LGS Für welches a nicht triviale Lösungen?

22.10.2007, 19:29

fraggelfragger

LGS Für welches a nicht triviale Lösungen?

Abend,

mache gerade diese Aufgabe:
Für welche Werte von a hat das LGS nichttriviale Lösungen? Berechnen sie bitte all diese Lösungen.

$\begin{eqnarray*} ax - 5y +2z = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x + y + 2z = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -x -3y -az = 0 \end{eqnarray*}$

Lösungsansatz:

1. Es ist zunächst mal ein homogenes Gleichungssystem deshalb:
- hat es entweder genau eine Lösung ( triviale Lösung $\begin{eqnarray*} \vec{x}= \vec{0} \end{eqnarray*}$ )
- oder unendlich viele Lösungen

2. Determinante lösen um festzustellen ob eindeutig lösbar ( wenn determinante ungleich null , dann eindeutig lösbar)

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} a & -5 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ -1 & -3 & -a \end{vmatrix} = -a^2+ a + 6 => a_1 = 3 ; a_2 = -2 \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} a \neq 3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \neq -2 \end{eqnarray*}$ gilt Determinante ungleich null

Fallunterscheidung:

d.h für $\begin{eqnarray*} a = 3 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a = -2 \end{eqnarray*}$ gibt es nur die triviale Lösung ( $\begin{eqnarray*} \vec{x}= \vec{0} \end{eqnarray*}$ )
für $\begin{eqnarray*} 3 > a > 3 \end{eqnarray*}$ und -2 > a > -2 gibt es unendlich viele Lösungen

Meine Fragen:
1. Habe ich die Aufgabe bis hierhin richtig?
2. Habe ich die Fallunterscheidung richtig gemacht oder wie macht man diese besser bzw. wie schreibt man das gewöhnlich?
3.Wie berechne ich nun alle nicht trivialen Lösungen?

22.10.2007, 20:23

mYthos

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Wenn die Determinante = 0, dann ist das System abhängig und es gibt unendlich viele Lösungen! Dies ist für a = 3 oder a = -2 der Fall. Für alle anderen Werte von a gibt es nur eine Lösung, nämlich die triviale (x = y = z = 0)

Dein Resultat ist genau umgekehrt, stimmt also so nicht, weil du das verwechselt hast.

Um alle nichttrivialen Lösungen zu ermitteln, setzt du nacheinander a = 3 (a = -2) und drückst eine Variable (oder auch einen geeigneten Ausdruck davon) in einem Parameter t aus und setzt diese in die Gleichungen ein. Wegen der Abhängigkeit des Systemes werden eine (oder manchmal auch zwei) Gleichungen des Systemes redundant sein, sodass die anderen Variablen aus den übrigen Gleichungen ebenfalls in diesem Parameter berechnet werden und die somit die Gesamtlösung darstellen.

mY+

22.10.2007, 20:41

fraggelfragger

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RE: LGS Für welches a nicht triviale Lösungen?
Berichtigung:

Fallunterscheidung:

$\begin{eqnarray*} I) \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} a = 3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a = -2 \end{eqnarray*}$ gilt Determinante gleich null und somit nicht eindeutig lösbar => unendlich viele Lösungen

$\begin{eqnarray*} II) \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} 3 > a > 3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -2 > a > -2 \end{eqnarray*}$ gibt es nur die triviale Lösung ( $\begin{eqnarray*} \vec{x}= \vec{0} \end{eqnarray*}$ )

Vielen dank mYthos smile

//edit

$\begin{eqnarray*} x = - \frac{3}{2}\lambda , y = -\frac{1}{2} \lambda , z = \lambda \end{eqnarray*}$
Parameterdarstellung: $\begin{eqnarray*} \lambda \begin{pmatrix} 1,5 \\ 0,5 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

//edit 2

Ist das jetzt so alles Richtig? und kann man das Ganze irgendwie noch besser formulieren?

mfg

22.10.2007, 20:51

mYthos

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Erstens ist 3 > a > 3 ... unverständlich und nicht richtig und zweitens, wie kommst du jetzt auf die Gesamtheit der nichttrivialen Lösungen?

mY+

22.10.2007, 21:11

mYthos

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RE: LGS Für welches a nicht triviale Lösungen?
Die Parameterdarstellung der ersten Teillösung ist richtig, du kannst diese noch zu

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \lambda \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

erweitern. Für a = -2 müsstest du jedoch noch mal analog rechnen und erhalten:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \mu \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mY+

22.10.2007, 21:12

fraggelfragger

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Zitat:

Original von mYthos
Erstens ist 3 > a > 3 ... unverständlich und nicht richtig und zweitens

Okey vielleicht wäre es so ausgedrückt besser?
$\begin{eqnarray*} II) \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} a \neq 3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \neq -2 \end{eqnarray*}$ gibt es nur die triviale Lösung ( $\begin{eqnarray*} \vec{x}= \vec{0} \end{eqnarray*}$ )

Zitat:

Original von mYthos
zweitens, wie kommst du jetzt auf die Gesamtheit der nichttrivialen Lösungen?

1) 3 für a eingesetzt und dann das LGS aufgelöst, am schluss stand 0 * z = 0, deshalb hab ich nen Parameter definiert ( $\begin{eqnarray*} z = \lambda \end{eqnarray*}$ ) und somit alle anderen bestimmt.

$\begin{eqnarray*} x = - \frac{3}{2}\lambda , y = -\frac{1}{2} \lambda , z = \lambda \end{eqnarray*}$
Parameterdarstellung: $\begin{eqnarray*} \lambda \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
----------
das hatte ich noch vergessen zu machen:
--------

2) -2 eingesetzt für a und LGS aufgelöst dann kam für -5z = 0 raus, deshalb hab ich nen Parameter definiert ( $\begin{eqnarray*} z = \mu \end{eqnarray*}$ ) und somit alle anderen bestimmt.

$\begin{eqnarray*} x = -4\mu , y = 2 \mu , z = \mu \end{eqnarray*}$
Parameterdarstellung: $\begin{eqnarray*} \mu \begin{pmatrix}-4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
//edit: okey nun müsste alles richtig sein

22.10.2007, 21:15

mYthos

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Zitat:

Original von fraggelfragger

Zitat:

Original von mYthos
Erstens ist 3 > a > 3 ... unverständlich und nicht richtig und zweitens

Ja, so passt dies mal. Deine zweite Parameter-Lösung stimmt jedoch nicht, sh. meinen Vorpost, der sich mit deinem überschnitten hat.

P.S.: Nimm für die zweite Lösung einen andere Bezeichnung für den Parameter als bei der ersten, sonst ergibt dies einen Widerspruch.

mY+

22.10.2007, 21:31

fraggelfragger

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RE: LGS Für welches a nicht triviale Lösungen?

Zitat:

Original von mYthos
Die Parameterdarstellung der ersten Teillösung ist richtig, du kannst diese noch zu

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \lambda \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

erweitern.

sicher das die erste Richtig war? weil hab das nochma ein zweites mal nachgerechnet und kam auf das das ich editiert habe oben. ( minus zeichen )

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x = - 3\lambda , y = -1 \lambda , z = 2\lambda \end{eqnarray*}$
Parameterdarstellung: $\begin{eqnarray*} \lambda \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

// ach das ist ja egal weil Lambda ja definiert wurde entweder minus oder plus oder?

22.10.2007, 21:36

mYthos

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Du kannst ein Vorzeichen natürlich auch in den Parameter "einarbeiten", daher sind beide Varianten richtig.

mY+

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