LGS Für welches a nicht triviale Lösungen?

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fraggelfragger Auf diesen Beitrag antworten »
LGS Für welches a nicht triviale Lösungen?
Abend,

mache gerade diese Aufgabe:
Für welche Werte von a hat das LGS nichttriviale Lösungen? Berechnen sie bitte all diese Lösungen.





Lösungsansatz:

1. Es ist zunächst mal ein homogenes Gleichungssystem deshalb:
- hat es entweder genau eine Lösung ( triviale Lösung )
- oder unendlich viele Lösungen

2. Determinante lösen um festzustellen ob eindeutig lösbar ( wenn determinante ungleich null , dann eindeutig lösbar)




für und gilt Determinante ungleich null

Fallunterscheidung:

d.h für oder gibt es nur die triviale Lösung ( )
für und -2 > a > -2 gibt es unendlich viele Lösungen


Meine Fragen:
1. Habe ich die Aufgabe bis hierhin richtig?
2. Habe ich die Fallunterscheidung richtig gemacht oder wie macht man diese besser bzw. wie schreibt man das gewöhnlich?
3.Wie berechne ich nun alle nicht trivialen Lösungen?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die Determinante = 0, dann ist das System abhängig und es gibt unendlich viele Lösungen! Dies ist für a = 3 oder a = -2 der Fall. Für alle anderen Werte von a gibt es nur eine Lösung, nämlich die triviale (x = y = z = 0)

Dein Resultat ist genau umgekehrt, stimmt also so nicht, weil du das verwechselt hast.

Um alle nichttrivialen Lösungen zu ermitteln, setzt du nacheinander a = 3 (a = -2) und drückst eine Variable (oder auch einen geeigneten Ausdruck davon) in einem Parameter t aus und setzt diese in die Gleichungen ein. Wegen der Abhängigkeit des Systemes werden eine (oder manchmal auch zwei) Gleichungen des Systemes redundant sein, sodass die anderen Variablen aus den übrigen Gleichungen ebenfalls in diesem Parameter berechnet werden und die somit die Gesamtlösung darstellen.

mY+
 
 
fraggelfragger Auf diesen Beitrag antworten »
RE: LGS Für welches a nicht triviale Lösungen?
Berichtigung:

Fallunterscheidung:


für und gilt Determinante gleich null und somit nicht eindeutig lösbar => unendlich viele Lösungen


für und gibt es nur die triviale Lösung ( )

Vielen dank mYthos smile

//edit


Parameterdarstellung:

//edit 2

Ist das jetzt so alles Richtig? und kann man das Ganze irgendwie noch besser formulieren?

mfg
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Erstens ist 3 > a > 3 ... unverständlich und nicht richtig und zweitens, wie kommst du jetzt auf die Gesamtheit der nichttrivialen Lösungen?

mY+
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: LGS Für welches a nicht triviale Lösungen?
Die Parameterdarstellung der ersten Teillösung ist richtig, du kannst diese noch zu



erweitern. Für a = -2 müsstest du jedoch noch mal analog rechnen und erhalten:



mY+
fraggelfragger Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Erstens ist 3 > a > 3 ... unverständlich und nicht richtig und zweitens


Okey vielleicht wäre es so ausgedrückt besser?

für und gibt es nur die triviale Lösung ( )

Zitat:
Original von mYthos
zweitens, wie kommst du jetzt auf die Gesamtheit der nichttrivialen Lösungen?


1) 3 für a eingesetzt und dann das LGS aufgelöst, am schluss stand 0 * z = 0, deshalb hab ich nen Parameter definiert ( ) und somit alle anderen bestimmt.


Parameterdarstellung:
----------
das hatte ich noch vergessen zu machen:
--------

2) -2 eingesetzt für a und LGS aufgelöst dann kam für -5z = 0 raus, deshalb hab ich nen Parameter definiert ( ) und somit alle anderen bestimmt.


Parameterdarstellung:
//edit: okey nun müsste alles richtig sein
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von fraggelfragger
Zitat:
Original von mYthos
Erstens ist 3 > a > 3 ... unverständlich und nicht richtig und zweitens


Okey vielleicht wäre es so ausgedrückt besser?

für und gibt es nur die triviale Lösung ( )
...


Ja, so passt dies mal. Deine zweite Parameter-Lösung stimmt jedoch nicht, sh. meinen Vorpost, der sich mit deinem überschnitten hat.

P.S.: Nimm für die zweite Lösung einen andere Bezeichnung für den Parameter als bei der ersten, sonst ergibt dies einen Widerspruch.

mY+
fraggelfragger Auf diesen Beitrag antworten »
RE: LGS Für welches a nicht triviale Lösungen?
Zitat:
Original von mYthos
Die Parameterdarstellung der ersten Teillösung ist richtig, du kannst diese noch zu



erweitern.


sicher das die erste Richtig war? weil hab das nochma ein zweites mal nachgerechnet und kam auf das das ich editiert habe oben. ( minus zeichen )

Zitat:

Parameterdarstellung:



// ach das ist ja egal weil Lambda ja definiert wurde entweder minus oder plus oder?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst ein Vorzeichen natürlich auch in den Parameter "einarbeiten", daher sind beide Varianten richtig.

mY+
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