DGL lösen

21.10.2007, 10:37	integralschokolade	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL lösen Wie löse ich die Differentialgleichung: $\begin{eqnarray} m \ddot x + kx = -F_H - F_+ e^{k(\dot x - v)} \end{eqnarray}$ Hierbei sind m,k,v und F (mit Index H und +) Konstanten. Was soll ich da für ein Verfahren anwenden, um die DGL zu lösen? Welche Verfahren gibt es da?
21.10.2007, 11:41	mylittlehelper	Auf diesen Beitrag antworten »
Dies ist eine lineare DGl mit konstanten Koeffizienten, dort verwendet man für die homogene Gleichung den Ansatz $\begin{eqnarray} x(t)=e^{\lambda t} \end{eqnarray}$ . Daraus gewinnt man ein Polynom in $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ . Die Nullstellen dann als Lösungen interpretiert: $\begin{eqnarray} \lambda_0\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ mit Vielfachheit $\begin{eqnarray} \beta\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ führt zu Lösungen der Form: $\begin{eqnarray} x_1(t)=e^{\lambda_0 t} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x_2(t)=te^{\lambda_0 t} \end{eqnarray}$ , ... , $\begin{eqnarray} x_{\beta}(t)=t^{\beta-1}e^{\lambda_0 t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda_0\in\mathbb{C} \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} \lambda_0:=a\pm bi;\; a,b\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ ) mit Vielfachheit $\begin{eqnarray} \beta\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ führt zu Lösungen der Form: $\begin{eqnarray} x_{1,1}(t)=\cos (bt)\cdot e^{at},\; x_{1,2}(t)=\sin (bt)\cdot e^{at} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x_{2,1}(t)=t\cos (bt)\cdot e^{at},\; x_{2,2}(t)=t\sin (bt)\cdot e^{at} \end{eqnarray}$ , ... , $\begin{eqnarray} x_{\beta,1}(t)=t^{\beta-1}\cos (bt)\cdot e^{at},\; x_{\beta,2}(t)=t^{\beta-1}\sin (bt)\cdot e^{at} \end{eqnarray}$ Für die inhomogene Gleichung macht man einen speziellen Störgliedansatz, evtl. muss man hier noch einen Resonanzfall beachten.
28.10.2007, 23:18	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Für mich sieht das nicht so linear aus, mit der Ableitung von x in der e-Funktion... Ich würde Numerik anwenden, Euler-Verfahren/Runge-Kutta-Verfahren, ESV, MSV sind da Stichworte. mfG 20
29.10.2007, 07:51	mylittlehelper	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, das $\begin{eqnarray} \dot x \end{eqnarray}$ im e ist mir entfleucht. Vielen Dank für den Hinweis!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »