vektorräume und beweise

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mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »
vektorräume und beweise
Hallo,
ich habe diese Aufgabe schon ausversehen im Schul-Algebra-Forum gestellt, weiß aber leider nicht, wie man das verschieben kann. Sie gehört eigentlich hierher und kann hier auch vielleicht eher beantwortet werden.

Ich habe keine Ahnung, wie ich die folgenden Aufgaben lösen soll.
Vielleicht kann mir jemand helfen?!

1) Sei oder und .
Zeige, dass die folgenden Vektorraum-Axiome erfüllt:
a) Assoziativgesetz der Addition
b) Existenz eines Nullvektors
c) 1. Distributivgesetz
d) 2. Distributivgesetz

2) Sei , und betrachte das kartesische Produkt .
Zeige, dass ein Unterraum von ist.

3) Zeige, dass ein Unterraum von ist.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Mod fragen
Dann bitte einen Mod, deinen Beitrag zu verschieben. Ich habe ihn nun gelöscht. Augenzwinkern
 
 
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

und meine Antwort gleich mit unglücklich
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige bitte Mit Zunge
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

könntest du deiner antwort bitte nochmal schreiben und etwas näher erläutern.
ich habe ich (vor dem löschen Augenzwinkern zwar gelesen, weiß aber immer noch nicht so ganz, wie ich z.B. die axiome beweisen soll.
sie sind zwar alle einleuchtend, aber das gilt ja leider nicht als beweis...

danke.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

naja egal schreibe ich sie halt nocheinmal.

Fange doch einfach einmal damit an die Axiome zu überprüfen. Du wirst sie alle auf Eigenschaften des Körpers zurückführen können.

Zum Unterraum kannst du genauso vorgehen, jedoch geht es auch einfacher z.B. in dem du eine Basis angibst oder ähnliches(natürlich nur wenn ihr die entsprechenden Sätze in der Vorlesung hattet, also die Linearkombinationen aus dem Erzeugendensystem ist UVR)

edit: Ok ein kleines Beispiel zur Assoziativität(hier n=3):
.

Forme jetzt weiter um so das du erhälst und begründe jeweils die Umformung smile
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

also ich setze dein beispiel dann mal ins allgemeine um.
ist das dann als beweis so ok?

1a)
Für gilt:

Nach der Addition bezüglich zweier Vektoren gilt:


q.e.d.

die aufgaben 1b)-1d) mache ich jetzt gleich und schreib sie dann auch noch dazu.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ist ok auch wenn die Reihenfolge etwas komisch ist. Normalerweise nimmt man bekanntes an und zeigt dann das was zu zeigen ist. Hier hast du mit dem was zu zeigen ist angefangen. Das ist hier kein Beinbruch weil mit äquivalente Umformungen benutzt wurden aber solltest du dir nicht angewöhnen.

Auch möglich ist der Weg den ich vorgeschlagen habe, das du auf der einen Seite anfängst und mit Umformungen zeigst das die andere Seite herauskommt(dazu brauchst du dann das Assoziativgesetzt im Körper)
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

stimmen diese beweise so?

1b)
Für gilt:

Nach der Addition bezüglich zweier Vektoren gilt:


q.e.d.

1c)
Für gilt:

Nach der Skalarmultiplikation gilt:

Nach der Addition bezüglich zweier Vektoren gilt:


q.e.d.

1d)
Für gilt:

Nach der Skalarmultiplikation gilt:


q.e.d.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Wieder im Prinzip richtig aber die Reihenfolge verdreht. Ich zeige dir es mal an einem Beispiel:
und damit bist du schon fertig.

So wie du es schreibst gehst du von der Aussage die zu zeigen ist aus und zeigst dann etwas bekanntes. Das Problem dabei ist das nicht äquivalent ist mit
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

ok, hab ich verstanden.
ich schreibe das dann andersrum auf.
aufgabe 1 wäre damit erledigt.

nur leider habe ich gar keine ahnung, was ich mit den aufgaben 2 und 3 machen soll.
bin auch erst seit 1 woche an der uni und wir haben so etwas mit unterraum leider noch nie gemacht.

ich könnte mir nur vorstellen, dass ich die zeigen muss, dass die unterraumaxiome gelten, also
(U1)
(U2)

aber wie ich das zeigen soll oder auch schon, was die aufgabenstellung ausformuliert heißt, weißt ich nicht.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Genau ist im Prinzip genau das gleiche wie vorhin.
Bei Aufgabe 2 sind einfach die letzten n-m Komponenten auf 0 gesetzt. Du musst jetzt zeigen das diese Teilmenge abgeschlossen ist(U1 und U2) und damit ist sie ein Untervektorraum da ein VR ist
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

zu 3)



Da gilt folgt:

zu zeigen:
Y ist abgeschlossen bezüglich der Addition und der Multiplikation mit Skalaren.
Es muss gelten:
(U1) und
(U2)
und das ist wieder .

zu (U2):

und das ist wieder .

stimmt das so?
kann ich das auch so schreiben?

wie ich aufgabe 2 löse weiß ich aber immer noch nicht.

danke für deine hilfe.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Für (U1) musst du zwei verschiedene Vektoren addieren nicht den gleichen.
(U2) ist richtig.

Bei Aufgabe 2 sind einfach die letzten Komponenten immer 0. Zeige das diese auch bei Addition bzw Multiplikation mit einem Skalar noch 0 sind.
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

ist das mit (U1) dann so?:


Nach der Addition bezüglich zweier Vektoren gilt:

und dies ist wieder
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

muss es heißen

"... und das ist wieder "

oder

"... und das ist wieder "
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Y, den du untersuchst ja gerade die Menge Y.
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

danke, ich hatte ja zuerst U geschrieben, kam mir aber seltsam vor.

so, jetzt versuch ich noch die 2)

kommt gleich mal ein versuch!
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

zu 2)

Es gilt:


zu zeigen:
ist ein Unterraum von , d.h. ist abgeschlossen bezüglich der Addition und Multiplikation mit Skalaren.

Es muss gelten:
(U1) und
(U2)

zu (U1):

Nach der Addition bezüglich zweier Vektoren gilt:

und das ist wieder .

zu (U2)

Nach der Skalarmultiplikation gilt:

und das ist wieder .

stimmt das so und stimmen auch die Variablen oder habe ich wieder Variablen aus der allgemeinen Formel und aus diesem Beweis vermischt?
ich bin mir aber nicht so ganz sicher, da in der aufgabenstllung ja steht, ich aber glaube, das n-m nicht beachtet zu haben.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Jedes mal für U einsetzen dann passt es.
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

danke!!!!!!!!

Wink
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