Parallelprojektion: Stufe 13, für die wahren Kenner! |
| 26.10.2007, 15:16 | Jov | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Parallelprojektion: Stufe 13, für die wahren Kenner! heute im Unterricht haben wir für nächste Stunde Referate verteilt bekommen. Komme heute bei diesem Thema allerdings nicht zurecht, da wir es noch nicht hatten. Hier mal meine individuelle Aufgabenstellung und im Anschlus mein Lösungsansatz: Referat: Parallelprojektion Gegeben sei eine Ebene E1: 2 x1 + 2 x2 + x3 = 4 1. Bestimme die Schnittpunkte der Ebene E1 mit den Koordinatenachsen. 2. Unter den Spurgeraden einer Ebene versteht man die Schnittgeraden der Ebene mit den Koordinatenebenen. Veranschauliche die Ebene E1 durch Zeichnen der Bilder der Spurgeraden unter der Projektion mit der Projektionsrichtung senkrecht zur Projektionsebene x2-x3- Ebene. 3. Zeichne auch das Bild einer zur Ebene senkrechten Ursprungsgerade ein. 4. Die Ebene E2 sei die zu E1 senkrechte Ebene durch den Ursprung. Es wird senkrecht auf E2 projieziert. Berechne die Bilder der Spurgeraden von E1 unter dieser Projektion. 5. Berechne die Längen der Bilder der Einheitsvektoren unter der Projektion aus 4. 6. Berechne die Winkel, die die Bilder dieser Vektoren miteinander einschließen. 7. Gib die axonometrische Abbildung an, die das gleiche Bild liefert wie die Parallelprojektion aus 4. So nun meine kläglichen Lösungsansätze: 1.) Hier muss ich doch die Einheitsverktoren in die Ebene einsetzen, also für x1,x2,x3, aber das kann nicht stimmen, weill ich dann eine Ungleichung bekomme. 2.) was sind denn die Bilder der Spurgeraden? Wie komme ich darauf? 3.) ok 4.) Wie berechne ich die Spurgeraden? 5.) wie? 6.) Wie? 7.) was ist eine axonmetrische Abbildung und wie gebe ich die an? Ich sitze jetzt echt schon ewig dran aber zu dem Thema finde ich sowohl online als auch in diversen Büchern nichts hilfreiches. Ich bedanke mich im Voraus für eure Hilfe, die ich sehr schätze! Gruß Jov |
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| 26.10.2007, 15:31 | co0kie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich verstehe überhaupt nicht, was du mit "Bildern" meinst. Ich kenne Ebenen und Geraden, aber Bilder höre ich zum ersten mal. Helfen kann ich dir deshalb nur bei Aufgabe 1: Du weißt, dass beim Schnittpunkt zwischen Ebene und x1-Achse die x2 und x3-Koordinate 0 sein müssen. Wenn du das in deine Ebenengleichung einsetzt, bleibt nur noch eine Variable über. Das gleiche bekommst du, wenn du davon ausgehst, dass beim Schnitt mit x2- und x3-Achse ebenfalls die jeweils anderen beiden Koordinaten gleich null sind. |
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| 26.10.2007, 15:37 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
1) wieso 
usw.2) verbinde, was du unter 1 berechnet hast bild: das was du projizierst also bestimme zuerst die projektionen, dann kannst du 5) und 6) lösen edit: zur axiometrie guck hier - auf österreichisch luag da |
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| 26.10.2007, 17:43 | Jov | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, vielen Dank euch beiden erstmal. Ich denke Aufgabe 1 ist ist mir nun klar, riwe und c0okie ihr meint meiner Meinung nach das Selbe, das ist also klar. Bei Aufgabe 2 liegst du glaube ich falsch riwe. Unter Spurgeraden versteht man ja die Schnittgeraden, die sich aus der Ebene E1 und den Koordinatenebenen ergeben und nicht aus Ebene E1 und den Koordinatenachsen. Deshalb wie komme ich an die Geradengleichungen, oder kriege ich das nur zeichnerisch hin? Und wie komme ich an meine Projektionsgleichung? Vielen Dank für weitere Hilfe. Gruß Jov p.s. Wir befinden uns ganz nebenbei auf LK-Niveau 
Wer das hinkiregt ist echter Mathe-pro
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| 26.10.2007, 17:49 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wer lesen kann, ist im Vorteil 
----------- verbinde, was du unter (1) berechnet hast (schrieb werner) ----------- Was kann das wohl heissen? Wenn man Spurpunkte verbindet, gelangt man automatisch zu Spurgeraden. mY+ |
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| 26.10.2007, 17:56 | Jov | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wenn ich nochmal genauer nachdenke: stimmt. dann habe ich dadurch die Schnittgeraden mit den Ebenen. Aber dies kann ich nur zeichnerisch bestimmen, nicht rechnerisch? Und was ist mit Projektionsrichtung senkrecht gemeint? Ich weiß noch nicht was hier die Projektion sein soll und was projeziert wird. Bisher habe ich doch nur eine Ebene und deren Koordinatenachsenschnittpunkte eingetragen oder? also was wird wie projeziert? Auch bei Aufgabe 4 weiß ich nicht was wie projeziert wird. Ich hoffe ihr könnt das Rätsel lösen. Danke Myt0s für deine Antwort und weiterhin vielen Dank für folgende. |
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| 26.10.2007, 17:59 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
zur sache hat eh mythos schon alles gesagt ...kann berge versetzen
und spurgeraden berechnen
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| 26.10.2007, 18:00 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
2 punkte und daraus eine gerade zu basteln, ist eher grundwissen 
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| 26.10.2007, 18:09 | Jov | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja war halt mein Fehler, dachte man müsste dafür 2 Ebenen gleichsetzen. Bin trotzdem im Mathe-Lk und darf das für nächste Stunde im Form eines Referates vortragen. Wäre toll wenn weiter produktive Antworten kämen. Vielen Dank an weiterhin! |
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| 26.10.2007, 18:39 | Jov | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Parallelprojektion: Stufe 13, für die wahren Kenner! Also nochmal: Was wird hier überhaupt projeziert? Lasst mich nicht im Stich!
Vielen Dank. |
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| 26.10.2007, 19:08 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Parallelprojektion: Stufe 13, für die wahren Kenner!
Diese Angabenstellung ist nicht eindeutig. Ich stoße mich an ... sei die zu E1 senkrechte Ebene .... Es muss doch klar sein, dass es unendlich viele Ebenen durch einen Punkt senkrecht zu einer Ebene gibt. Solange E2 nicht feststeht bzw. du die Angabe nicht geklärt hast, wirst du daher nicht weiterkommen. Unter Projektion von geometrischen Elementen (sagen wir mal in R3) auf eine Projektionsebene versteht man jenen Vorgang, bei dem durch Punkte dieser Elemente sogenannte Projektionsstrahlen (Sehstrahlen) gelegt und mit dieser Ebene geschnitten werden. Die Sehstrahlen können parallel sein (von einem unendlich fernen Sichtpunkt ausgehen; -> Parallelprojektion) oder von einem fixen Punkt (Lichtquelle, Sehzentrum) ausgehen (Zentralprojektion). Von Normalprojektion spricht man, wenn bei einer Parallelprojektion die Projektionsstrahlen senkrecht zur Projektionsebene stehen. Auf der Projektionsebene erscheint dann das 2-dimensionale Bild des in R3 befindlichen Elementes (d.s. Punkte, Gerade, Ebenen, Körper), dieses Bild heisst dann Normalriss. Grund-, Auf- und Seitenriss sind zugeordnete Normalrisse. Nicht senkrecht projizierende Abbildungen nennt man Schrägriß. Übrigens: Es heisst zwar "die Projektion", aber das Zeitwort ist "projizieren", "projiziert". Wenn du nun die Bilder der in den Koordinatenebenen liegenden Spurgeraden der Ebene E1 auf E2 ermitteln willst, sind zuerst durch die entsprechenden Spurpunkte senkrecht zu E2 verlaufende Projektionsstrahlen zu legen und diese mit E2 zu schneiden. 2 solche entsprechenden Bildpunkte verbunden ergeben das Bild der Spurgeraden (auf E2). mY+ |
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| 26.10.2007, 19:31 | Jov | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo myt0s, vielen vielen Dank für deine umfangreiche Antwort. Nach deiner Erklärung leuchtet mir ein, dass es unendlich viele senkrechte Ebenen auf E1 geben muss. Die Aufgabenstellung ist also nich korrekt (wurde von einer Studentin verfasst, da her nicht sooo verwunderlich). Im folgenden gehe ich davon aus, dass ich eine senkreche Ebene frei wähle: Dies würde dann aber doch heissen, dass ich auf mehrere Seiten der E2- Ebene projeziere: da ich strahlen aus entgegengesetzen richtungen "losschicken" muss oder? Ich hätte also eine "doppelseitig bestrahlte" Ebene E2 oder sehe ich das falsch? Weiteres Problem: Wie kann ich diese E2- Ebene denn zeichnerisch darstellen, da ich ja auf die E1- Ebene schaue. Wie kann ich dann eine senkrecht dazu liegende Ebene zeichnen? Diese müsste mir ja entgegenkommen... Außerdem brauche ich doch die Gleichung der E2-Ebene für die folgenden Aufgaben oder? wie berechne ich diese? Vielen Dank für deine hochkompetente Hilfe!!! |
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| 26.10.2007, 19:35 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich rate dir vorerst: Bitte nochmals langsam und genauer lesen!! Du fragst Dinge, die im Prinzip alle schon beantwortet sind. Dir obliegt es nun, die richtigen Schlüsse zu ziehen! Beginne mal mit den Ansätzen .... mY+ |
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| 26.10.2007, 20:04 | Jov | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo myth0s, auch nach einer weiteren Studie deiner Antwort konnte ich meine Fragen nicht beantworten. Du schreibst zwar: Von Normalprojektion spricht man, wenn bei einer Parallelprojektion die Projektionsstrahlen senkrecht zur Projektionsebene stehen. Auf der Projektionsebene erscheint dann das 2-dimensionale Bild des in R3 befindlichen Elementes Daraus schließe ich, dass es sich in dem gegebenen Fall um eine Normalprojektion handelt. Aber trotzdem habe ich nachwievor das Problem, dass ich meiner Meinung nach auf zwei seiten "strahle". Also das die Ebene E2 zweimal bestrahlt wird oder? das geht aus deiner Beschreibung meiner Meinung nach nicht hervor. Danke weiterhin. Liebe Grüße Jov |
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| 26.10.2007, 20:29 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Frage, ob "doppelt bestrahlt", ändert nichts an dem Projektionsvorgang . Die Projektionsebene kann man sich als unendlich dünn (meinetwegen auch durchsichtig) vorstellen. In den meisten Fällen befindet sich das Objekt vor der Projektionsebene und die Projektionsebene dahinter. Die Strahlen werden nun parallel durch alle Punkte des Objektes gelegt und treffen die Projektionsebene und erzeugen dort das Bild des Objektes. Und über die Gleichung von E2 wurde doch schon gesprochen, oder? Du wolltest doch eine beliebige aufstellen? Wenn du die Normalprojektion dann ganz verstanden hast, wird dir auch klar sein, was das Bild einer Ebene ist, die senkrecht auf die Projektionsebene steht: Nämlich eine Gerade. Das ist das, was dir "entgegen kommt". Wobei zu bemerken ist, dass zwar die Projektion aller Punkte der Ebene in diese Gerade fällt, aber eben nur als Bild. Somit wird ein Punkt als Projektion auf dieser Gerade das Bild unendlich vieler Punkte der Ebene sein, genauer, das Bild einer auf die Projektionsebene senkrecht stehenden Geraden der anderen Ebene. mY+ |
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| 29.10.2007, 22:43 | Dunkit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi Mythos! Also ich site im selben LK wie Jov und habe ihm heute bei den Aufgaben ein wenig geholfen. Auch mir bleibt aber weiterhin Aufgabe 7 relativ unklar, obwohl man eigentlich meinen sollte, dass ich nach 2 Semestern LA an der Uni eigtl fit in sowas sein sollte xD Wir haben für eine von uns gewählte Ebene E2, die die gestellten Begindungen erfüllt, folgende Matrix für die Normalprojektion berechnet: Soweit ja ganz nett. Die axonometrische Abbildung wäre doch dann gegeben durch Hier ist bereits der erste Knackpunkt: Ich war zwar in der letzten Stunde nicht da, aber soweit ich weiss hatten wir bisher immer nur Parallelprojektionen auf eine Koordinatenebene. Hierbei gibt es ja dann eine Nullzeile in der Matrix, die man dann "weglässt" um auf die axonometrische Abbldung zu kommen. Ist das Kriterium für das "Weglassen" der Zeile in Wahrheit nicht die Tatsache, dass es nur Nullen sind, sondern dass sie lineare Abhäänig von mindestens einer der anderen Zeilen ist?! Nur so kann ich mir das bisher erklären. Weiter: Wenn ich nun davon ausgehe, dass meine Abbildungsmatrix richtig ist, erhalte ich ja aus einem 3-d Vektor abgebildet einen 2-d Vektor und die Ebene, in der sich dieser Vektor befindet ist in diesem Falle E2. Angenommen ich wollte das Ganze zeichnen: Ich zeichne ein 3d Koordinatensystem und darin eine Ebene, die aber auf jeden Fall irgendwie "schief" liegen wird. nun ist ja die EBENE gewissermaßen mein 2d koordinatensystem, oder? für mich ist jetzt unklar, wie man theoretisch die 2d Vektoren, die man aus der Abbildung erhält, einzeichnen würde. Ich hoffe du verstehst in etwa mein Problem. Oder muss ich beim wechsel von R3 nach R2 über diese Abbildung noch einen gleichzeitigen Basiswechsel beachten? ICh hoffe du kannst vielleicht etwas Licht in die Sache bringen. Bin zwar jetzt nicht direkt betroffen (muss das Referat ja nicht halten
) aber mich interessiert die Sache jetzt. Dass die Aufgabenstellung so merkwürdig ist liegt wahrscheinlich wirklich noch daran, dass die Betreffende noch Referendarin ist und gerade erst mit sowas wie unterrichten angefangen hat ;-) Außerdem zeigt mir dieses Beispiel mal wieder wie wenig die Schulmathematik mit dem zu tun hat, mit dem man später an der Uni konfrontiert wird und wie wenig einem manchmal doch das wissen aus der Uni hilft... Vielleicht bin ich aber auch einfach nur ein wenig Betriebsblind... |
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| 30.10.2007, 22:52 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Dunkit Bisher hatte ich dieses Thema nur vom Standpunkt der Darstellenden Geometrie aus behandelt (darin kenne ich mich noch gut aus). Die Berechnungen wurden bis jetzt mit Mitteln der analytischen Geometrie abgedeckt. Mit den dazugehörigen Abbildungsmatrizen (der Projektionen) bin ich nun derzeit nicht so vertraut (ich könnte mich sicher darin einlesen, im Moment würde das aber für mich zu weit führen, obwohl sehr interessant). Daher kann ich deine Fragen nicht so umfassend beantworten, wie du das vielleicht erwartest. Etwas zur 2-Dimensionalität. Im gegebenen Beispiel würde ich das nicht so sehen, auch die Ebene E2 ist ein dreidimensionales Gebilde (hinsichtlich des R3), nur die projizierten Punkte des Raumobjektes liegen dann "eben" in ihr, aber ihre Koordinaten haben immer noch das Kennzeichen von Raumpunkten. Somit kannst du einfach die Projektionsstrahlen in Form von Geradengleichungen mit dieser Ebenen zum Schnitt bringen (Nullzeilen der Matrix entstehen m. Mn. erst dann, wenn in die Koordinatenebenen projiziert wird). Auch die zu berechnenden Längen der Projektionen könnten so ermittelt werden. Es verläuft im Prinzip sehr ähnlich, wie bei Ermittlung des Schattens (Eigen-, Schlagschatten) von Objekten. Wir haben einfach die Lichtstrahlen mit den jeweiligen Flächen zum Durchstoß zu bringen. Wahrscheinlich lassen sich diese Vorgänge auch durch die erwähnte Projektionsmatrix sozusagen "automatisieren". mY+ |
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| 31.10.2007, 11:42 | Dunkit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, sehe ich auch so. Wie wir festgestellt haben wird bei einer Projektion auf eine beliebige Ebene eine Zeile linear abhängig von einer anderen. Dieses Kriterium trifft ja auch auf die Nullzeile zu. Ist ja auch irgendwie klar, da man alle Punkte in der Ebene ja von der Ebene als 2-dimensionales gebilde ausgehend, durch nur zwei Vektoren darstellen kann. |
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