Keiner hat eine ahnung, was er überhaupt beweisen muss.

Nach meiner Meinung ist zu zeigen, dass man anstatt k² genau so gut rechnen kann : $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}*(2n^3+3n^2+n) \end{eqnarray*}$

Vollständige Induktion bedeutet für mich soweit, dass ich dann im Prinzip $\begin{eqnarray*} (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ so in $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}*(2n^3+3n^2+n) \end{eqnarray*}$ reinwurschteln kann, dass nachher das zu beweisende rauskommt.
Also quasi die integrierung von (n+1)², ohne dass man es später merkt Augenzwinkern

18.10.2007, 11:03

klarsoweit

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Zitat:

Original von steka
Nach meiner Meinung ist zu zeigen, dass man anstatt k² genau so gut rechnen kann : $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}*(2n^3+3n^2+n) \end{eqnarray*}$

Genau da hängt es schon. Das ist keine Aussage, sondern ein hingeknallter Term. Da kann man ebenso gut sagen, nachts ist es kälter als draußen.

Also das ist die Induktionsvoraussetzung:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k² = \frac{1}{6} * (2n^3 + 3n^2 + n) \end{eqnarray*}$

Das Induktionsziel erhältst du, indem du in obiger Aussage jedes n durch n+1 ersetzt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k² = \frac{1}{6} * (2(n+1)^3 + 3(n+1)^2 + (n+1)) \end{eqnarray*}$

Letzteres mußt du also mit Hilfe der Induktionsvoraussetzung zeigen.

18.10.2007, 11:24

steka

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gut, dann bin ich wirklich komplett aufm holzweg... absolut keine ahnung was ich da nun tun muss...

Dieser dämliche beweis verfolgt mich schon so lange... mit allen anderen Dingen in der Mathematik (so weit) komme ich klar und kann sie mir durch exzessives lernen (im vergleich zu anderen fächern wirklich exzessiv..) beibringen.
Der beweis ist für mich sowas wie das schwarze loch.

ich denke auf deine form

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k² = \frac{1}{6} * (2(n+1)^3 + 3(n+1)^2 + (n+1)) \end{eqnarray*}$

muss ich jetzt mit

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k² = \frac{1}{6} * (2n^3 + 3n^2 + n)+(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

kommen, oder ?

18.10.2007, 11:53

klarsoweit

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Zitat:

Original von steka
muss ich jetzt mit

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k² = \frac{1}{6} * (2n^3 + 3n^2 + n)+(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

kommen, oder ?

Klares jein. Das kann ja so nicht gelten. Laut Induktionsvoraussetzung gilt "nur"

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k² = \frac{1}{6} * (2n^3 + 3n^2 + n) \end{eqnarray*}$

Wie geht man nun vor. Man nimmt schlicht und ergreifen die linke Seite von

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k² = \frac{1}{6} * (2(n+1)^3 + 3(n+1)^2 + (n+1)) \end{eqnarray*}$

und schreibt $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k² = \sum_{k=1}^n~k² + (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du für den Summenausdruck die Induktionsvoraussetzung einsetzen.

18.10.2007, 12:17

steka

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Zitat:

Original von klarsoweit

und schreibt $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k² = \sum_{k=1}^n~k² + (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du für den Summenausdruck die Induktionsvoraussetzung einsetzen.

Ja, aber wenn ich das tue erhalte ich doch eben

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k² = \frac{1}{6} * (2n^3 + 3n^2 + n)+(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

oder nicht ?

klar, ich darf nicht n schreiben, sondern muss korrekterweise auch n+1 als obere grenze nehmen.

herrje, nun weiss ich echt gar nix mehr Augenzwinkern

Keine Ahnung auf welche Form ich dann wieder stoßen muss...
ich nehme an auf diese

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k² = \frac{1}{6} * (2(n+1)^3 + 3(n+1)^2 + (n+1)) \end{eqnarray*}$

denn deren gültigkeit will ich ja beweisen.

18.10.2007, 12:35

klarsoweit

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Zitat:

Original von steka
Ja, aber wenn ich das tue erhalte ich doch eben

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k² = \frac{1}{6} * (2n^3 + 3n^2 + n)+(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

oder nicht ?

Richtig.

Zitat:

Original von steka
Keine Ahnung auf welche Form ich dann wieder stoßen muss...
ich nehme an auf diese

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k² = \frac{1}{6} * (2(n+1)^3 + 3(n+1)^2 + (n+1)) \end{eqnarray*}$

denn deren gültigkeit will ich ja beweisen.

Auch richtig. Du mußt also die rechte Seite der oberen Gleichung nehmen und so umformen, daß die rechte Seite der unteren Gleichung rauskommt.

18.10.2007, 12:36

tigerbine

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Meine Darstellung
kommt von einer geometrischen Veranschaulichung der Summenformel. Für das Prinzip der VI ist das aber egal. Wie klarsoweit schon (mehrfach) erwähnte, muss man sich klarmachen, was man nach dem Umformen erhalten will. Dabei hilft ein Blick in die Behauptung:

Zitat:

Original von tigerbine
1. Boardsuche. Das ist eine klassische Aufgabe

Behauptung:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k² = \frac{1}{6} \cdot n(n+1)(2n+1) \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang n=1

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^1~k² = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 = 1 \end{eqnarray*}$ Freude

Also soll rauskommen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k² = \frac{1}{6} \cdot [n+1]([n+1]+1)(2[n+1]+1) \end{eqnarray*}$ (**)

Nun kann man z.B. durch Ausmultiplizieren zeigen, dass (*) und (**) gleich sind.

18.10.2007, 14:01

steka

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und dann steh ich wieder vor dem selben Problem wie am Anfang...

Wie krieg ich das vernünftig aufgelöst. Soweit habe ich nur:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} * (2n^3+3n^2+n)+ (n+1)^2 \end{eqnarray*}$

ausmultiplizieren... ok.

entweder habe ich dann:
$\begin{eqnarray*} \frac{((n+1)^3+6(n+1)^2)}{6} \end{eqnarray*}$

oder alternativ:
$\begin{eqnarray*} \frac{(2n^3+3n^2+n)+6*(n^2+2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$

18.10.2007, 14:15

tigerbine

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Beide Darstellung kann man wohl nicht als komplett ausmultipliziert und nach Potenzen geordnet bezeichnen.

18.10.2007, 14:22

steka

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mhhh okay

$\begin{eqnarray*} \frac{2n^3+9n^2+13n+6}{6} \end{eqnarray*}$

19.10.2007, 01:09

tigerbine

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Und kommt das bei (*) und (**) raus? geschockt

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k² &&= \sum_{k=1}^n~k² + (n+1)^2 = \frac{1}{6} \cdot n(n+1)(2n+1) + (n+1)^2 \\&&=\frac{1}{6}(2n^3+3n^2+n) + n²+2n+1 = \\&&=\frac{2n^3+9n^2+13n+6}{6} \end{eqnarray*}$ (*)

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~k² &&= \frac{1}{6} \cdot [n+1]([n+1]+1)(2[n+1]+1) \\&&=\frac{1}{6}(n+1)(n+2)(2n+3) =\\&&=\frac{2n^3+9n^2+13n+6}{6} \end{eqnarray*}$ (**)

Somit kommt in beiden Fällen das gleiche heraus. Für den Beweis muss man dann (*) von oben nach unten abschreiben und dann (**) von unten nach oben. Dann man man gezeigt, dass mit der Gültigkeit der Behauptung für n auch die Gültigkeit der Behauptung für (n+1) folgt.

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