Orthogonalität Beweis

22.10.2007, 16:27

hxh

Orthogonalität Beweis

ICh soll zeigen dass für alle $\begin{eqnarray*} v,w,x,y \in \mathbb R² \setminus \{0\}<br /> \end{eqnarray*}$

die aussage:

$\begin{eqnarray*} v\perp w \land w\perp x \land x\perp y \Rightarrow v\perp y \end{eqnarray*}$

gilt.

Mein erster Gedanke war, dass ich das über das Skalarprodukt machen sollte. Wollte erst über ein Lgs arbeiten aber

wenn ich zb. schreibe
v1 w1 + v2 w2 = 0 (1)
w1 x1 + w2 x2 = 0 (2)
x1 y1 + x2 y2 = 0 (3)

(2) : (3) darf ich ja ja nicht weil 0/0 , aber wenn ich davor umstelle ?

bräcuhte Anregungen Wink

22.10.2007, 16:49

riwe

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RE: Orthogonalität Beweis
$\begin{eqnarray*} \vec{v}\cdot\vec{w}=0 \end{eqnarray*}$

da in R² gilt $\begin{eqnarray*} \vec{x}=\alpha \vec{v}+\beta\vec{w} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{w}\cdot\vec{x}=0\to \vec{x}=\alpha\vec{v} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x}\cdot\vec{y}=0\to \alpha\vec{v}\cdot\vec{y}=0\quad{ } \forall \alpha\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ qued

22.10.2007, 17:01

hxh

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RE: Orthogonalität Beweis

Zitat:

Original von riwe
$\begin{eqnarray*} \vec{v}\cdot\vec{w}=0 \end{eqnarray*}$

da in R² gilt $\begin{eqnarray*} \vec{x}=\alpha \vec{v}+\beta\vec{w} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{w}\cdot\vec{x}=0\to \vec{x}=\alpha\vec{v} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x}\cdot\vec{y}=0\to \alpha\vec{v}\cdot\vec{y}=0\quad{ } \forall \alpha\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ qued

$\begin{eqnarray*} \vec{w}\cdot\vec{x}=0\to \vec{x}=\alpha\vec{v} \end{eqnarray*}$

diesen schritt kann ich mir noch nicht verdeutlichen, in geometrischer hinsicht

22.10.2007, 17:12

riwe

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RE: Orthogonalität Beweis
na da die beiden senkrecht aufeinander stehen, sind sie linear unabhängig, wie eben auch v und w, die man deshalb als basis verwenden darf/kann,
und daher kann x nur ein vielfaches von v sein
ok verwirrt

22.10.2007, 17:20

hxh

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ok geometrisch doch sehr ersichtlich geschockt

danke schön

23.10.2007, 12:52

hxh

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nochmal zu meinem Lösungvorschlag

v1 w1 + v2 w2 = 0 (1)
w1 x1 + w2 x2 = 0 (2)
x1 y1 + x2 y2 = 0 (3)

Dann umstelllen

v1 w1 = - v2 w2 (1)
w1 x1 = -w2 x2 (2)
x1 y1 = -x2 y2 (3)

(2) : (3)

w1/y1 = w2/y2 (2')

(1) : (2')

v1 y1 = - v2 y2 => v1 y1 + v2 y2 = 0 => v * y = 0 (skalarprodukt ist null, dh die vektoren sind orthogonal zueinander.

Wäre so was als Bewies ok ?

23.10.2007, 13:15

riwe

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Zitat:

Original von hxh
nochmal zu meinem Lösungvorschlag

v1 w1 + v2 w2 = 0 (1)
w1 x1 + w2 x2 = 0 (2)
x1 y1 + x2 y2 = 0 (3)

Dann umstelllen

v1 w1 = - v2 w2 (1)
w1 x1 = -w2 x2 (2)
x1 y1 = -x2 y2 (3)

(2) : (3)

w1/y1 = w2/y2 (2')

(1) : (2')

v1 y1 = - v2 y2 => v1 y1 + v2 y2 = 0 => v * y = 0 (skalarprodukt ist null, dh die vektoren sind orthogonal zueinander.

Wäre so was als Bewies ok ?

soferne keine der vektorkomponenten, die im nenner auftauchen = 0 ist verwirrt

daher hast du den beweis meiner unmaßgeblichen meinung nach auch nur für solche vektoren erbracht.
daher vermeide divisionen unglücklich

23.10.2007, 13:48

hxh

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wurde doch schon in der aufgabenstellung festgelegt, dass keiner der Vektoren 0 sein darf. Dementsprechend wäre es so möglich.

aber ich weiß nicht wie man das LGS bezüglich der Orthogonalität erklären könnte. Vielleicht weil alle skalarprodukte 0 ergeben und in Abhängigkeit voneinander stehen

23.10.2007, 14:01

riwe

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Zitat:

Original von hxh
wurde doch schon in der aufgabenstellung festgelegt, dass keiner der Vektoren 0 sein darf. Dementsprechend wäre es so möglich.

aber ich weiß nicht wie man das LGS bezüglich der Orthogonalität erklären könnte. Vielleicht weil alle skalarprodukte 0 ergeben und in Abhängigkeit voneinander stehen

festgelegt ist $\begin{eqnarray*} \vec{v}\neq\vec{o} \end{eqnarray*}$ , aber nicht, dass keine komponente = 0 sein darf, so verstehe ich es zumindest.

was meinst du damit verwirrt

23.10.2007, 14:15

hxh

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Ok so kann man das auch verstehen, damit wäre mein Ansatz natürlich für den Fall nicht gegeben.

Ich hatte noch eine Erklärung gesucht warum ich ein LGS machen darf, aber da wir den Fall ja geklärt haben erübrigt sich das wohl.

Muss ich wohl doch den anderen Weg nehmen

23.10.2007, 14:30

riwe

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Zitat:

Original von hxh
Ok so kann man das auch verstehen, damit wäre mein Ansatz natürlich für den Fall nicht gegeben.

Ich hatte noch eine Erklärung gesucht warum ich ein LGS machen darf, aber da wir den Fall ja geklärt haben erübrigt sich das wohl.

Muss ich wohl doch den anderen Weg nehmen

ich will dich doch zu nichts "zwingen", mir scheint nur der von mir vorgeschlagene weg schlüssiger - und ohne irgendwelche einschränkungen.
auch berücksichtigt er, dass wir in R² sind.

das LGS ist doch einfach das "ergebnis" des skalarproduktes, was soll denn daran "falsch" sein verwirrt

23.10.2007, 15:17

hxh

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wenn ich es jetzt durch ein LGS beweise, muss ich aber ausschließen, dass keine 0 in einem Vektor vorkommt. Wie kann man da vorgehen?

23.10.2007, 15:33

riwe

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das kannst du nur als voraussetzung angeben

23.10.2007, 18:07

hxh

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das würde die aufgabenstellung ja nur durch diese Vorraussetzungen erfüllen, demnach sollte man das nicht machen