Wahrscheinlichkeitsraum

13.04.2005, 13:05

papahuhn

Wahrscheinlichkeitsraum

Hallo,
Ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Tripel $\begin{eqnarray*} (\Omega, Pot(\Omega), P) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} P:Pot(\Omega) \rightarrow \mathbb{R};\ \Omega \end{eqnarray*}$ abzählbar ist, und noch gelten muss:
$\begin{eqnarray*} 0 \leq P(A) \leq 1\quad \forall A \subseteq \Omega \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(\Omega) = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P\left(\bigcup\limits_{i \in \mathbb{I}} A_i\right) = \sum\limits_{i \in \mathbb{I}} P(A_i) \end{eqnarray*}$ für paarweise disjunkte $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ .

Nehmen wir mal an $\begin{eqnarray*} \Omega = \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .
Wenn wir allen natürlichen Zahlen die gleiche Wahrscheinlichkeit geben wollen, stehen wir vor einem Problem.
Wenn $\begin{eqnarray*} P(n) > 0\quad \forall n \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n \in \mathbb{N}}P(n) = \infty \end{eqnarray*}$ . Wenn $\begin{eqnarray*} P(n) = 0\quad \forall n \end{eqnarray*}$ , dann ist die Summe 0.

Ich kann nicht glauben, dass dieses Modell eine Gleichverteilung bei abzählbaren unendlichen Mengen nicht zulässt.

13.04.2005, 13:14

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RE: Wahrscheinlichkeitsraum

Zitat:

Original von papahuhn
wobei $\begin{eqnarray*} P:Pot(\Omega) \rightarrow \mathbb{R};\ \Omega \end{eqnarray*}$ abzählbar ist

Falsch formuliert: $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ muss abzählbar sein; wenn $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ abzählbar unendlich ist, dann ist $\begin{eqnarray*} Pot(\Omega)=\wp(\Omega) \end{eqnarray*}$ sogar überabzählbar.

Zitat:

Original von papahuhn
Ich kann nicht glauben, dass dieses Modell eine Gleichverteilung bei abzählbaren unendlichen Mengen nicht zulässt.

Ob du's glaubst oder nicht - es ist so: Es gibt keine Gleichverteilung auf den natürlichen Zahlen, nur auf endlichen Teilmengen davon. Rock

EDIT: Nebenbei bemerkt, hast du gerade für die Nichtexistenz dieser Verteilung einen sehr schönen und richtigen Widerspruchsbeweis geführt. Augenzwinkern

13.04.2005, 15:33

papahuhn

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RE: Wahrscheinlichkeitsraum
Dann ist dieses Modell fürn Popo.
Eine Gleichverteilung auf den natürlichen Zahlen ist doch das naheliegendste, was man sich bei einer unendlichen Grundmenge vorstellen kann. Normalerweise hat die Mathematik Modelle für Sachen, die man sich nicht vorstellen kann. Und hier sowas. Außerdem gehts noch weiter.
Wie siehts mit der Wahrscheinlichkeit aus, eine gerade natürliche Zahl zu ziehen? Sollte ja 0.5 sein.
Ok, man könnte bestimmt eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ konstruieren, deren Teilfolgen $\begin{eqnarray*} (a_{2n})_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (a_{2n+1})_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ jeweils gegen 0.5 konvergieren. Dabei ist dann lange noch nicht gewährleistet, dass $\begin{eqnarray*} P(M) = 1/c \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} M = \{n \in \mathbb{N}\ :\ c | n\} \end{eqnarray*}$ für alle c, was man natürlich erwarten würde.
Dieses Modell enttäuscht mich.

13.04.2005, 18:52

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RE: Wahrscheinlichkeitsraum
Du denkst wenig nach vor deinen "Anschuldigungen" an das Modell. unglücklich

Was soll denn diese Gleichverteilung auf den natürlichen Zahlen für Eigenschaften haben, die sich widerspruchsfrei vereinbaren lassen???

Ich empfehle ein Semester Maßtheorie, das öffnet dir vielleicht mal die Augen.

13.04.2005, 18:58

Leopold

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Wenn wir für den Augenblick einmal als natürliche Zahlen nur alle ganzen Zahlen zwischen 1 und 1 Quadrilliarde bezeichnen, dann ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem Griff in die Menge der natürlichen Zahlen, Gleichverteilung unterstellt, eine gerade Zahl zu ziehen, in der Tat 0,5.
Aber leider ( traurig

) ist 1 Quadrialliarde ja nichts gegen die Ewigkeit.

13.04.2005, 19:07

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@papahuhn

Dein Beispiel mit dem geraden Zahlen ist so schlecht nicht - dafür gibt es auch ein Wahrscheinlichkeitsmaß, aber nicht auf $\begin{eqnarray*} \wp(\mathbb{N}) \end{eqnarray*}$ , sondern auf einer kleineren Sigma-Algebra

$\begin{eqnarray*} \mathcal{F}:=\sigma\left( A_{k,j} \bigm| k\geq 1,\, 0\leq j<k \right) \end{eqnarray*}$

mit den Erzeugermengen

$\begin{eqnarray*} A_{k,j}:=k\mathbb{N}+j=\left\{ kn+j \bigm| n\in\mathbb{N} \right\} \end{eqnarray*}$

Nun definiert man einfach

$\begin{eqnarray*} P\left(A_{k,j}\right):=\frac{1}{k},\qquad k\geq 1,\, 0\leq j<k \end{eqnarray*}$ ,

und dann hat man die dir vorschwebende Gleichverteilung, die aber eben nicht für alle Teilmengen von $\begin{eqnarray*} A\subseteq\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß bildet, sondern nur für $\begin{eqnarray*} A\in\mathcal{F} \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Ok, noch eine kleine Erklärung zu dem Formelkram: Es handelt sich um ein Wahrscheinlichkeitsmaß, das auf arithmetischen Folgen beliebigen Abstandes erklärt ist. Das Startglied ist allerdings nicht beliebig, sondern muß kleiner als der Abstand sein.

14.04.2005, 12:37

papahuhn

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Als ich über ein besseres Modell nachgedacht habe, ist mir nach Leopolds Posting folgende Idee gekommen:
$\begin{eqnarray*} \Omega = \mathbb{N}, A \subseteq \Omega \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} P[A] := \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{|\{m \in A | 1 \leq m \leq n \}|}{n} \end{eqnarray*}$ .

Dann ist mir ein Licht aufgegangen, dass mir meine Anschauung einen Streich gespielt hat, als ich verkündet habe, die Wahrscheinlichkeit eine gerade Zahl zu ziehen sei natürlicherweise 0.5. Das obere Modell würde den Fall richtig abdecken, aber nur weil ich intuitiv in der mir vertrauten Kleiner-Relation gedacht habe. Würde man die natürlichen Zahlen bijektiv umsortieren, hätte man in dem Fall eine ganz andere Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P[A] \end{eqnarray*}$ .
Und da seh ich ein, dass das nicht sein darf.

Mit Mächtigkeiten kann ich auch nicht argumentieren. Wenn $\begin{eqnarray*} A \subseteq \Omega \end{eqnarray*}$ unendlich aber gleichmächtig zu $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ist, könnte man nach obiger Definition beliebige Verhältnisse reinmixen.

Ich denke, ich höre erstmal mit den Spekulationen auf, und höre mir die Stochastik-Vorlesung an, in der übrigens gerade Sigma-Algebren eingeführt werden.

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