Partielle Integration

27.10.2007, 10:09

Louisa

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Partielle Integration

Hallo

smile

ich soll eine aufgabe rechnen und komme an einer stelle nicht weiter..hoffe ihr könnt mir helfen..

die gegebene funktion lautet :

$\begin{eqnarray*} f(x)= k-k\cdot (ln(x))^2 \end{eqnarray*}$

Bestimmen sie durch partielle Integration eine Stammfunktion zu f(x) !

Wie partielle Integration geht weiß ich eigentlich, nur komm ich bei dieser Funktion einfach nicht drauf was ich als mein u und v' nehmen soll?

27.10.2007, 10:49

marci_

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überleg doch einmal, was leichter zu integrieren ist?
k sieht doch einfach aus und (ln(x))² schreit doch förmlich danach abgeleitet zu werden Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.10.2007, 11:06

Louisa

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okay..also nehm ihc einfach u=lnx und v'=k ?

27.10.2007, 11:08

marci_

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du musst schon alles angeben, d.h.:

u=k*(ln(x))² und v'=k

sonst stimmts doch gar nicht!

27.10.2007, 11:09

Louisa

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mh okay..aber wie leite ich denn (ln(x))² ab?

ich probiers mal..

27.10.2007, 11:13

marci_

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kettenregel!

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27.10.2007, 11:18

Louisa

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aber da habe ich wieder das gleiche problem, dass ich einfach nicht weiß was mein u und was mein v ist ?

27.10.2007, 11:21

marci_

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$\begin{eqnarray*} f(u)=(u)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f`(u)=2*(u)*u' \end{eqnarray*}$

27.10.2007, 11:24

Louisa

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sorry wenn ich mich jetzt dumm anstelle, aber das verstehe ich jetzt nicht so wirklich.. unglücklich

unglücklich

27.10.2007, 11:26

marci_

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vergleichs doch einfach mal mit deiner fragestellung und setze einfach u=ln x !

27.10.2007, 11:34

Louisa

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okay also ist das

u'=2k*lnx * (ln(x))²

und v '= k

also v= 1/2 k^2 ?

27.10.2007, 11:38

marci_

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nein, was ist denn der ln abeleitet?

27.10.2007, 11:39

Louisa

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ?

27.10.2007, 11:44

marci_

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ja genau, dann nutze dies auch mal!

27.10.2007, 11:52

Louisa

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also..

dann hab ich :

$\begin{eqnarray*} u = k\cdot (ln(x))^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u'= \frac{2k\cdot ln(x)}{x} \end{eqnarray*}$

und v= kx
v'=k

und dann ist also :

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~ f(x)= k-k\cdot (ln(x))^2 ~dx =k\cdot (ln(x))^2 \cdot kx - \int_{}^{}~k\cdot (ln(x))^2 \cdot k ~dx \end{eqnarray*}$

so ?

27.10.2007, 14:50

klarsoweit

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Was ist das denn? verwirrt

verwirrt

Erstmal muß es heißen:

$\begin{eqnarray*} \int~ f(x)~dx = \int~(k-k\cdot (ln(x))^2)~dx \end{eqnarray*}$

Zweitens hast du den vorderen Summanden k nicht integriert.
Drittens hast du Vorzeichen nicht beachtet.
Viertens hast du die Regel der partiellen Integration nicht richtig angewendet.

27.10.2007, 16:04

Louisa

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na toll..ich weiß nicht wie das geht..wie muss ich den summanden k denn integrieren?

und was sind die regeln der partiellen integration? ich hab das noch nie gemacht

27.10.2007, 17:39

klarsoweit

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Das ist ebenfalls toll. Ebenso könnte man einen schwierigen Bergpaß fahren und hat noch niemals am Steuer eines Autos gesessen. Und wieso bekommst du dann eine derartige Aufgabe vorgesetzt? verwirrt

verwirrt

Also wegen $\begin{eqnarray*} \int~ f(x)~dx = \int~(k-k\cdot (ln(x))^2)~dx = k \cdot \int~1~dx - k \cdot \int~(ln(x))^2~dx \end{eqnarray*}$

reicht es, sich auf die beiden letzten Integrale zu konzentrieren. Das Integral $\begin{eqnarray*} \int~1~dx \end{eqnarray*}$ überlasse ich dir. Das zweite Integral schreiben wir mal so:

$\begin{eqnarray*} \int~(ln(x))^2~dx = \int~(ln(x))^2 \cdot 1~dx \end{eqnarray*}$

Nun zur Regel der partiellen Integration. Sie lautet:

$\begin{eqnarray*} \int~u(x) \cdot v'(x)~dx = u(x) \cdot v(x) - \int~u'(x) \cdot v(x)~dx \end{eqnarray*}$

Jetzt vergleiche das mit dem zu lösenden Integral. Was könnte da u(x) und was v'(x) sein?

27.10.2007, 21:05

Louisa

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ich weiß auch nicht..unser lehrer ist halt der meinung wir sollen uns alles selbst erarbeiten..was mir bei solchen aufgaben irgendwie leider ziemlich schwer fällt..

und zu der frage..waren u und v die ich vorher bestimmt hatte denn falsch?

also
$\begin{eqnarray*} u(x) = k\cdot (ln(x))^2 \end{eqnarray*}$
und v'(x)=k ?

27.10.2007, 21:07

marci_

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nein eigentlich nicht, aber du musst es nun sinnvoll anwenden

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~uv'=uv-\int_{}^{}~u'v \end{eqnarray*}$

27.10.2007, 21:15

Louisa

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okay also :

$\begin{eqnarray*} \int~(k-k\cdot (ln(x))^2)~dx = k \cdot (ln(x))^2 \cdot kx - \int_{}^{}~ \frac{2k \cdot ln(x)}{x}\cdot kx ~dx \end{eqnarray*}$

so? verwirrt

verwirrt

27.10.2007, 21:20

marci_

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ja genau!
jetzt noch n bissl kürzen und dann nochmals die partielle integration anwenden...

27.10.2007, 21:31

Louisa

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$\begin{eqnarray*} k \cdot (ln(x))^2 \cdot kx - k \cdot (ln(x))^2 \cdot \frac{1}{2}kx^{2} \end{eqnarray*}$

ist das so aufgelöst?

27.10.2007, 21:32

marci_

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was hast du denn hier gemacht?
wo sind die integrale hin?

lass doch die linke seite so stehen und wende bei der rechten seite erneut für das integral die partielle integration an!!!!

27.10.2007, 21:39

Louisa

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oh ich hab vergessen das integral stehen zu lassen..

$\begin{eqnarray*} \int~(k-k\cdot (ln(x))^2)~dx = k \cdot (ln(x))^2 \cdot kx - ...? \end{eqnarray*}$

aber wie wende ich denn nochmal die partielle integration an? ich dachte ich muss dann einfach die stammfunktion von dem auf der rechten seite nehmen? tut mir leid..aber ich weiß wirklich nicht wie.. unglücklich

unglücklich

unglücklich

27.10.2007, 21:44

marci_

Auf diesen Beitrag antworten »

ja genau!
du brauchst eine stammfunktion von 2k²ln(x)
entweder: du weißt wie eine stammfunktion zu ln x heißt, oder du wendest einfach erneut die partielle integration an!

27.10.2007, 21:49

Louisa

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mh ja die stammfunktion zu lnx ist doch 1/x ?

und das 2k² bleibt doch einfach davor stehen?

27.10.2007, 21:51

marci_

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also heute mittag hast du die frage nach der ableitung von f(x)=ln x mit f'(x)=1/x beantwortet, dann kann 1/x nicht die stammfunktion sein!

bitte überlege nochmals von ganz vorne! schreib auf ein neues blatt die ganze aufgabe!
du musst einfach zwei mal partiell integrieren und dann hast du das ergebnis!

27.10.2007, 21:53

Louisa

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stimmt..mich bringt das hier grad alles etwas durcheinander..die stammfunktion von ln(x) ist $\begin{eqnarray*} x\cdot ln(x)-x \end{eqnarray*}$

und was ist mit dem 2k² ? das bleibt doch einfach oder?

27.10.2007, 21:55

marci_

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ja k ist eine konstante!

f(x)=k
F(x)=k*x+c

27.10.2007, 22:00

Louisa

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eine frage hab ich noch und zwar wo das 2k² herkommt?

das integral ist jetzt so oder :

$\begin{eqnarray*} \int~(k-k\cdot (ln(x))^2)~dx = k \cdot (ln(x))^2 \cdot kx - 2k²\cdot x\cdot ln(x)-x \end{eqnarray*}$

27.10.2007, 22:02

Louisa

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oh das mit dem 2k² hab ich grad doch verstanden Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.10.2007, 22:07

marci_

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ganz stimmt das immer noch nicht, weil eine klammer am ende fehlt!

27.10.2007, 22:12

Louisa

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wo fehlt eine klammer? und kann ich das noch weiter auflösen? in der aufgabe steht das die Stammfunktion die rauskommen soll diese ist :

$\begin{eqnarray*} F(x)= -kx\cdot (ln(x) - 1)^2 \end{eqnarray*}$

27.10.2007, 22:45

klarsoweit

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Zitat:

Original von Louisa
und zu der frage..waren u und v die ich vorher bestimmt hatte denn falsch?

also
$\begin{eqnarray*} u(x) = k\cdot (ln(x))^2 \end{eqnarray*}$
und v'(x)=k ?

Ja, das ist falsch. Wenn es so wäre, müßte dein Integral lauten:

$\begin{eqnarray*} \int~k\cdot (ln(x))^2 \cdot k~dx \end{eqnarray*}$

Es steht da aber: $\begin{eqnarray*} \int~(k-k\cdot (ln(x))^2)~dx \end{eqnarray*}$

Von mir aus auch: $\begin{eqnarray*} \int~k~dx - \int~k\cdot (ln(x))^2)~dx \end{eqnarray*}$

Aber auf keinen Fall: $\begin{eqnarray*} \int~k\cdot (ln(x))^2 \cdot k~dx \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Louisa
das integral ist jetzt so oder :

$\begin{eqnarray*} \int~(k-k\cdot (ln(x))^2)~dx = k \cdot (ln(x))^2 \cdot kx - 2k²\cdot x\cdot ln(x)-x \end{eqnarray*}$

Das ist Schrott hoch 3. Schade, daß du dich nicht an meinem Beitrag orientiert hast. traurig

traurig

27.10.2007, 22:51

Louisa

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unglücklich

also ist das alles falsch? unglücklich

unglücklich

wusste nicht das sich die beiträge so widersprochen haben, weil ich wie gesagt selbst keine ahnung habe..mh das heißt wohl ich darf nochmal von vorn anfangen?

also ich es selbst gemacht hab, hatte ich v'(x)= ln(x) und u(x)=ln(x) ich weiß nur nicht wo ich das k unterbringen soll ?

27.10.2007, 23:11

klarsoweit

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Zitat:

Original von Louisa
unglücklich

unglücklich

also ist das alles falsch? unglücklich

unglücklich

wusste nicht das sich die beiträge so widersprochen haben, weil ich wie gesagt selbst keine ahnung habe..mh das heißt wohl ich darf nochmal von vorn anfangen?

Ja, leider.

Zitat:

Original von Louisa
also ich es selbst gemacht hab, hatte ich v'(x)= ln(x) und u(x)=ln(x)

Das ist kein guter Ansatz. Dann brauchst du nämlich v(x). Kennst du dieses etwa?

Zitat:

Original von klarsoweit
$\begin{eqnarray*} \int~(ln(x))^2~dx = \int~(ln(x))^2 \cdot 1~dx \end{eqnarray*}$

Nun zur Regel der partiellen Integration. Sie lautet:

$\begin{eqnarray*} \int~u(x) \cdot v'(x)~dx = u(x) \cdot v(x) - \int~u'(x) \cdot v(x)~dx \end{eqnarray*}$

Jetzt vergleiche das mit dem zu lösenden Integral. Was könnte da u(x) und was v'(x) sein?

Das k haben wir vor das Integral gezogen, so daß wir uns nur noch um obiges Integral kümmern müssen. Konzentriere dich also nur auf $\begin{eqnarray*} \int~(ln(x))^2~dx = \int~(ln(x))^2 \cdot 1~dx \end{eqnarray*}$ . Ich habe doch schon alles mundgerecht hingeschrieben. Mußt es nur noch ablesen.

27.10.2007, 23:16

Louisa

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v(x) hätte ich einfach x*ln(x) -x genommen?

aber wenn das umständlicher ist lass ich das lieber..

also ist u= $\begin{eqnarray*} (ln(x))^2 \end{eqnarray*}$ ? und

v= 1 einfach?

27.10.2007, 23:19

marci_

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ich muss mich nochmals zu wort melden:
es tut mir leid louisa dich so verunsichert zu haben, aber nach deinem ersten post habe ich nicht berücksichtigt, dass ja k eine konstante ist und du eigentlich nur (lnx)^2 integrieren musst...entschuldigung!

28.10.2007, 00:17

klarsoweit

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Zitat:

Original von Louisa
v= 1 einfach?

Nein. v'(x)=1.

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