treppennormalform

18.10.2007, 19:50

new user

treppennormalform

Seien $\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ a & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B= \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ matrizen über $\begin{eqnarray*} \mathbb R, a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .Sei $\begin{eqnarray*} X\in M23(\mathbb R ) \end{eqnarray*}$ eine beliebige Matrix
Aufgabe:
Beweisen sie, dass A(BX) und X dieselbe Treppennormalform haben.

So wie gehe ich jetzt hier vor ? sind meine Ansätze richtig?

Also:
ich würde so vorgehen.
1.
X überlegen(beliebig wählen) dann
2.
X mit Einheitsmatrix "rechte seite" ausrechnen und Treppennormalform bilden -> X(S,Im)
3.
Dann B mit X multiplizieren ->Z
4.
dann A mit Z multiplizieren
5.
diese entstandene Matrix, die Treppennormalform bilden und mit X vergleichen
---

Ist der Gedanke soweit richtig, wenn ja welche bespielsmatrix für X könnte ich wählen und wenn nein wo sind bzw. ist der fehler in der überlegung?

19.10.2007, 20:51

helpman

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keine ahnung

20.10.2007, 14:06

WebFritzi

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RE: treppennormalform

Zitat:

Original von new user
Sei $\begin{eqnarray*} X\in M23(\mathbb R ) \end{eqnarray*}$

Hä?

24.10.2007, 16:28

new user

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die 23 soll tiefgestellt sein...kann mir keiner helfen ...bitte...

24.10.2007, 17:11

new user

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wie geht die aufgabe , so ist der gedanke richtig oder wie...? keliner tip.bitte

24.10.2007, 17:25

Tobias

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Quängel mal nicht so.

Gehe nicht davon aus, dass die Darstellung bei euch in der Vorlesung den gängigen Definitionen entspricht. Was ist $\begin{eqnarray*} M_{23}(\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ ? Etwa die Menge aller 2x3 Matrizen mit reellen Einträgen?

Falls ja: $\begin{eqnarray*} X = (x_{ij})_{i=1,2;j=1,2,3} \end{eqnarray*}$ wählen und dann A(BX) berechnen.

25.10.2007, 10:14

new user

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ja so wie ich halt gesagt habe...

also $\begin{eqnarray*} X=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und dann $\begin{eqnarray*} Z= B * X \Rightarrow Z=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 12 & 15 & 18 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,
so dann

$\begin{eqnarray*} Y=A * Z \Rightarrow Y=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 2a+12 & 4a+15 & 6a+18 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so ist das soweit richtig? wenn ja müsste ich jetzt nur die treppennormalform von A bilden und die von Y und diese dann vergleichen.Oder nicht?

Aber genau da liegt mein Problem.

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ a & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ also mit der einheitsmatrix, elementare zeilenumformung bis zur treppennormalform...aber das a stört mich und ich komm dann hier nicht weiter genau wie bei Y

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 2a+12 & 4a+15 &6a+18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn das bis hier richtig wäre, kann mir dann einer n tip geben wie ich dann jeweils zur treppennormalform von A bzw. Y komme?

25.10.2007, 11:14

Tobias

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Du kannst X nicht festlegen, denn es soll ja für jede Matrix X gelten.

Du musst

$\begin{eqnarray*} X=\begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nehmen.

25.10.2007, 13:10

Thunderforce

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Hallo,

ich muss die gleiche Aufgabe rechnen, komme aber auch nicht weiter.

Ich habe $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ a & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X=\begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Ich habe BX ausgerechnet und komme auf $\begin{eqnarray*} BX=\begin{pmatrix} 2x_{11} & 2x_{12} & 2x_{13} \\ 3x_{21} & 3x_{22} & 3x_{23} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Dann habe ich A(BX) ausgerechnet und komme auf $\begin{eqnarray*} A(BX)=\begin{pmatrix} 2x_{11} & 2x_{12} & 2x_{13} \\ 2ax_{11}+3x_{21} & 2ax_{12}+3x_{22} & 2ax_{13}+3x_{23} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Anschließend habe ich begonnen die Treppennormalform von A(BX) zu berechnen. Hier habe ich jeweils die erste und zweite Zeile mit 1/2 multipliziert und erhalte $\begin{eqnarray*} TNF(A(BX))=\begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ ax_{11}+\frac{3}{2}x_{21} & ax_{12}+\frac{3}{2}x_{22} & ax_{13}+\frac{3}{2}x_{23} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Jetzt komme ich auch nicht weiter. Mir ist klar, wie ich eine Treppennormalform bekomme, halte aber weitere Umformungen für sehr umfangreich.
Gibt es hier keinen anderen Lösungsweg, um zu zeigen, dass die Treppennormalform von X und A(BX) gleich ist?

25.10.2007, 13:36

Thunderforce

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Hallo,

ich hatte neben meiner obigen Überlegung auch noch einen anderen Weg ausgedacht, den ich aber nicht beweisen bzw. mit Argumenten darlegen kann.
Ich hatte überlegt, dass das Assoziativgesetz gelten muss und somit statt A(BX)
auch (AB)X gilt. Wenn ich AB ausrechne erhalte ich $\begin{eqnarray*} AB=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 2a & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Wenn ich argumentieren könnte, dass TNF(AB(X) das gleiche ist wie
TNF(AB)*TNF(X) könnte ich zeigen, dass die Treppennormalform von $\begin{eqnarray*} TNF(AB)=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist.
Und das somit TNF(AB)*TNF(X) auf TNF(X) reduziert wird, was ja zu beweisen ist. Aber ich finde kein Argument für TNF(AB(X) = TNF(AB)*TNF(X).
Wer kann helfen???

Gruß
Thunderforce

28.10.2007, 21:16

CerebrosuS

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Ich würde sagen, da die Treppennormalform mittels multiplikation mit einem Produkt von elemtnatmatrizen ensteht kann man folgendes schreiben.

S(A(BX)) = (SAB)X

bedeutet, das eine andere Zeilenumformung stattfinden, aber im Endefeckt die Gleiche Treppennormalform aus der gleichen Matrix hervorgeht. (Eindeutigkeit der Treppennormalform).

Wäre mein Lösungsvorschlag, ohne Großartig herumrechnen zu müssen.

Grüße XXX

28.10.2007, 21:29

Ash

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CerebrosusG:

Ein interessanter Ansatz, den du verfolgst und dank dir habe ich glaub ich die Lösung:

Behauptung:

A (BX) und X haben dieselbe TNF!

Beweis:

A(BX) = X
<=> (AB) X = X

Nun kommt meine Idee - wenn AB eine quadratische invertierbare Matrix ist, dann gilt:

(AB) TNF(X) = TNF(X)

Dann schauen wir uns kurz doch mal die Matrix AB an^^

(2 0) (2 0)
(a 1) (0 3)

= (2 0)
(2a 3)

==> Die Matrix ist invertierbar, wenn die TNF (AB) die Einheitsmatrix ist, was jeder
auch so ausrechnen kann.

==> die TNF(A(BX)) ist also dieselbe wie die TNF (X), was die Behauptung ist.

(Ich habe keine Ahnung, ob das richtig ist, aber wenn ja, wundert es mich, dass ich das geschafft habe)

@All ich verzweifle hier mit meinem Mathekurses bei der fernuni hagen - und dachet schon, wow ich gebe diesmal nur 2 Aufgaben ab. Letzte Hoffnung guck mal im Inet rein, vlt findeste was. Dank des Ansatzes von CerebrosusG ist mir die obig Idee gekommen^^

==> daraus folgt, dass ich liebend gerne Leute kennenlernen würde, die dieselben
Probleme mit Mathe haben und das Gespräch / Chat / Skype^^ was auch immer suchen - wenn sich wer angesprochen fühlt, dann sende doch einfach mal ne

eMail an [email protected]

20.03.2016, 19:37

stefaniedel

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Ich habe diese Aufgabe heute auch aus alten Unterlagen bekommen.
Ich habe jetzt den letzten Teil fotografiert reicht das aus Ufer einen Beweis oder muss ich noch was ergänzen?

20.03.2016, 19:43

stefaniedel

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Oder muss ich noch was zur Abhängigkeit von a sagen?

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