Komposition von injektivität

28.10.2007, 10:00

Luci

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Komposition von injektivität

Hallo, ich hab zwei kleine Aufgaben, die erste hab ich auch schon gelöst, nur weiß ich nicht, ob das reicht, weil ich mir da bei Beweisen immer nicht so sicher bin. Wäre also schön, wenn jemand mal drüber schauen könnte. Die zweite.. tja.. keine Ahnung..

1.)
Beweise: Die Zusammensetzung injektiver Abbildungen ist injektiv.

Vorraussetzung:
$\begin{eqnarray*} x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_1 \neq y_2 \Rightarrow g(y_1) \neq g(y_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h:=g°f \end{eqnarray*}$

z.Z.: $\begin{eqnarray*} x_1 \neq x_2 \Rightarrow g(y_1) \neq g(y_2) \end{eqnarray*}$

mit: $\begin{eqnarray*} f(x_1) =y_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_2) = y_2 \end{eqnarray*}$ folgt:

$\begin{eqnarray*} x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x_1) \neq f(x_2) \Rightarrow g(f(x_1)) \neq g(f(x_2)) \end{eqnarray*}$

Somit ist h=g°f injektiv.

2.)
Beiweise: Die Zusammensetzung X -> Y -> Z der surjektiven Abbildung f mit der injektiven Abbildung g bijektiv, so sind sowohl f als auch g bijektiv.

(ich werde hier nur den Teil mit der Injetivität hinschreiben, weil der Teil der Surjektivität ist mir klar)

Vorraussetzung: h:= g°f ist injektiv; g:Y -> Z ist injektiv

z.Z.: $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 \end{eqnarray*}$

aus g injektiv, folgt: $\begin{eqnarray*} g(y_1)=g(y_2) \Rightarrow y_1=y_2 \end{eqnarray*}$
aus h:=g°f injektiv, folgt: $\begin{eqnarray*} h(y_1)=h(y_2) \Rightarrow x_1=x_2 -> g(f(x_1))=g(f(x_2)) \Rightarrow x_1=x_2 \end{eqnarray*}$

28.10.2007, 10:24

Frooke

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1 ist richtig, 2 auch für den Teil, den Du zeigen willst, aber das mit der Surjektivität solltest Du schon noch hinschreiben für einen Beweis. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.10.2007, 10:29

Luci

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smile

ja, das hatte ich schon vor, den noch hinzuschreiben, nur wollte ich mich damit nicht noch mit dem formeleditor abquälen - das hat so schon lang genug gedauert.
aber danke!!

und der Teil, reicht so als Beweis? ehrlich gesaagt dachte ich, das wären sozusagen meine vorraussetzungen und jetzt müsste ich erst mit dem Beweis anfangen...

Luci

28.10.2007, 10:37

therisen

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2) ist ziemlich verwirrend aufgeschrieben, ein Punktabzug ist auch nicht auszuschließen.

Aus $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} g(f(x_1))=g(f(x_2)) \end{eqnarray*}$ und daraus $\begin{eqnarray*} x_1=x_2 \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} g\circ f \end{eqnarray*}$ ist injektiv.

28.10.2007, 10:46

Luci

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hm..
ich dachte aus f(x1)=f(x2)=>x1=x2
und aus $\begin{eqnarray*} f(x_1) \neq f(x_2) \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} g(f(x_1) \neq g(f(x_2) \end{eqnarray*}$

28.10.2007, 10:48

therisen

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Ich dachte du willst zeigen, dass f injektiv ist?! Dann kannst du das doch nicht voraussetzen, indem du sagst, aus $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} x_1=x_2 \end{eqnarray*}$ .

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28.10.2007, 10:50

Luci

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also:

aus $\begin{eqnarray*} g(f(x_1)) = g(f(x_2)) \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$
aus $\begin{eqnarray*} g(f(x_1)) = g(f(x_2)) \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} x_1=x_2 \end{eqnarray*}$

z.Z.:
aus $\begin{eqnarray*} f(x_1) = f(x_2) \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} x_1=x_2 \end{eqnarray*}$

28.10.2007, 10:50

Luci

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hab ich ja nicht, hab gesagt, dass das gezeigt werden muss

28.10.2007, 10:52

therisen

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Für den Beweis brauchst du nicht, dass g injektiv ist. Es genügt die Injektivität von $\begin{eqnarray*} g\circ f \end{eqnarray*}$ .

28.10.2007, 11:53

Luci

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okay.. ich soll also aus g(f(x1))=g(f(x2) => x1=x1
zeigen, dass auch f(x1)=f(x2) => x1=x2 gild.
wie mach ich das? ich komm einfach nicht weiter.. man kann es nciht einsetzen, nicht umstellen und auch nicht direkt schlussfolgern.

28.10.2007, 12:19

therisen

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Liest du meine Beiträge denn nicht? Hier steht doch schon der Beweis: Komposition von injektivität

28.10.2007, 12:34

Luci

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natürlich lese ich deine Beiträge, und ich habe auch genau zu diesem Beitrag geschrieben, dass er so nicht stimmt, weil:

aus f(x1) = f(x2) folgt NICHT g(f(x1)) = g(f(x2))

28.10.2007, 12:35

therisen

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Zitat:

Original von Luci
aus f(x1) = f(x2) folgt NICHT g(f(x1)) = g(f(x2))

Doch, das tut es. Ansonsten wäre g keine Funktion.

28.10.2007, 15:27

Luci

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hm.. das versteh ich nicht..
ich dachte aus x1 = x2 könnte auch f(x1) ungleich f(x2) folgen.

28.10.2007, 15:29

therisen

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Eine Funktion ordnet jedem Element des Definitionsbereiches genau ein Element des Wertebereiches zu. Insbesondere muss $\begin{eqnarray*} g(f(x_1))=g(f(x_2)) \end{eqnarray*}$ sein, wenn $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$ . Nicht umsonst drückt "=" Gleichheit aus.

28.10.2007, 15:58

Luci

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ah ja

smile

danke!

10.05.2010, 12:47

teejunkie

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Injektivität von Kompositionen auch mit Umkehrabbildung zeigbar?
Hallo zusammen,

ich habe eben versucht, die Injektivität von Kompositionen zu beweisen. Ich bin auf Anhieb auf die Idee mit Umkehrabbildungen gekommen. Könnt ihr mal schauen, ob das so weit korrekt ist ? Danke schön!

Gegeben seien Mengen $\begin{eqnarray*} L,M,N \end{eqnarray*}$ und Abbildungen $\begin{eqnarray*} f: L \rightarrow M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g: M \rightarrow N \end{eqnarray*}$ .
Abbildungen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ seien injektiv. Zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray*} f \circ g \end{eqnarray*}$ injektiv ist.

Beweis:

$\begin{eqnarray*} g \circ f(m') = g \circ f (m) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g( f(m') ) = g( f (m)) \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ injektiv war ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ umkehrbar. Ich wende als $\begin{eqnarray*} g^{-1} \end{eqnarray*}$ an und es folgt:
$\begin{eqnarray*} f(m') = f (m) \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auch injektiv war, ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auch umkehrbar. Ich wende also $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ an und es folgt:
$\begin{eqnarray*} m' = m \end{eqnarray*}$

Kann man das so schreiben?

Danke für jegliche Hinweise!

MFG
Teejunkie

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