Beweis - Es gibt unendlich viele Primzahlen

26.10.2007, 00:22

lorezk

Beweis - Es gibt unendlich viele Primzahlen

Hallo an alle.
Also erstmal: Ich habe den Beweis verstanden. Jedoch nicht so, wie wir ihn in der Schule formuliert haben. Nämlich so:

p1,p2,p3,...,pn seien die ersten n Primzahlen.
Wir bilden die natürliche Zahl q = p1 * p2 * p3 * ... * pn + 1.
r sei der kleinste echte Teiler von q.
Dann ist r eine Primzahl mit r > pn (denn wäre r <= pn, dann würde r|q und r|p1 * p2 * p3 * ... *pn und somit r|1 folgen).
Somit besitzt jede Primzahl (pn) eine größere Primzahl r, d.h. es gibt unendlich viele Primzahlen.

Ich verstehe alles, nur nicht das, was in der Klammer steht. Kann mir das mal jemand an einem Beispiel erklären? Warum ist folgt dann r|q und r|... und r|1? Bin hier total am verzweifeln, weil ich damit meinen ganzen Abend vergeudet habe. Und im Internet findet man den Beweis auf dieser Art nirgends.

26.10.2007, 06:24

Leopold

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Dein Beweis ist beinahe so alt wie die Mathematik (jetzt übertreibe ich wohl etwas), er stammt nämlich vom altehrwürdigen Meister Euklid.

Eigentlich genügt es zu zeigen:
Zu jeder endlichen Menge von Primzahlen gibt es eine weitere Primzahl, die nicht zur Menge gehört.

Man muß also nicht einmal die ersten paar Primzahlen nehmen, man kann irgendwelche nehmen. Nehmen wir etwa 3 und 5. Dann ist das Produkt 3·5 ein Element sowohl der Dreierreihe als auch der Fünferreihe, wenn man dann noch 1 dazutut, kann die neue Zahl weder durch 3 noch durch 5 teilbar sein. Wenn man jetzt einmal davon ausgeht, daß schon bekannt sei, daß sich jede natürliche Zahl eindeutig in Primfaktoren zerlegen läßt, dann können die Primteiler von 3·5+1 weder 3 noch 5 sein. Also ist eine neue Primzahl gefunden. Und in der Tat: 16 = 2·2·2·2.

Ein weiteres Beispiel. Wir nehmen die Primzahlen 5,7,13:
5·7·13+1 = 456 = 2·2·2·3·19

Und du kannst 2 oder 3 oder 19 als neue Primzahlen hinzunehmen.

26.10.2007, 14:54

lorezk

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Wie gesagt, den Beweis hab ich ja verstanden.
Nur verstehe ich nicht, wieso r nicht kleiner oder gleich pn sein kann.

Gruß

26.10.2007, 16:10

sqrt4

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Naja wenn $\begin{eqnarray*} r\leq p_n \end{eqnarray*}$ , dann is $\begin{eqnarray*} r\in \{p_1,p_2...,p_n\} \end{eqnarray*}$ . Dann teilt aber r das Produkt $\begin{eqnarray*} p_1\cdot p_2...\cdot p_n \end{eqnarray*}$ . Gleichzeitig soll r aber auch q teilen.
überleg dir das mal ! r soll eine Zahl q und gleichzeitig q-1 teilen. Anschaulich is das doch nicht möglich! (außer r=1)

Etwas formaler ausgedrückt folgt daraus dass r die Zahl q und q-1 teilen soll, dass r dann auch jede Linearkombination von q und q-1 teil, insbesondere die Linearkombination

$\begin{eqnarray*} 1\cdot q+(-1)\cdot(q-1)=1 \end{eqnarray*}$

P.S.: Bist du an der TUM? Augenzwinkern

Das mit der Linearkombination haben wir nämlich bewiesen.(ist auch nicht weiter bahnbrechend- also leicht nachzuweisen, falls ihr das nicht gemacht habt)

Der "Satz" lautet: $\begin{eqnarray*} a,b,c,x,y \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$
gilt $\begin{eqnarray*} a|b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a|c \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} a|(x\cdot b+y\cdot c) \end{eqnarray*}$
In deinem Fall ist $\begin{eqnarray*} b=q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c=q-1 \end{eqnarray*}$ .

26.10.2007, 16:27

lorezk

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Uni? Ich gammel noch in der 11. Klasse rum. Big Laugh

Deswegen sagt mir "Linearkombination" jetzt reichlich wenig.

Mir geht es halt mehr um die Formulierung.
Wenn r kleiner ist als pn, dann teilt das q. Aber wie kann eine Zahl, die q teilt, auch das Produkt der Primzahlen teilen? Und was hat das ganze mit r|1 zu tun?

Wie gesagt, der Beweis ist kein Problem.
Nur verstehe ich nicht, weshalb r q, das Prodult der Primzahlen und auch noch 1 teilt (wie kann r bitte 1 teilen?!)...

26.10.2007, 16:40

sqrt4

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RE: Beweis - Es gibt unendlich viele Primzahlen

Zitat:

Original von lorezk
r sei der kleinste echte Teiler von q.

Wäre(!) $\begin{eqnarray*} r\leq p_n \end{eqnarray*}$ so muss r eine der Primzahlen $\begin{eqnarray*} p_1,p_2,...p_n \end{eqnarray*}$ sein, weil r der kleinste echte Teiler ist!

Das heißt $\begin{eqnarray*} r|p_i \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} i \in \{1,2,..,n \} \end{eqnarray*}$ . In worten: Weil r eine dieser Primzahlen ist, muss sie diese Primzahl natürlich auch teilen, da jede natürliche Zahl Teiler von sich selber ist! (7 teilt 7 und 3 teilt 3 !)

Damit teilt r natürlich auch das Produkt aller dieser Primzahlen!

So und jetzt zu dem "Satz". ERstmal wieder anschaulich. Sei a=3. WEnn 3 die Zahl 9 teilt und 3 die Zahl 15 teilt, dann teilt 3 auch die ZAhlen

$\begin{eqnarray*} (124563)\cdot 9+178\cdot 15 \end{eqnarray*}$ oder allg alle zahlen $\begin{eqnarray*} x\cdot 3+y\cdot 15 \end{eqnarray*}$ weil $\begin{eqnarray*} x\cdot 3+y\cdot 15=3(x+5y) \end{eqnarray*}$ . Den Beweis dazu kannst du vllt selber führen.

Nach Voraussetzung soll aber natürlich die Zahl r der kleinste echte Teiler der ZAhl q sein. Also müsste gelten r teilt q und r teilt q-1. So und wenn du jetzt den Satz anwendest (s.o.) dann folgt daraus, dass r dann auch die Zahl $\begin{eqnarray*} 1\cdot(q)+(-1)(q-1)=1 \end{eqnarray*}$ teilen müsste, was natürlich nur für r=1 gilt.

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