Beweis per vollständiger Induktion

24.10.2007, 17:01

Submaske

Beweis per vollständiger Induktion

Hallo

ich mache gerade meine Mathe Übung und bin über diese Aufgabe gestolpert und ich bekomme einfach den 2. schritt der Induktion nicht hin traurig

, wollte also mal fragen ob mir hier einer helfen kann.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~kk \end{eqnarray*}$ !=(n+1)!-1

PS: was die Ausrufezeichen bedeuten weiß ich auch nicht.

24.10.2007, 17:10

kiste

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Ja ohne zu wissen was die Ausrufezeichen bedeuten ist die Aufgabe auch nicht schaffbar.
!.

Jetzt denke noch einmal darüber nach

24.10.2007, 17:12

aRo

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dabei handelt es sich um die Fakultät.
Oh, ich sehe gerade,dass Kiste dir freundlicherweise den Link gegeben hat.

Der I.S. ist auch nicht so schwer, sobald du weißt, was die Fakultät ist und wie man die Summe auseinanderziehen kann.

24.10.2007, 18:14

Submaske

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Tut mir leid aber wir haben das noch nie mit Fakultät gerechnet könnt ihr mir vieleicht noch einen kleinen tip oder denn anfang geben.

24.10.2007, 18:21

aRo

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ihr bekommt so eine Aufgabe ohne überhaupt zu wissen, was die Fakultät ist?
Glaube ich kaum..

hast du dir denn Kistes Link durch gelesen? Was gilt es im Induktionsschritt denn überhaupt zu zeigen? Schreib mal auf wovon du ausgehen musst und wo du hin müsstest.

24.10.2007, 19:42

Submaske

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Den Begriff Fakultät hatten wir mal im zusammenhang mit der cardinalzahl.

Also bedeutet das wenn ich n= 1 setze das das da rauskommt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^1~kk1=(1+1)1-1 \end{eqnarray*}$

und mit dem 2. schritt komm ich garnicht klar

24.10.2007, 19:48

vektorraum

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Na du setzt doch nicht für das Fakultätszeichen die eins ein verwirrt

Hast du dir den Link auch gründlich durchgelesen???

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} 1!=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2!=2\cdot 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3!=3\cdot 2\cdot 1 \end{eqnarray*}$

usw.

Also lautet dein Induktionsanfang:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{1}k\cdot k!=(1+1)!-1 \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

24.10.2007, 19:55

Submaske

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Also muss ich das Fakutät garnicht beachten.
Ok und wie gehe ich dann im 2. schritt vor

24.10.2007, 20:00

vektorraum

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In dem Fall gerade mal nicht, sonst musst du die Fakultät schon beachten!

Induktionsschritt sagt dir was?

Du hast zu zeigen, dass gilt

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}k\cdot k!=((n+1)+1)!-1 \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}k\cdot k!=\ldots \end{eqnarray*}$

Versuche nun durch Umformung dieser Summe einen neuen Ausdruck zu erhalten, in dem du dann die Induktionsvoraussetzung einsetzt. Dann ein bisschen umformen und versuchen auf die rechte Seite der "zu zeigen" - Zeile zu kommen.

24.10.2007, 20:03

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Submaske
Also muss ich das Fakutät garnicht beachten.

Doch. Aber es ist nunmal $\begin{eqnarray*} 1! = 1 \end{eqnarray*}$ . Für den Induktionsschritt beginnst Du mit der zu beweisenden Aussage, die nun von $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ abhängt. Die weitere Umformung ergibt sich aus der Induktionsannahme, die besagt, der Satz sei für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ bereits gezeigt.

Edit: Zu spät unglücklich

24.10.2007, 20:12

Submaske

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ist das erstmal richtig

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n+1~kk!+(n+1)=((n+1)+1)!-1 \end{eqnarray*}$

=(n+1) oder (n+1)!

24.10.2007, 20:16

vektorraum

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Nein, leider nicht. Zuerst ein Tipp: Schreibe besser

code:
1:	\sum_{k=1}^{n+1}

für einen Exponenten mit mehr als einem Zeichen.

Schreibe dir doch mal die linke Seite in meiner obigen Gleichung ausgeschrieben auf. Dann siehst du, was du dazu addieren musst, wenn du den Index auf n runterbrichst.

Oder ganz einfach: Setze einfach das letzte Glied n+1 für k ein und addiere es zur Summe dazu.

24.10.2007, 20:26

Submaske

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also

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~(n+1)*(n+1)! \end{eqnarray*}$

24.10.2007, 20:31

vektorraum

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Nein! Überlege doch auch mal ein bisschen, ob das mit obigem Ausdruck gleich kommt. Vielleicht habe ich mich schlecht ausgedrückt.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}k\cdot k!=1\cdot 1!+2\cdot 2!+3\cdot 3!+\ldots + n\cdot n!+(n+1)\cdot (n+1)! \end{eqnarray*}$

Das solltest du dir ausgeschrieben haben. Was bleibt also übrig, wenn du die Summe auf n runterbrichst?

24.10.2007, 20:42

Submaske

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Ich hab keinen plan, dass wird wohl nichts mehr mit mir.

24.10.2007, 23:58

klarsoweit

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Das ist schade, was studierst du denn?

Also nochmal zum Induktionsschritt. Zu zeigen ist da:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}k\cdot k! = (n+2)! - 1 \end{eqnarray*}$

Dabei darf $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n}k\cdot k! = (n+1)! - 1 \end{eqnarray*}$ als wahr vorausgesetzt werden.

Aus $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}k\cdot k! \end{eqnarray*}$ ziehst du den letzten Summanden - also für den Index k=n+1 - heraus:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}k\cdot k! = \sum_{k=1}^{n}k\cdot k! + (n+1) \cdot (n+1)! \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du die Induktionsvoraussetzung verwenden.

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