termumformen

18.10.2007, 12:13

ulibear

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termumformen

hab ein problem bei einer termumformung:

gegeben folgender term, der vereinfacht werden soll

T(x,y) = 1/x + x+y/x²-xy - x+y/xy+y²

ich hab jetzt erstmal versucht die brüche weg zu bekommen, in dem ich jeweils mit dem nenner multipliziert hab, das brachte mich zu folgenden zwischen ergebniss:

T(x,y) = (x²-xy) * (xy+y²) + x(x+y) * y(x+y) - x(x+y) * x(x-y)

wen ich die klammern auflöse bekomm ich folgendes ergebniss:

T(x,y) = x²xy+x²y²-2xy-y²xy+x²+yx * y²+yx

das dieses ergebniss nicht einfacher ist, als die ursprungsform seh ich auch ohne so. bin mir ziemlich sicher, das dieses ergebniss absoluter schwachsinn ist. allerdings hab ich keinen plan wie es richtig geht. kann mir jemand einen denkansatz geben, wie es richtig geht ?

18.10.2007, 12:24

trauriger-igel

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Zitat:

ich hab jetzt erstmal versucht die brüche weg zu bekommen, in dem ich jeweils mit dem nenner multipliziert hab, das brachte mich zu folgenden zwischen ergebniss:

Ich nehme mal an du meinst den Hauptnenner, oder? Gib ihn bitte mal an, den sehen wir gleich ob du richtig rechnest.

18.10.2007, 12:38

ulibear

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HN wäre dann

x*(x²-xy)*(xy+y²)

is das richtig?

18.10.2007, 13:08

trauriger-igel

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Hmmm, tut mir leid. Finde in deiner Rechnung auch keinen Fehler.

18.10.2007, 13:34

macky

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hey..
also ich würde vllt, nachdem du alles auf den Haupnenner gebracht hast, erst mal so viel wie möglich ausklammern..(anstatt auszurechnen..)
und dann könntest du später kürzen.. smile

smile

18.10.2007, 16:05

ulibear

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ich hab mal etwas rumprobiert und jetzt ein kurzes ergebniss raus, was ich für eine solche aufgabe als ein typisches ergebniss bezeichnen würde. hier mal der rechenweg, evtl. kann dann einer sagen ob das totaler blödsinn oder richtig ist.

Aufgabe, vereinfache soweit wie möglich:

T(x,y) = 1/x + x+y/x²-xy - x+y/xy+y2

Der Hauptnenner ist: x * (x²-xy) * (xy+y²)

((x²-xy)*(xy+y²) + (x+y)*x*(xy+y²) - (x+y)*x*(x²-xy) ) / x * (x²-xy) * (xy+y²)

jetzt kann ich im zähler erstmal die ganzen terme zusammenfassen die sich gegenseitig aufheben und ausklammern, bringt mich zu diesem ergebniss:

(y-x) / (x-y)

kann das jemand nachvollziehn und sagen ob das richtig oder falsch ist.

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18.10.2007, 16:11

klarsoweit

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Zitat:

Original von ulibear
T(x,y) = 1/x + x+y/x²-xy - x+y/xy+y2

unglücklich

Da solltest du besser Latex verwenden oder zumindest Klammern setzen.

Gemeint ist wohl folgendes:

$\begin{eqnarray*} T(x,y) = \frac 1 x + \frac{x+y}{x^2-xy} - \frac{x+y}{xy+y^2} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von ulibear
Der Hauptnenner ist: x * (x²-xy) * (xy+y²)

Wenn du die Nenner von den beiden letzten Brüchen faktorisierst (x bzw. y ausklammern) kannst du im 3. Bruch einmal kürzen und einmal den Faktor x sparen.

18.10.2007, 16:15

Airblader

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Edit: Nein, hat nicht gestimmt Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

18.10.2007, 16:20

ulibear

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Zitat:

Original von Airblader
Edit: Nein, hat nicht gestimmt Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

was hat den nicht gestimmt ?

18.10.2007, 16:24

klarsoweit

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Bitte schau in meinen Beitrag, dann sollte manches klarer werden.

18.10.2007, 16:35

ulibear

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$\begin{eqnarray*} T(x,y) = \frac 1 x + \frac{x+y}{x^2-xy} - \frac{x+y}{xy+y^2} \end{eqnarray*}$

Wenn ich die terme zerlege, komme ich ja zu diesem ergebniss:

$\begin{eqnarray*} T(x,y) = \frac 1 x + \frac{x+y}{x(x-y)} - \frac{x+y}{y(x+y)} \end{eqnarray*}$

ich bin nicht sonderlich fit in den ganzen regel, auch wenn ich sie mir schon durchgelesen hab, fehlt mir das gefühl sie richtig anzuwenden.

kann ich dann im 2ten term das x aus dem zähler/nenner kürzen und im dritten das y ?

das ich dann quasi dieses ergebniss hab?

$\begin{eqnarray*} T(x,y) = \frac 1 x + \frac{y}{x-y} - \frac{x}{x+y} \end{eqnarray*}$

oder hab ich es mir dann zu einfach gemacht?

18.10.2007, 16:39

klarsoweit

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Zitat:

Original von ulibear
oder hab ich es mir dann zu einfach gemacht?

In der Tat. Du kannst nur gleiche Faktoren aus Zähler und Nenner rauskürzen. Beim 2. Bruch gibt es keine gleichen Faktoren und beim 3. Bruch hast du falsch gekürzt.

Ich schreibe die faktorisierte Version mit einer Klammer im 3. Bruch hin. Vielleicht wird es klarer, was dann gekürzt werden kann:

$\begin{eqnarray*} T(x,y) = \frac 1 x + \frac{x+y}{x(x-y)} - \frac{1 \cdot (x+y)}{y(x+y)} \end{eqnarray*}$

18.10.2007, 16:43

ulibear

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achso, das heist im dritten term stände dann nur noch

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{y} \end{eqnarray*}$

?!?

18.10.2007, 16:44

klarsoweit

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Freude

18.10.2007, 16:55

ulibear

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ok, wenn ich dann den neuen term mit dem hauptnenner bilde komme ich auf dieses ergebniss:

$\begin{eqnarray*} T(x,y) = \frac{x(x-y)y + (x+y)xy - xx(x-y)}{xx(x-y)y} \end{eqnarray*}$

jetzt kann ich doch wieder kürzen?, das xx(x-y)

=> $\begin{eqnarray*} T(x,y) = \frac{x(x-y)y + (x+y)xy - 1}{y} \end{eqnarray*}$

18.10.2007, 16:57

Airblader

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Aus Summen kürzen nur die ... unglücklich

unglücklich

air

18.10.2007, 17:02

ulibear

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$\begin{eqnarray*} T(x,y) = \frac{x(x-y)y + (x+y)xy - xx(x-y)}{xx(x-y)y} \end{eqnarray*}$

wieso is das den ne summe? kann ich dann jetzt die klammern auflösen?

18.10.2007, 17:08

klarsoweit

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Zitat:

Original von ulibear
wieso is das den ne summe?

Weil im Zähler so etwas da steht wie Hugo + Otto - Anton. Und das ist ganz klar eine Summe.

Zitat:

Original von ulibear
kann ich dann jetzt die klammern auflösen?

Kannst du machen. Im übrigen würdest du dir einige Arbeit sparen, wenn du den richtigen Hauptnenner nimmst: xy(x-y)
Das hatte ich weiter oben schon angedeutet.

18.10.2007, 17:14

ulibear

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wie komm ich den auf diesen hauptnenner? was passiert den mit dem x ?

18.10.2007, 17:28

klarsoweit

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Ein Hauptnenner zeichnet sich daurch aus, daß er alle Faktoren aus allen Nennern beinhaltet. Wir haben die Nenner x, x*(x-y) und y. Und wie man leicht sieht beinhaltet xy(x-y) alle Nenner und wenn man von xy(x-y) einen Faktor wegnimmt, dann sind nicht mehr alle Nenner enthalten. Also nimmt diesen Hauptnenner und erweitere entsprechend die einzelnen Brüche.

18.10.2007, 17:36

ulibear

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Zitat:

Original von klarsoweit
Ein Hauptnenner zeichnet sich daurch aus, daß er alle Faktoren aus allen Nennern beinhaltet. Wir haben die Nenner x, x*(x-y) und y. Und wie man leicht sieht beinhaltet xy(x-y) alle Nenner und wenn man von xy(x-y) einen Faktor wegnimmt, dann sind nicht mehr alle Nenner enthalten. Also nimmt diesen Hauptnenner und erweitere entsprechend die einzelnen Brüche.

ok, probier ich mal aus, aber führt es den zu einem falschen ergebniss diesen hauptnenner zu benutzen? eigentlich ja nicht oder?

18.10.2007, 17:52

klarsoweit

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Du kannst auch deinen Hauptnenner nehmen und kommst bei richtiger Rechnung auch zum richtigen Ergebnis. Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.10.2007, 19:34

ulibear

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Zitat:

Original von ulibear
$\begin{eqnarray*} T(x,y) = \frac{x(x-y)y + (x+y)xy - xx(x-y)}{xx(x-y)y} \end{eqnarray*}$

ok, dann versuch ich mal das gebilde zusammen zu fassen. mit dem xx(x-y)y hauptnenner, da krieg ich dann das hier raus:

$\begin{eqnarray*} T(x,y) = \frac{x²-xy*y + x² + xy *y - x * x²-xy}{x*x²-xy*y} \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} T(x,y) = \frac{3x² -xy * 2y -x}{x²-2x2y} \end{eqnarray*}$

19.10.2007, 10:26

ulibear

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Zitat:

Original von ulibear

Zitat:

Original von ulibear
$\begin{eqnarray*} T(x,y) = \frac{x(x-y)y + (x+y)xy - xx(x-y)}{xx(x-y)y} \end{eqnarray*}$

ok, dann versuch ich mal das gebilde zusammen zu fassen. mit dem xx(x-y)y hauptnenner, da krieg ich dann das hier raus:

$\begin{eqnarray*} T(x,y) = \frac{x²-xy*y + x² + xy *y - x * x²-xy}{x*x²-xy*y} \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} T(x,y) = \frac{3x² -xy * 2y -x}{x²-2x2y} \end{eqnarray*}$

ist das jetzt richtig oder wieder falsch?

19.10.2007, 10:41

klarsoweit

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Falsch. Du rechnest einfach die Klammern nicht richtig aus.

19.10.2007, 10:51

ulibear

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Zitat:

Original von klarsoweit
Falsch. Du rechnest einfach die Klammern nicht richtig aus.

ich versteh nicht wo ich einen fehler mache? kannst du mir mal ein bsp geben?

19.10.2007, 10:57

klarsoweit

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Was ist zum Beispiel x*(x-y)*y ?

19.10.2007, 10:59

ulibear

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Zitat:

Original von klarsoweit
Was ist zum Beispiel x*(x-y)*y ?

x² - xy + xy => x²

verwirrt

verwirrt

19.10.2007, 11:03

klarsoweit

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unglücklich

Dann lös das doch nacheinander Schritt für Schritt auf. Das kann doch nicht so schwer sein.

19.10.2007, 11:11

ulibear

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x*(x-y)*y

verwirrt

muss ich das aussenstehende y mit dem klammer inhalt multiplizieren ?

ich weis ehrlich nicht was ich da noch schrittweiser rechnen soll. ich hab da einfach einen grundlegenden denkfehler....kein plan traurig

traurig

19.10.2007, 11:19

klarsoweit

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Zitat:

Original von ulibear
muss ich das aussenstehende y mit dem klammer inhalt multiplizieren ?

Ja. Du kannst es ja auch so schreiben:
(x * (x-y)) * y

19.10.2007, 11:28

ulibear

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von ulibear
muss ich das aussenstehende y mit dem klammer inhalt multiplizieren ?

Ja. Du kannst es ja auch so schreiben:
(x * (x-y)) * y

(x² -xy) *y

x²y -xyy²

?

19.10.2007, 11:59

klarsoweit

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Da ist jetzt ein y zuviel reingerutscht. Richtig ist
$\begin{eqnarray*} x^2y -xy^2 \end{eqnarray*}$

20.10.2007, 11:36

ulibear

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$\begin{eqnarray*} T(x,y) = \frac{x(x-y)y + (x+y)xy - xx(x-y)}{xx(x-y)y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T(x,y) = \frac {x^2y -xy^2 + x²y +xy² - x²x-xxy}{xx(x-y)y} \end{eqnarray*}$

die x² zusammenfassen

$\begin{eqnarray*} T(x,y) = \frac{x² * 2y * x - xy² +xy² - xxy}{xx(x-y)y} \end{eqnarray*}$

die y² zusammenfassen

$\begin{eqnarray*} T(x,y) = \frac{x² * 2y * x - xxy}{xx(x-y)y} \end{eqnarray*}$

ist das als endergebniss jetzt richtig?

20.10.2007, 13:26

klarsoweit

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Zitat:

Original von ulibear
die x² zusammenfassen

Das würde mich mal interessieren, wie du was zusammengefaßt hast.
Denke daran: Äpfel nur mit Äpfel addieren und Birnen nur mit Birnen.

20.10.2007, 14:10

ulibear

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hm....so?

$\begin{eqnarray*} T(x,y) = \frac {x^2y -xy^2 + x²y +xy² - x²x-xxy}{xx(x-y)y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T(x,y) = \frac {2x^2y - x²x-xxy}{xx(x-y)y} \end{eqnarray*}$

kann ich jetzt noch weiter zusammen fassen verwirrt

verwirrt

falls es überhaupt richtig ist)

20.10.2007, 15:07

ethused-Earthling

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Die Termumformung stimmt soweit.
Du könntest jetzt z.B. x^2 im Zähler ausklammern und dann kürzen.

20.10.2007, 16:10

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} T(x,y) = \frac{x(x-y)y + (x+y)xy - xx(x-y)}{xx(x-y)y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T(x,y) = \frac {x^2y -xy^2 + x²y +xy² - x²x-xxy}{xx(x-y)y} \end{eqnarray*}$

Nach dem Auflösen der Kammern im Zähler stimmt das letzte Vorzeichen nicht.

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