verfolgungsjagd [gelöst] |
| 22.10.2007, 00:11 | milenio | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| verfolgungsjagd [gelöst] |
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| 22.10.2007, 01:03 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Diese - oft gestellte - Aufgabe ist ein Rätsel mit geometrischem Hintergrund. Ich habe sie einmal als folgenden Text in einem Forum gelesen und dort auch gelöst: -------------- In einem exakt kreisförmigen, überall sehr tiefen See schwimmt ein junges Mädchen genau in der Mitte, als sie sieht, dass ein allem Anschein nach sehr starker, sehr intelligenter Mann mit offenbar sehr bösen Absichten auf sie am Ufer lauert. Zum Glück für sie kann er nicht schwimmen und auch nicht schneller laufen als sie, dafür läuft er aber 4x so schnell wie sie schwimmt. Was muß sie tun, um zu entkommen ? -------------- Zunächst gilt, dass der Umfang eines Kreises () direkt und linear proportional zum Radius ist. Solange sich also die junge Dame von der Mitte des Sees aus innerhalb eines Kreises mit einem Viertel des Gesamtradius' (r) befindet (dessen Umfang ein Viertel des Umfanges des Sees ist), kann sie ihre Position hinsichtlich des Mannes schneller verändern, als er folgen kann. Somit ist es ihr möglich, die Startposition für ihre erfolgreiche Flucht so einzunehmen, dass sie sich ziemlich genau auf einer Kreislinie vom Radius r/4 und gleichzeitig diametral (auf der zum Bösling abgewendeten Seite) befindet, sodaß also Bösling, Mittelpunkt und Mädchen in dieser Reihenfolge auf einer Geraden liegen. Das Mädchen muss nun noch die Strecke 3r/4 bis zum Rand des See's schwimmen, während in derselben Zeit der Bösling den halben Umfang (r = 3,14 r) des See's zurückzulegen hat. Da er 4 mal so schnell laufen wie das Mädchen schwimmen kann, schafft er gerade die Strecke 3 r. Somit hat das Mädchen einen Vorsprung von 0,14 r, den es lt. den angegebenen Bedingungen auch halten kann (und muss). Ich möchte dennoch nicht in der Haut der jungen Dame stecken, weil der Vorsprung nur hauchdünn ist :-) mY+ |
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| 13.12.2007, 14:46 | Gast-tEBa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich finde man kann sich das einfach so vorstellen: Sie schwimmt immer so, das sie ihn im Rücken hat. Oder hab ich da grad einen Denkfehler? Sollte doch funktionieren? |
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| 13.12.2007, 15:17 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, genau so ist es. Man hatte aber zu zeigen, dass es dem Mädchen überhaupt möglich ist, zu entkommen. Eben mittels des kleinen Vorsprunges von 0,14r mY+ |
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| 14.12.2007, 09:15 | pandu1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es geht auch mit 4,5 mal so schnell. 
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| 04.03.2008, 16:12 | Tomtomtomtom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Magst du mich erhellen, wie das gehen soll, bzw. was du dir überlegt hast? Bin durch die Spamattacke auf diesen Thread aufmerksam geworden, und möchte die Aufgabe nochmal aufwärmen. Schließlich ist es immer wichtig zu wissen, wie schnell man schwimmen können sollte. (Oder laufen 
)Ich habe mir das sogedacht: Der See habe Radius 1, das Mädchen beim schwimmen Geschwindigkeit 1 und der Mann beim Rennen die Geschwindigkeit s>1 (um einige Variablen loszuwerden). Finde eine Taktik, bei der das Mädchen bei möglichst hohem s noch entkommen kann. Die "Standardlösung" von Mythos, die auch in den meisten Büchern zu dieser Rätselaufgabe zu finden ist, funktioniert bis s=1+Pi=4,14. Die Idee, das Mädchen so zu positionieren, daß Mann, Mittelpunkt und Mädchen auf einer Linie liegen, wobei das Mädchen auf dem Kreis mit Radius 1/s schwimmt, scheint mir als Anfangsbedingung erstmal immer sinnvoll. Schließlich ist das auf diesem Kreis ein Optimum, jeder andere Punkt ist (bezüglich Luftlinie zum Verfolger) für das Mädchen schlechter. Man muß aber nun irgendwie ausbalancieren. Am Anfang ist es wichtiger, die Luftlinie zwischen Mädchen und Mann möglichst groß zu lassen, während gegen Ende der verbleibende Abstand zum Ufer immer wichtiger wird. Ich habe jetzt hier irgendwie ziemlich viele Differentialgleichungen und ein Variationsproblem mit Nebenbedingungen stehen, aber gibt es auch noch einfache Methoden? |
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| 04.03.2008, 16:45 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, die gibt es, sh. die Lösung oben. mY+ |
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| 04.03.2008, 16:52 | Tomtomtomtom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, die habe ich gesehen, sie funktioniert wie gesagt bis zu einem Wert von s=4,141. pandu1 behauptet, er hat eine Lösung, die bis s=4,5 funktioniert, und das geht damit halt nicht mehr. |
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| 04.03.2008, 17:50 | pandu1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das letzte "Wegschwimmen" ist nicht optimal. Das Mädchen schwimmt in kreise, der Bösling läuft in kreise, das Mittelpunkt ist genau dazwischen, und dan kommt's... In der klassischen Lösung schwimmt das Mädchen die kürzeste Strecke zum Rand, also dreht sie sich um 90° und muss nur R-r schneller schaffen, als der böse pi*R schafft. Falls sie sich nicht dreht und schwimmt in Tangente zu den kleinen Kreis zu Rande, wird ihr Weg nur etwas länger, und der Weg des Bösewichtes viel länger. Wir haben's mal im Team ausgerechnet, es kommt mit 4,5 hin. |
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| 04.03.2008, 18:39 | Tomtomtomtom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist imho eben ein Denkfehler, so weit war ich auch schonmal. Der intelligente Bösewicht kann ja einfach andersrum um den Teich laufen, sobald sie ien Stückchen an der Tangente entlang geschwommen ist, das ist dann viel kürzer. Was sie wieder uzm ausweichen zwingt usw. usf. |
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| 05.03.2008, 08:57 | pandu1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein. Richtungswechsel ist hier eine falsche Strategie. Der Verfolger ist mit seinen Bewegungen ziemlich eingeschränkt und des macht's für uns einfacher für ihn die optimale Strategie zu finden: 1. Er darf nicht von der Kreislinie weg. Seine Geschwindigkeit muss maximal hoch sein. 2. Betrachten wir drei Punkre: B position des Verfolgers, O das Mittelpunkt des Kreises und M Position des Mädchens. 2.a. Ist der Winkel BOM < 180°, ist es für den Verfolger optimal im Uhrzeigersinn zu laufen. 2.b. Ist der Winkel BOM > 180°, ist es für den Verfolger optimal gegen Uhrzeigersinn zu laufen. Bei Winkel von 180° ist es natürlich egal, aber laufen soll er. Das Mädchen muss zuerst versuchen, so weit wie möglich von den Verfolger weg zu kommen, dabei aber den 180° Winkel zu erhalten. Ist ja unser 1. unumstrittener Teil des Planes des Fluchtes des Mädchens. Das spannende Moment: Der Böse läuft im Urzeigersinn, das Mädchen natürlich auch, der Mittelpunkt ist genau dazwischen. Sobald das Mädchen von der Kreislinie nach außen abweicht wird der Winkel BOM < 180° sein. Wechselt der Verfolger seine Richtung, wird der Winkel wieder wachsen. Ist er gleich 180°, so sind wir wieder in der "Anfangsposition" die aber diesmal für das Mädchen günstiger ist. |
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