Induktion: Alle Frauen sind blond |
| 23.10.2007, 16:01 | raetselbob | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Induktion: Alle Frauen sind blond Für alle n \in; N gilt: Ist in einer Menge von n Frauen eine Frau blond, so sind alle Frauen der Menge blond. widerlegen. Finden Sie in dem folgenden Beweis den Fehler! Induktionsverankerung Wir wollen die Aussage zuerst für n = 1 beweisen. Für diesen Fall ist die Aussage aber klar, da die Menge nur aus einer Frau besteht und wenn diese Frau blond ist, gilt dies schon für die ganze Menge. u Induktionsbehauptung Es gibt also eine natürliche Zahl n0 , sodass für alle natürlichen Zah- len n <= n0 die obige Aussage gilt. Induktionsschritt Wir zeigen nun, dass dann auch für alle n <= n0 +1 die obige Aussage gilt. (Mit den Axiomen von Peano gilt die Aussage dann auch für alle natürlichen Zahlen!) Sei also M eine Menge von n0 + 1 Frauen. Von diesen n0 + 1 Frauen ist nach Voraussetzung mindestens eine blond — sagen wir die Frau heißt Schneewittchen. Wir betrachten nun eine Teilmenge M' C M der Größe n0 , in der Schneewittchen enthalten ist. Da Schneewitt- chen blond ist, sind nach Induktionsbehauptung alle Frauen dieser Teilmenge M' blond. Zu beweisen ist nur noch, dass die eine Frau, die in M , aber nicht in M' enthalten ist, auch blond ist — lassen Sie uns diese Frau Rotkäppchen nennen. Um zu beweisen, dass Rot- käppchen blond ist, betrachten wir die Menge, die nur aus Schnee- wittchen und Rotkäppchen besteht. Da Schneewittchen blond ist, ist nach Induktionsbehauptung Rotkäppchen auch blond. Somit haben wir bewiesen, dass alle n0 + 1 Frauen aus M blond sind. WO ist da der Fehler ( hinweise reichen mir völlig ) |
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| 23.10.2007, 16:04 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Im unzureichenden Induktionsanfang. 
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| 23.10.2007, 16:36 | raetselbob | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wieso der ist doch logisch: wenn eine Frau nur drin ist und die blond ist, dann sind alle Frauen dieser Menge, die ja nur aus dieser Blondine besteht, blond. 
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| 23.10.2007, 16:39 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann werde ich mal deutlicher: Dein Induktionsschritt ist völlig Ok für . Aber er klappt nicht für - gehe mal die dort vorgebrachten Argumente Punkt für Punkt durch, dann siehst du es. Also musst du entweder diesen Induktionsschritt korrigieren, so dass er auch für klappt - oder du ergänzt den Induktionsanfang um den Fall . |
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| 24.10.2007, 13:21 | raetselbob | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
so ich hab nochmal bisschen reingelesen, also meine Frage: Es wird ja bewiesen indem man sich ne Menge nimmt M und ne Menge M' in der genau 1 Frau / Element weniger drin ist als in M. Reicht es jetzt zu sagen, dass für n0=1 was ja zulässig ist, die MEnge M' leer wäre und die Argumentation somit falsch ist ? |
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| 24.10.2007, 14:00 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Problematisch im Fall ist wohl eher folgende Stelle des Induktionsschrittes:
Die genannte Menge enthält zwei Frauen. Zum Zeitpunkt liefert die Induktionsvoraussetzung nicht das nötige Rüstzeug, um sagen zu können, dass eine aus zwei Frauen bestehende Menge durchgängig blond ist, wenn nur eine davon als blond bekannt ist... |
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| 24.10.2007, 14:41 | raetselbob | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sorry aber ich steh aufm schlauch, wenn ich nur 2 Frauen in der Menge hab und eine ist blond , kann ich doch einfach die vorrasusetzung anwenden und dann ist die andere Frau auch blond |
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| 24.10.2007, 15:01 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Welche Voraussetzung denn? Für Gruppen von mehr als einer Frau wurde nichts bewiesen. |
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| 24.10.2007, 15:19 | raetselbob | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja das ist doch der Kernpunkt an dem ganzen bei 3 Frauen sagt man doch auch die eine is blond weil man sie in ne Menge stecken kann und es steht ja oben, dass alle Frauen in einer Menge blond sind wenn eine es ist. wenn ich das nicht als gegeben betrachte dann kann man ja keinen induktionsbeweis führen |
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| 24.10.2007, 15:26 | oerny | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Induktion: Alle Frauen sind blond Freut mich das noch jemand im Prinzip das gleiche Problem hat wie ich, nur wars bei mir folgede Aufgabe mit folgender Lösung: Im folgendem soll gezeigt werden, dass es Leben auf dem Mars gibt. Dazu ”beweisen” wir folgende Aussage mit vollständiger Induktion. Aussage A(n): Ist in einer Menge von n Planeten einer bewohnt, dann sind alle bewohnt. Induktionsanfang: Die Behauptung stimmt für n = 1. Induktionsannahme: Aussage A(n) sei für n bewiesen. Induktionsschluß: Es seien P1, . . . , Pn+1 Planeten, von denen ein Planet bewohnt ist. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir annehmen, dass P1 bewohnt ist. Aus der Induktionsannahme folgt dann, dass die Planeten P1, . . . , Pn alle bewohnt sind. Dann ist aber auch einer der Planeten P2, . . . , Pn+1 bewohnt. Aus der Induktionsannahme folgt dann, dass auch Pn+1 bewohnt ist. Folglich sind alle Planeten P1, . . . , Pn+1 bewohnt. Damit ist Aussage A(n) für alle n Element N bewiesen. Da die Erde bewohnt ist, folgt damit insbesondere, dass auch der Mars bewohnt ist. Überprüfe diese Argumentation genau und lokalisiere gegebenenfalls die Fehler. Mit der Lösung (die ich mir leider nicht erklären kann) Der Induktionsanfang ist richtig. Aber der Induktionsschluß funktioniert nur für n >= 2. Er läßt sich nicht von n = 1 auf n = 2 durchführen. das einzige was ich mir denke wo der "Fehler" liegen könnte ist hier: Es seien P1, . . . , Pn+1 Planeten, hier hab ich schon zwei Elemente, oben beweis ich aber für ein Element (n=1) in der Menge, stimmt das? hoffe dieses Thema schafft auch bei mir Licht im dunkel |
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| 24.10.2007, 15:58 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@raetselbob Eigentlich habe ich ja alles gesagt, aber als letzten Versuch bemühe ich mal den beliebten Vergleich von Vollständiger Induktion mit dem Dominoeffekt. Deine Dominosteinreihe hier sieht wunderschön aus - mit einem kleinen, aber verhängnisvollen Schönheitsfehler: Der erste Stein steht zu weit vom zweiten entfernt, so dass das Umstoßen des ersten Steins (Induktionsanfang) nicht das Fallen den zweiten Stein bewirkt. Und damit bleibt mit Ausnahme des ersten Steins leider die gesamte Dominoreihe stehen - trotz engem Abstand zwischen zweiten und dritten Stein, dritten und vierten Stein, usw. |
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| 24.10.2007, 16:00 | Tobias | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also nochmal langsam: Wir haben eine Aussage A(n) für alle n zu beweisen. Anfang: A(1) gilt. Voraussetzung: A(n) gelte für beliebiges, fest gewähltes n. Schluss: Aus der Gültigkeit von A(n) folgt die Gültigkeit von A(n+1). Eure Induktionen haben nun alle einen Fehler gemeinsam: Die Argumentation im Induktionsschluss funktioniert nicht für n=1. Wir müssen aber zeigen, dass für beliebige n (also auch für den Fall n=1: ) gilt. Nehmen wir also den Induktionsschritt im blonde-Frauen-Beweis und spezialisieren uns auf den Fall Induktionsschritt Sei also M eine Menge von 2 Frauen. Von diesen 2 Frauen ist nach Voraussetzung mindestens eine blond — sagen wir die Frau heißt Schneewittchen. Wir betrachten nun eine Teilmenge M' C M der Größe 1, in der Schneewittchen enthalten ist. Da Schneewitt- chen blond ist, sind nach Induktionsbehauptung alle Frauen dieser Teilmenge M' blond. Zu beweisen ist nur noch, dass die eine Frau, die in M , aber nicht in M' enthalten ist, auch blond ist — lassen Sie uns diese Frau Rotkäppchen nennen. Um zu beweisen, dass Rot- käppchen blond ist, betrachten wir die Menge, die nur aus Schnee- wittchen und Rotkäppchen besteht. Da Schneewittchen blond ist, ist nach Induktionsbehauptung Rotkäppchen auch blond. Unsere Induktionsbehauptung ist A(1), also gilt sie nur für einelementige Mengen. Hier brauchen wir aber eine Aussage für zweielementige Mengen, die wir nicht haben. Dasselbe gilt bei dem Planeten-Beweis: Induktionsschluß: Es seien P1, P2 Planeten, von denen ein Planet bewohnt ist. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir annehmen, dass P1 bewohnt ist. Aus der Induktionsannahme folgt dann, dass die Planeten P1, P2 alle bewohnt sind. Dann ist aber auch einer der Planeten P2 bewohnt. Aus der Induktionsannahme folgt dann, dass auch P2 bewohnt ist. Unsere Induktionsannahme für den Fall n=1 ist nur, dass P1 bewohnt ist. Also ist auch hier ein falscher Schluss gezogen worden. |
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| 24.10.2007, 17:24 | oerny | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
verstehe ich das richtig: da ich in der Induktionsannahme von einer Menge mit einem Element ausgehe und zeige das dies für diese Menge gilt, kann ich unten nicht auf eine Menge mit 2 oder mehr Elementen schließen? Wie ist das dann bei andern Induktionsbeweisen, gibts da öfter solche "Fallen" oder ist das eher selten bzw. woran erkenne ich z.B. bei der Gausschen Summenformel das dies nicht so ist? (daran, dass die aussage für ein n Element N gilt?) |
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| 24.10.2007, 17:31 | Tobias | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du musst darauf achten, dass im Induktionsschluss eine Einschränkung dazu führt, dass die Aussage für alle im Induktionsanfang gezeigt werden muss. Bei den falschen Induktionsbeweisen funktioniert der Schluss nur für aber der Anfang zeigt die Aussage lediglich für . Edit: Vor der nächsten Frage den Thread nochmal von vorne lesen und Arthurs Argumente beachten sonst steckt er mich nachher noch in einen Käfig und gibt mir Papageienfutter. 
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| 24.10.2007, 19:19 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In einem Interview habe ich mal Frau Merkel (sinngemäß) sagen hören: Die größte Umstellung für sie beim Wechsel von der Wissenschaft in die Politik sei es gewesen, dass man alle Argumente ständig wiederholen müsse, um sie den Leuten richtig einzuhämmern. Nun, daran werde ich mich wohl nie gewöhnen, da ich kein Politiker bin. Aber ich habe nix dagegen, wenn andere die Argumente in vielleicht verdaulicherer Form wiederholen. Vielleicht kommen sie irgendwann ja mal an.
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| 24.10.2007, 23:03 | oerny | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
jetzt muss ich doch nochmal fragen, ich dachte ich hatte es verstanden, bin mir aber jetzt nichtmehr so sicher bzw. verwirrt: wenn der Induktionsschluss von einem n das größer als ist begonnen wird, müssen alle n, die kleienr als sind vorher explizit geprüft werden? soweit richtig? nur wenn ich wähle, und was nach
gelten müsste habe ich ja nicht gezeigt oder? und jetzt nochmal ganz blöde Frage, mach ich das nicht immer das ich von einer Einelementigen Teilmenge auf die "Gesamtmenge" schließe? wo genau ist da der Unterschied? Ich zeig doch jeden Induktionsbeweise für ein Element und schließe dann auf n+1 oder stammt dieses Element normal aus der Gesamtmenge und ich stecke es wenn es gilt in eine Teilmenge(welche dann duch n+a zur Gesamtmenge wird)? |
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| 25.10.2007, 00:10 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bitte etwas genauer - so wie es jetzt da steht, ist das einfach nur absurd. |
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| 25.10.2007, 00:23 | papahuhn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine Fragen scheinen darauf hinzudeuten, dass du die vollständige Induktion zu formal siehst. Es ist kein Zauberspruch den man so genau wie möglich aufsagen muss, damit er funktioniert. Deshalb gibt es da keine universelle Vorgehensweise. Die zu behandelnden Beispiele sollen zeigen, dass man ab und zu konkrete Werte der Induktionsvariablen hinterfragen muss. |
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| 25.10.2007, 15:30 | oerny | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok ich versuchs mal anders zu formulieren: ich zeige doch bei einer induktion immer das die aussage für ein n z.B. n=1 gilt, dann schließe ich durch n+1 das die Aussage richtig oder falsch ist. jetzt ist meine frage, ob n=1 nicht auch aus einer einelementigen menge (teilmenge der gesamtmenge) stammt, sosnt wäre das ja das gleiche wie bei den beweisen oben. wo genau ist da der unterschied. oder ist es so, dass ich aus der gesamtmenge ein element z.B. n=1 nehme, die aussage übberprüfe und dann n bzw. 1 in eine teilemenge (n element der teilmenge) stecke, für die die aussage gültig ist. Dann zeige ich für ein bleibiges n+1 aus der Gesamtmenge das die aussage gültig ist, dann schließe ich, da in der Teilemnge n und n+1 enthalten sind, das die Teilmenge = der Gesamtmenge ist.
ich versteh nur nicht wo der unterscheid zu normalen Induktionsbeweisen liegt, vielleicht ibn ich auch einfach zu doof... |
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| 25.10.2007, 15:40 | papahuhn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry, ich verstehe deine Frage nicht. |
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| 25.10.2007, 15:48 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Irgendwie sind doch alle Frauen blond - die eine mehr, die andere weniger
SCNR |
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| 25.10.2007, 16:00 | papahuhn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
qed |
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| 25.10.2007, 16:08 | Tobias | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Von welchen Mengen sprichst du denn da? |
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| 25.10.2007, 16:20 | oerny | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok lassen wir die mengen weg, ist nicht so wichtig! ich versteh einfach nciht, warum das in dem fall einen unterschied macht zu dem standardfall mit n=1 und dann n+1. ich zeig das doch immer nur für n=1 oder ein spezielles element. |
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| 25.10.2007, 19:03 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es gibt keinen Unterschied zu dem von dir bezeichneten "Standardfall". Du weigerst dich nur beharrlich zu akzeptieren, dass dein Induktionsschritt im Fall , also der Schritt einfach nicht stichhaltig ist, da du dort bereits die Behauptung für 2 Frauen (Schneewittchen und Rotkäppchen) nutzt - der klassische Zirkelschluss. @Moderatoren Es wäre vielleicht zweckmäßiger, den Thread in die Schulmathematik zu verschieben, da es hier um grundsätzliche Verständnisfragen der Vollständigen Induktion geht. |
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| 25.10.2007, 19:26 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Arthur) Wenn ich mir so dieses Blatt anschaue (Aufgabe H1.2) und berücksichtige, dass Induktion seit einiger Zeit kein Schulstoff mehr ist (wir hatten es auch nicht mehr in der Schule), passt das eigentlich schon hier (so ist es auch leichter zu finden, da Studenten eher weniger im Schulbereich aktiv sind). Aber ich kann auch damit leben, wenn es jemand der anderen Moderatoren verschieben möchte 
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| 25.10.2007, 19:32 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hab ich nicht gewusst, danke. Ich bin irrtümlich davon ausgegangen, dass man das heute in 13 Jahren unterbringen kann, was früher in 12 Jahren auch möglich war.
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| 25.10.2007, 19:42 | Tobias | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast heutzutage aber ganz andere Voraussetzungen als früher. Die ganzen blonden Frauen drücken das Lern- und Lehrtempo in den Keller.
Was erhält man, wenn man einer Blondine einen Pfennig für ihre Gedanken bietet? Wechselgeld |
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| 25.10.2007, 19:44 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So ganz Unrecht hat Arthur doch nicht: Vollständige Induktion |
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| 25.10.2007, 20:04 | oerny | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich glaub wir lassens gut sein, die induktion an sich ist ja kein Kunststück, nur seh ich hier den pferdefuss einfach nicht. Ich hab auch verstnaden das mein Induktionsschritt nicht passt, und das ich da erst für n>=2 das so machen dürfte, aber warum versteh ich leider wirklich nicht bzw. erkennen würde ich das auch nicht. |
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| 25.10.2007, 20:06 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
oerni, offenbar hast du das Prinzip der vollständigen Induktion nocht nicht richtig verinnerlichen können. Deine Argumentation hier ist von ähnlichem Charakter wie deine Signatur.
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| 25.10.2007, 20:08 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielleicht hilft ein zweites, ähnliches Beispiel. |
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| 25.10.2007, 20:10 | oerny | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
doch ich denke das ich das Prinzip verstanden habe, nur hier hab ich eben ein Problem. Wenn mir das evtl mal eine mit ganz einfachen worten erklären könnte, das der induktionsschritt falsch ist habe ich auch verstnaden, nur genau wo? oder ist es das: Es seien P1, P2 Planeten, von denen ein Planet bewohnt ist. Und ich weis nur das von einem Planet einer bewohnt ist? bzw bei den frauen weis ich dsa eine blodn ist aber nciht dsa von zweien eine blond ist edit: nach leopolds link: heißt das das ich prüfen müsste das bei der aufgabe mit den Planeten eine menge von mehr als einem planeten komplett bewohnt ist wenn einer bewohnt ist also für n0>=2 ??? wo genau les ich das aus der Behauptung da steht doch nur wenn einer bewohnt ist, sind alle bewohnt. |
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| 25.10.2007, 20:23 | oerny | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ICh glaub ich habs grad kapiert: Ich zeige das für eine Menge mit einem Element die Aussage gilt, brauch aber für den Schluss, so wie er da steht 2 Elemente, und deshalb kann ich meine oben gezeigte Aussage nicht nutzen? stimmt das so? |
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| 25.10.2007, 20:30 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Haleluja. Jetzt ist der Groschen gefallen. 
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| 25.10.2007, 20:33 | oerny | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
spät aber immerhin! und nochwas zu meiner signatur, ich hoff du weist wo die herkommt.....falls nicht frag mal die Uni in Springfield bei den Simpsons, ich fand die eine Folge mit Pi=3 recht komisch, daher kommt das |
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