Lineare Unabhängigkeit bei Polynomen

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Joe1 Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit bei Polynomen
Hallo alle zusammen,

ich zerbrech mir an folgender Aufgabe den Kopf:

Sei K[t] der Vektorraum aller Polynome in t mit Koeffizienten in K. Dann betrachte die Vektoren P1,P2,P3 element K[t], die durch

P1(t):=1, P2(t):=2t, P3(t):=3t²


defienert sind. Zeige: P1, P2 und P3 sind linear unabhängig. (Hinweis: Betrachte a1*P1+a2*P2+a3*P3 und leite nach t ab.)


Mein Ansatz wäre natürlich auch die Linearkombination gleich Null setzen und mir ist auch klar, dass für t=0 a1 auch gleich Null sein muss. aber für t ungleich 0 komm ich nicht weiter. Warum kann ich denn einfach nach t ableiten um die Gleichung zu lösen? Enthält die Gleichung nicht zuviele Unbekannte um sie lösen zu können?

gruß, Joe
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabenstellung ist irritierend. Da ist von die Rede ohne weitere Anforderungen an . Was wäre zum Beispiel, wenn die Charakteristik 3 hätte, dann wäre ja das Nullpolynom und von linearer Unabhängigkeit der drei Polynome dann keine Spur! Soll etwa ein Körper der Charakteristik 0 sein?
Auch finde ich den Beweisansatz über die Ableitung merkwürdig. Durch direkten Koeffizientenvergleich folgt doch schon alles. Ein Polynom ist ja genau dann das Nullpolynom, wenn alle Koeffizienten seiner Monome 0 sind:





Die letzte Äquivalenz gilt natürlich nur unter der Voraussetzung, daß weder die Charakteristik 2 noch die Charakteristik 3 besitzt.
 
 
Joe1 Auf diesen Beitrag antworten »

K ist bei uns entweder der Körper der Reellen oder der Komplexen Zahlen...mein fehler.. hätte dazu gehört. also stimmt deine lösung, oder? Leider haben wir in der Vorlesung noch nicht gesagt, dass ein polynom das Nullpolynom ist, wenn alle koeffizienten der monome gleich null sind. Kann ich das trotzdem schon verwenden?
Danke
Joe1 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage ist wie komm ich darauf, dass alle Koeffizienten der Monome gleich null sein müssen? Kann ich die gleichung vllt so umformen:

(3*a3)t²+(2*a2)t^1+(a1)t^0 = 0t²+0t^1+0t^0

und daraus dann folgern: 3a1=0, 2a2=0, a1=0

Kann man das so machen?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Joe1
Die Frage ist wie komm ich darauf, dass alle Koeffizienten der Monome gleich null sein müssen?


Das liegt im Wesentlichen daran, dass aus folgt, dass für alle .
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das liebe ich, wenn einem wichtige Informationen vorenthalten werden. Also oder .
Die Algebra definiert Polynome als formale Ausdrücke, die durch die Koeffizienten ihrer Monome eindeutig bestimmt sind. Dann ist es natürlich klar, daß das Nullpolynom nur dasjenige sein kann, wo alle Koeffizienten 0 sind.
Offenbar habt ihr aber einen andern Zugang. Für euch sind Polynome reelle oder komplexe Funktionen spezieller Bauart. Und dann ist es natürlich von vorneherein überhaupt nicht klar, ob nicht vielleicht auch andere Polynome als das Nullpolynom die Nullfunktion darstellen (betrachte zum Beispiel die trigonometrischen Polynome , für die eine nichttriviale Linearkombination die Nullfunktion ergibt). Beim Beweis würde ich jedoch nicht über die Ableitung gehen, sondern noch einfacher argumentieren. Es ist doch sicher bekannt (und wenn nicht, dann leicht zu beweisen), daß das Verhalten einer reellen Polynomfunktion im Unendlichen allein durch ihren Grad und den Leitkoeffizienten bestimmt wird. Für jede nichtkonstante Polynomfunktion gilt entweder oder für . Jetzt betrachte für irgendwelche festen reellen Zahlen die Funktion



von der wir voraussetzen, daß sie die Nullfunktion darstellt. Wäre nun oder ungleich 0, so stünde das im Widerspruch zum oben beschriebenen Verhalten im Unendlichen. Also gilt . Und natürlich muß dann auch noch sein.
Und wenn als komplex vorausgesetzt werden sollen, dann zerlege die obige Gleichung in Real- und Imaginärteil und führe mit beiden getrennt die entsprechende Argumentation durch. Betrachte dafür nur reelle .
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