bijektiver Gruppenhomorphismus

27.10.2007, 15:38	Quiet Robert	Auf diesen Beitrag antworten »
bijektiver Gruppenhomorphismus Hallo allerseits! Ich habe hier eine Aufgabe durch die ich nicht ganz durchblicke und zwar: Sei $\begin{eqnarray} f : G1 \rightarrow G2 \end{eqnarray}$ ein bijektiver Gruppenhomorphismus. Zeigen Sie, dass dann auch die Umkehrabbildung $\begin{eqnarray} f^{-1} : G2 \rightarrow G1 \end{eqnarray}$ ein Gruppenhomorphismus ist. Danke im Voraus!
27.10.2007, 15:39	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu zeigen ist $\begin{eqnarray} f^{-1}(y_1y_2)=f^{-1}(y_1)f^{-1}(y_2) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} y_1,y_2\in G_2 \end{eqnarray}$ .
27.10.2007, 15:50	Quiet Robert	Auf diesen Beitrag antworten »
Das klingt gut. Ich war bis jetzt in etwa so weit: $\begin{eqnarray} a,b \in G_1 \rightarrow f^{-1}(a) \in G1 \text{ und } f^{-1}(b) \in G1 \\\rightarrow f^{-1}(a) _2 f^{-1}(b) = f^{-1}(a _1 b) \in G1\text{ } \forall a,b \in G2 \end{eqnarray}$ Aber ich glaube damit bin ich noch net ganz am Ende angelangt, oder?
27.10.2007, 15:51	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, es geht so los: $\begin{eqnarray} f^{-1}(y_1y_2)=f^{-1}(f(x_1)f(x_2))=\dots \end{eqnarray}$
27.10.2007, 16:18	Quiet Robert	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für den Tipp. Leider komme ich dabei trotzdem nicht weiter!
27.10.2007, 16:20	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn $\begin{eqnarray} f(x_1)f(x_2) \end{eqnarray}$ nach Voraussetzung?
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27.10.2007, 16:24	Quiet Robert	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(x_1)f(x_2) \text{ ist nach Vorraussetzung des Gruppenhomorphismusses für f doch: } f(x_1 x_2) \text{ oder nicht?!!? } \end{eqnarray}$
27.10.2007, 16:26	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, und was ist dann $\begin{eqnarray} f^{-1}(f(x_1x_2)) \end{eqnarray}$ ?
27.10.2007, 16:28	Quiet Robert	Auf diesen Beitrag antworten »
laut Vorraussetzung würd ich sagen $\begin{eqnarray} f^{-1}(f(x_1)f(x_2)) \end{eqnarray}$
27.10.2007, 16:30	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Sicher, aber jetzt bist Du einen Schritt "zurückgegangen".
27.10.2007, 16:32	Quiet Robert	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich hab jetzt folgendes: $\begin{eqnarray} f^{-1}(y_1 y_2) = f^{-1}(f(x_1)f(x_2))= f^{-1}(f(x_1 x_2))=x_1 x_2 \in G_1 \end{eqnarray}$ Ist damit schon alles bewiesen?
27.10.2007, 16:33	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast, was ist denn $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} f(x_1)=y_1 \end{eqnarray}$ ?
27.10.2007, 16:34	Quiet Robert	Auf diesen Beitrag antworten »
ich würde sagen: $\begin{eqnarray} x_1 = f^{-1}(y_1) \end{eqnarray}$
27.10.2007, 16:36	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau. Analog für $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ . Dann bist du fertig.
27.10.2007, 16:38	Quiet Robert	Auf diesen Beitrag antworten »
Suuuuper! Jetzt hab ichs verstanden. Ist ja eigentlich relativ simpel! Muss man nur mal erst mal drauf kommen! Danke Sehr!

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